第2课时 二（三）元一次方程（组）

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第八章 二元一次方程组
第9课时 二（三）元一次方程（组）
本章涉及求多个未知数的问题是普遍存在的，而方程组是解决这些问题的有力工具。本章在学生对一元一次方程已有认识的基础上，对二元一次方程组进行讨论，并在二元一次方程组的基础上，学习讨论三元一次方程组及解法。由此为今后进一步学习不等式组以及二次函数奠定基础。
本章主要内容包括：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例。其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点。
使学生经历建立二（三）元一次方程组这种数学模型并应用它们解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务。由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。
点击一：理解四个概念
1．二元一次方程：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程；二元一次方程具备以下四个特征：
①是方程；②有且只有两个未知数；③方程是整式方程，即各项都是整式；④各项的次数最高为1，如中，不是整式，所以就不是二元一次方程；像3x－5＝6，2x＋3y－z＝7，不是含有两个未知数，也不是二元一次方程；像xy＋6＝1，中，虽然含有两个未知数，但未知项次数不是1，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．
2．二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如，，都是二元一次方程组，如就不是二元一次方程组，因为有三个未知数．
3．二元一次方程的一个解
适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
一般地二元一次方程的解有无数个，例如x＋y＝2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解，如x＝3，y＝－1，就是该方程的解．
4．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有唯一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解，如：就是的解．
点击二：解二元一次方程的两种基本方法
1．代入消元法
解方程组的基本思路是“消元”－－把“二元”转化为“一元”，其主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．其主要步骤可以分为三步：
①用一个未知数的值去代替另一个未知数．（求关系式时，应选取系数比较简单的方程进行变形）
②将求得的关系式代入到另一个方程，消去其中的一个未知数，并求出另一个未知数的值．（代入消元时，一定将求得的关系式代入另一个方程进行消元）
③将求得的这个未知数的值代入关系式中，求出另一个未知数的值，最后写成方程解的形式．（代回时，应将求得的未知数的值代入变形后的关系式中）
如：解利用代入法解的步骤为：把①代入②得，3×2x＋2x＝8x，x＝1， 把x＝ 1代入①得，y＝2， 所以．
2．加减消元法
通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．其主要步骤为三步：
①将某一未知数的系数变成相等或互为相反数．（变换系数时，要选取系数较为简单的未知数作为消元对象，不要漏乘方程中的某一项，特别是常数项！）
②将变形后的方程与另一个方程相加或相减，消去一个未知数．（此时要观察好是用加法还是用减法消元，并注意计算中容易错的地方，特别是符号！）
③将求出的未知数的值回代到原来方程组中任意一个方程，从而求出另一个未知数的值，最后要写成解的形式！
如：用加减法解二元一次方程组　　　步骤如下：②－①得－3y＝3，y＝ －1，把y＝ －1代入①得，x＋2×（－1）＝3，x＝5，所以．
温馨提示：代入法和加减法都是解二元一次方程组最基本最常见的方法，在解方程组时，如果题目无具体要求，可选用任何一种方法，至于选择哪种方法，一定要先对系数进行认真观察分析，根据系数的具体特点，选择较为简便的方法．
点击三：三元一次方程组解法
解三元一次方程组的基本思想和二元一次方程组一样，仍然是消元，其基本方法也是代入消元法和加减消元法，一般步骤为：（1）利用代入法和加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；（3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个未知数写在一起就是所求三元一次方程组的解．在具体解题中，可根据题目的特点，灵活消元。
类型之一：二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解思二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
一、代入法 即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．
2x+5y=－21　①
例1、解方程组
x+3y=8 ②
解 由②得：x=8－3y ③
把③代入①得 2（8－3y）+5y=－21
解得：y=37
把y=37
代入③得：x=8－3×37=－103
x=－103
所以这个方程组的解是
y=37
二、整体代入法 当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．
3x－4y=9　①
例2、解方程组
9x－10y=3　②
解 由①得3x=4y+9 ③
把③代入②得 3(4y+9)－10y=3
解得 y=－12
把y=－12代入③得 3x=4×(－12)+9
解得 x=－13
x=－13
所以方程组的解是
y=－12
三、加减消元法 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．
2x+3y=14 　①
例3、 解方程组
4x－5y=6　　　　②
解 由①×2得 4x+6y=28 ③
③－②得：11y=22
解得 y=2
把y=2代入②得 4x－5×2=6
解得 x=4
x=4
所以方程组的解为
y=2
四、整体运用加减法 即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．
3(x+2)+(y－1)=4 ①
例4 解方程组
3(x+2)+(1－y)=2 ②
解 ①－②得 (y－1)－ (1－y)＝4－2
整理得 2y=4
解得 y=2
把 y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4
整理得 3x+7=4
解得 x=－1
x=－1
所以方程组的解为
y=2
解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．
类型之二： 二元一次方程（组）的应用
1、利用非负数性质
例1．已知|a+2b-9|,求a,b的值.
解析：因为|a+2b-9|是一个非负数，也是一个非负数,由非负数得性质（几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0）可列出方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 解方程组，即可求出a,b的值.
解：根据题意，得
由①得a=9-2b,③，把③代入②,得3(9-2b)-b+1=0,解得b=4.
把b=4代入③，得a=1.∴
2、利用二元一次方程的定义
例2．若是关于的二元一次方程，其中，求.
解：由二元一次方程的定义可知：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，解得：①②
③④只有①、②、④符合，故而的值可能为：－2，－4，4.
3、利用同类项的概念
例3．已知和是同类项，求x,y的值
解析：根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数也相同,这样的几个单项式叫做同类项)可知,若和是同类项,则必有y+3=2x,3x=8-2y,将这两个二元一次方程合在一起组成方程组即可求出x,y的值.
解:依题意，得整理，得解得
将x=2,y=1分别代入原代数式,得和,故x=2,y=1符合题意.
4、利用方程组解的概念
例4．小明在解方程组时，把c看错，而得解是小丽得到正确解是 试求a+b+c的值.
解析：根据方程组的解的定义，是方程ax+by=2的解，即-2a+2b=2，把正确解代入方程组可得a、b、c之间的关系，与-2a+2b=2联立可求得a、b、c的值，问题得以解决.
解：把代入方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 得
把代入ax+by=2得-2a+2b=2.（3）
（1）+（3），得a=4.把a=4代入①得b=5.由（2），得c=-2.
a+b+c=4+5-2=7.
5．利用同解方程构造
例5．方程组与方程组具有相同的解，求的值．
解析：因为这两个方程组有相同的解，所以这个解就是满足两个方程组中的每一个方程．由已知，解方程组，解得：．
把代入第一个方程组得：，解这个方程组得：．
6．利用方程解的个数构造
例6．若关于x的方程有无穷多个解，则
解：将原方程整理得
因为原方程有无穷多个解，则有方程组解得
∴
例7．已知关于x、y的二元一次方程，当a每一个值就得到一个方程，而且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解并说明它对于任何a的值都能使方程成立吗？
解：视a为末知数将方程整理得
因a是任意的数，则上面关于a的一次方程有无数解，因此可得方程组
解得
因x、y的值与a无关，所以对任何a值方程的公共解为.
7．选取主元构造
例8．已知，且.求代数式的值.
解：将z看作常数，解关于x、y的方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 解得
∴原式
类型之三：三元一次方程组的解法
例1 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解析：由于方程③是关于x、y的二元一次方程，缺少未知数z，所以可先消去①②方程中的z，再与③组成二元一次方程组．
①×2+②，得5x+8y=7④．解③④组成的方程组 ，得x=3，y=－1．把x=3，y=－1代入①，得z=1．所以原方程组的解为．
点评：若方程组中某一个方程缺少某个未知数，则可从另外两个方程中消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
例2 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解析：观察三个方程发现，未知数y的系数成倍数关系，因此可考虑先消去y．
①+②×2，得8x+13z=31④．②×3－③，得4x+8z=20，即x+2z=5⑤．解④⑤组成的方程组 ，得x=－1，z=3．把x=－1，z=3代入②，得y=0.5．所以原方程组的解为．
点评：若三个方程中有某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系，可先消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
例3 解方程组
解析：显然此题不具备上述两种情况，可考虑消去未知数系数较为简单的系数，观察发现，这里的x系数的最小公倍数最小，因此应先消去x．
①×3－②×2，得y－2z=－1④．①×5－③×2，得y－32z=－31⑤．解④⑤组成的方程组 ，得y=1，z=1．把y=1，z=1代入①，得x=2．所以原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
点评：对于不具有例1和例2两种情况的三元一次方程组，可找出系数绝对值的最小公倍数最小的那个未知数，消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
类型四：二元一次方程组跨学科整合型
一、与物理整合
例1．在容器里有18℃的水6m ，现在要把8 m 的水注入里面，使容器里混合的水的温度不低30℃且不高于36℃．求注入的8 m 的水温度应在什么范围？
分析：本题涉及热平衡方程问题，可利用不等式建立热平衡模型来解．
解：设注入的水温度t℃,由题意知： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 解得：39≤t≤49.5
点评：由此可见：与物理学科相关的综合题是对传统试题的突破，在解答时需要多方面基础知识的综合，这就要求我们重视对数学在相关学科应用意识和应用能力的培养，充分发挥数学的工具作用，这也符合当今的“课改”精神．
二、与化学整合
例2．某同学在配平化学方程式：ＦeS+O ＦeS+S O时，采用了设未知数的方法：xＦeS+yO ＦeS+zS O请你根据配平要求，运用数学方法求出x、y、z的值，并写出配平后的化学方程式．
分析：根据化学知识列出方程组即可
解：根据题意得：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，解得．∴２ＦeS+O ＦeS+S O．
点评：这是一道与化学整合的综合化题目，此题虽然简单，但它渗透了与自然科学（化学）的联系，突出了数学应用的广泛性，同时也突出了数学作为工具学科的本质，体现了学科问题的综合化问题．
三、与体育整合
例3．在2006年全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场.
分析：根据题目中的规则，设出未知数，列出方程组即可
解：设该队胜了x场，平了y场，依题意得方程组：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，解得：
点评：踢足球是同学们非常喜爱的一种体育活动，但它蕴涵的数学知识不一定人人皆知，本题寓乐于学，激发了同学们的学习兴趣，也中考的热点之一！
四、与语文整合
例4．《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的各自说：“若从你们中飞上来一只，则树下的各自就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了”．你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
解：设树上的鸽子为x只, 树下的鸽子为y只．
由题意可列方程组得，解得
点评：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到《一千零一夜》童话故事的背景下，易激活学生的数学思维．
五、与历史整合
例5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数
学经典著作．在它的“方程”一章里，一
次方程组是由算筹布置而成的．《九章算
术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，
我们把它改为横排，如图1－1、图1－2．图
中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1－1
所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，
图1－2所示的算筹图我们可以表述为
A． B． C． D．
析解：本题主要考查学生的看图能力，只要看懂图1-1、图1－2．图中各行从左到右列出的算筹数，再改写成方程组即可，由图1-1所得的方程组，我们就可以推断出图1-2中的方程组，故选A
点评：本题较好地引入了中国古代数学问题，《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，也是中国数学史上引以为豪的一部著作，选取这上面的内容作为考题，应该说很好地发挥了试题的人文教育价值
六、与学具整合
例6．一副三角扳按如图2方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大
50°，若设∠1=x°∠2=y°，则可得到方程组为（ ）
A B C D
分析：由图可知，∠1和∠2组成一个直角，那么有∠1+∠2=900，
即x+y=90，再由题意“∠1的度数比∠2的度数大50°”，
用代数式表示为∠1=∠2+500，即x=y+50，这样可得所列方程组
解：所列方程组故选（D）
点评：这是一道数学与学具相结合的小综合题，题目虽然简单，但涉及代数与几何方面的知识点，如平角、列代数式等，这类题目是中考试题的新题型，所以同学们要多加练习
一、耐心填一填，一锤定音！
1．若方程是二元一次方程，则_____，_____．
2．用加减法解方程组时，得_____．
3．已知二元一次方程，当互为相反数时，_____，_____．
4．的正整数解是_____．
5．美国蓝球巨星乔丹在一场比赛中投中，拿下分，其中三分球投全中，那么乔丹两分球投中_____球，罚球投中_____球．（罚球每投一个记分）
二、精心选一选，慧眼识金！
1．将二元一次方程变形，正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知是方程组的解，则间的关系是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．已知甲、乙两人的收入比为，支出之比为，一年后，两人各余元，若设甲的收入为元，支出为元，可列出的方程组为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！
1．若是方程组的解，求的值．
2．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为，请写出所有符合条件的两位数．
四、综合运用，再接再厉！
1．若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值．
2．甲、乙两位同学一起解方程组甲正确地解得乙仅因抄错了题中的，解得求原方程组中的值．
3．某中学新建了一栋层的教学大楼，每层楼有间教室，进出这栋大楼共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，分钟内可以通过名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在分钟内通过这道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有名学生，问：建造的这道门是否符合安全规定？请说明理由．
参考答案
一、1．，　　2．　　3．，　　4．　　5．，
二、1．Ｄ　　2．Ｄ　　3．Ｃ
三、1．，．
　　2．，，，，，．
四、1．．
　　2．，，．
　　3．（1），；
　　（2）符合．分钟内道门同时开启，在紧急情况下共可通过名学生，大于教学大楼所容纳的人数．
一、耐心填一填，一锤定音！
1．在方程中，如果用含有的式子表示，则_____．
2．若方程的一个解是则_____．
3．请写出一个以为解的二元一次方程组_____．
4．在二元一次方程中，当时，_____．
5．学校的篮球数比排球数的倍少个，篮球数与排球数的比是，求这两种各有多少个？若设篮球有个，排球有个，则依题意得到的方程组是_____．
二、精心选一选，慧眼识金！
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．下列说法中正确的是（　　）
Ａ．二元一次方程中只有一个解
Ｂ．二元一次方程组有无数个解
Ｃ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解
Ｄ．判断一组解是否为二元一次方程的解，只需代入其中的一个二元一次方程即可
3．西部山区某县响应国家“退耕还林”的号召，将该县一部分耕地改还为林地，改还后，林地面积和耕地面积共有，耕地面积是林地面积的，设改还后耕地面积为，林地面积为，则下列方程组中，正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！
1．解方程组：
（1）（2）（3）
；
（4）
2．已知等式，当时，；当时，；求的值．
四、综合运用，再接再厉！
1．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染“”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是你能帮助他补上“”的内容吗？说出你的方法．
2．若方程组的解与相等，求的值．
3．有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
参考答案
一、1．　　2．　　3．略　　4．　　5．
二、1．Ｃ　　2．Ｃ　　3．Ｂ
三、1．（1）（2）
　　2．，
四、1．，．
2．．
3．黑球克，白球克．
1.阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．
如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：
，
将HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown代入得：，方程组的解为
请你用代入消元法解方程组：
2. 小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数.小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9.”
那么，你能回答以下问题吗？
（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？
（3）第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
3. 某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数(千克) 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克
答案：1.解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
，
把，分别代入得：
，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown
2. 设小明和小华取出的两个数字分别为x、y
第一次拼成的两位数为10x+y,第二次拼成的两位数为10y+x.
根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com / )
由②得：y－x=1 ③
①+③得：y=5,则x=4
所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5，第一次他们拼成的两位数为45，第二次拼成的两位数是54.
3. 解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得
01 当02 当040时，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com / )(不合题意，舍去)．
3 当205x+5y=5(x+y)=5×50=250<264(不合题意，舍去)
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.
课时作业：
A等级
1.方程组的解是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.若方程组 的解是 则方程组的解是（ ）
A． B． 　　　C． D．
3.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组．
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组和它的解直接填入集合图中；
（3）若方程组的解是，求的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？
4.解方程组
5.方程组的解是 ．
6.二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7.方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8.解方程组
9.若方程组 的解是 则方程组的解是（　　）
A． B． 　　　C． D．
10.解方程组：
11.解方程组：
12.若则 ．13.解方程组：
14.方程组，由②①，得正确的方程是（　　）
A．　 B．　 C．　 D．　15.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
16.某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分加价收费．已知小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？
17.已知二元一次方程组则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
B等级
1.方程组的解是 ___.
2.已知x、y满足方程组则x－y的值为________．
3.若方程组的解是那么 ．
4.解方程组：
5.解方程
6.解方程组：
7.解二元一次方程组
C等级
1．以下方程中，是二元一次方程的是（ ）
A、8x－y=y B、xy=3 C、3x+2y D、y=
2．以下的各组数值是方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的解的是（ ）
A.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 B.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 C. D.
3．若是方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的解，则m+n的值是（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
4．二元一次方程3a+b=9在正整数范围内的解的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5．四名学生解二元一次方程组 ， 提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（ ）A.由①得x=,代入②；B.由①得y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,代入②
C.由②得y=－,代入①；D.由②得x=3+2y,代入①
6．用代入法解方程组 使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A.由①得x=；B.由①得y=；C.由②得x=；D.由②得y=2x－5
7．用加减法解方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：
① ② ③ ④
其中变形正确的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8．解以下两个方程组，较为简便的是（ ）
① ②
A.①②均用代入法 B.①②均用加减法
C.①用代入法②用加减法 D.①用加减法②用代入法
9．若8xm－4和11x4－n是同类项，则m,n的关系是________.
10．在方程3x+y=2中，用x表示y,则y=________;用y表示x,则x=________.
11．在二元一次方程－x+6y－4=0中，当x=4时，y=________;当y=－1时，x=________.
12．是二元一次方程ax+by=－1的一组解，则2a－b+11=________.
13．用代入法解二元一次方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 最为简单的方法是将_________式中的_________表示为_________，再代入_________式.
14．用代入法解方程组 由②得y=______③,把③代入①，得________，解得x=________,再把求得的x值代入②得，y=________.原方程组的解为_______.
15．关于x,y的方程组中，若x的值为，则m=________,y=________.
16．解关于x的方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 得当m满足方程5x+8y=38时，m=________.
17．（1）已知是方程2x－6my+8=0的一组解，求m的值.
（2）如果是方程x－6y+16=0的解，则t=
18．用代入法解下列方程组
（1）；(2)HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
19．用加减法解方程组
(1)；(2)HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
20．在公式Sn=na1+d中，已知S2=5，S4=14，求S6的值
课时作业答案：
A等级答案：
1：Ａ2：A3：解：（1） （2）
由题意，得，解得．
该方程组为 它不符合（2）中的规律．
4：解：由（1）得：x+3=3y，即x=3y-3 (3)
由（2）得：2x-y=4 　　　 (4)
把（3）代入（4）得：　y=2
把y=2代入（3）得：　x=3 ，因此原方程组的解为
5：6：A7：B
8：解：①＋②，得．
解得．把代入②，得．
原方程组的解是．
9：C
10：解法一：得
解得：
将代入①得
方程组的解为
解法二：由①得 ③
将③代入②得
解得：
将代入③得
方程组的解为
11：解：
①，得． ③
②③，得，
．
把代入①，得，
．
原方程组的解是
12：5
13：解：得：，，
把代入①得：，
14：B
15：
16：解：设三口之家限定量以内的水费为每吨元，超过部分的水费为每吨元，
依题意，得
解这个二元一次方程组，得
答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨收1.8元，超过部分的水费每吨收2.5元．
17：Ｄ
B等级答案：
1：
2：1
3：1
4：
(2)-(1)，得，即.
把代入(1)，得.
∴ 原方程组的解为：
5：解：把（1）代入（2）得，，
—
把代入（1）得，
所以方程组的解为
6：解:
(得,并代入(2)得
∴原方程组的解是.
7：解 ∵
由②得，③
将③代入①，得．解得．代入③，得．
∴原方程组的解为
C等级答案：
1、A；2、B；3、B ；4、C；5．C；6．D；7．B；8．C；
9．m+n=8；10．2－3x,；11．,－10；12．10；13．①，x，y，②；14．4x－1,x+2(4x－1)=7,1,3,；15．2,1； 16．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,2
17．（1）m=－；（2）t=1；
18．(1) (2)HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ；
19．(1) (2)；
20．S6=27 14.(6,5,3)
①
②
①
②
③
③
④
①
②
③
④⑤
①
②
③
④⑤
图1－2
图1－1
图2
第一次称量
第二次称量
①②
方程组集合
……
对应方程组
解的集合
……
①②
①②
① ②
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