必修二直线与圆的方程全章课件
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课件115张PPT。 本章在高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线和圆的方程．重点考查与直线方程特征值(主要指斜率、截距)有关的问题；直线的平行和垂直的条件；与距离有关的问题等； 圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系. 此类题大都属于中、低档题，有时也可能是压轴题，是江苏高考每年必考的内容．在由两直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．第一节 直线学生P1041．倾斜角：一条直线l向上的方向与 角，叫做直线的倾斜角，范围为 ．x轴的正方向所成的最小正 [0，π)2．斜率：当直线的倾斜角不是90°时，则称其正切值为该直线的 ，即k＝ ；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率 ．若x1＝x2，则直线P1P2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 .斜率tan α不存在3．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：90° 平面直角坐标系内，每一条直线都有 ，但不是每一条直线都有斜率． 对于直线上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，当x1＝x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α＝ ；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数． 倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是 ．倾斜角90°(－∞，＋∞)4．直线方程的形式Ax＋By＋C＝0
y＝k x＋b垂直y－y0＝k(x－x0)(A2＋B2≠0)x＝x0x＝x1(x1≠x2)y＝y1(y1≠y2)垂直于原点1．直线x－ y＋1＝0的倾斜角的大小是________．【答案】 30°2．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为________．【答案】 －23．已知ab>0, ac<0, 那么直线ax＋by＋c＝0必不经过第________象限． 【解析】 将直线方程化为y＝－ x－ ，而a与b同号，a与c异号，则b与c异号，则直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限．【答案】 三4．直线x tan ＋y＝0的倾斜角是________．【解析】 k＝－tan ＝tan ， ∈[0，π)．【答案】 5．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是________．【答案】 186．写出过两点A(3,0)、B(0，－5) 的直线方程的两点式、点斜式、 斜截式、截距式和一般式方程．斜率应用 直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值是这条直线的斜率，倾斜角α取值范围是[0，π)，要掌握好倾斜角与斜率的关系． 已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围. 【点拨】 当直线的倾斜角由锐角变到直角，再由直角变到钝角，要根据正切函数的单调性求斜率的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．图8－1－1【 解 】思维启迪 本题也可以利用线性规划中不等式所表示的平面区域的性质使问题得到解决。求直线方程 求过已知点的直线方程，关键是确定直线的斜率，而要确定斜率，一是利用坐标公式，二是利用三角公式． 【点拨】 利用k＝tan α求斜率，把三角函数知识与直线知识联系在一起，要注意准确、灵活地运用三角公式．不等式的应用 对于直线方程的求法常采用直接法、待定系数法，但有时也会采用几何法、坐标转移法、数形结合法等等，因此要灵活运用直线方程． 已知直线l过点P(3,2)且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l方程(O为原点)．
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．【点拨】 本题可以设成点斜式，也可以设成截距式，然后利用基本不等式求最值．思维启迪 △AOB面积与直线在坐标轴上的截距有关，因此优先考虑直线的截距式方程。 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时l的方程． 分类讨论分类讨论 在求直线方程时，要考虑斜率存在和不存在这两种情况，也就是说要对斜率是否存在进行分类讨论． (本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程. 【点拨】 由题意知本题要对直线斜率k的值是否为0进行讨论．【解】(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝ ……………….. ……………….. ………………..(3分)
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，……………….. ……………….. ……………….. …… .(5分)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kOG·k＝－1， k＝－1? a＝－k. ……………….(7分) 故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M(－ ， )…………….. ……...(9分)思维启迪 直线中的分类讨论只要是对斜率是否存在、截距相等时是否为0以及位置关系进行分类讨论。 求经过点(－2，－3)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程． 【解】直线在x轴、y轴上截距相等时，方程有两种情况：y＝kx与 ＋ ＝1，将点(－2，－3)代入此两个方程即得：x＋y＋5＝0或3x－2y＝0.规律总结 倾斜角与斜率相互联系不可分割，要注意90°是分界线，遇到斜率，要注意分类讨论．求直线方程时，要认清题目条件，选择合适的方程类型；另外，也可以采用待定系数法或直线方程的定义来求解，最后要把直线方程化为一般式． (2008·江苏卷)如图8－1－2所示，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)．图8－1－2点P(0，p)是线段AO上一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP，CP分别交AC，AB交于点E，F，某同学已正确算得直线OE的方程：( － )x＋( － )y＝0，请你完成直线OF的方程：(__________)x＋( － )y＝0. 【解析】因为点B与点C“地位平等”，所以它们具有可交换性，因此只要将直线OE方程中b与c交换，便可得直线OF方程中x的系数，即为 － . 【误区警示】 本题不少学生不会由对称性类比猜想出正确结果，因此不少学生不得分．本题也可以用截距式写出直线AB与CP的方程，两式相减得到方程，O点满足，直线AB与CP的交点F也满足．因此此方程就是直线OF的方程．这说明学生过于瞧不起直线这一内容，结果眼高手低，造成失分． 【命题趋势】 高考中主要考查根据已知条件确定直线方程，在解答题中常常与圆、圆锥曲线相结合，考查直线的斜率与直线方程的求法．学而时习之，不亦说乎？第二节 直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
(1)若存在斜率的两直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么
①l1∥l2? ；
②l1与l2重合 ? ；
③l1与l2相交? ，其特例为l1⊥l2? .k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b2k1≠k2k1·k2＝－1A1B2≠A2B1 A1A2＋B1B2＝0(2)若两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A＋B≠0)，那么
①l1∥l2? ；
②l1与l2重合? ；
③l1与l2相交 ? ，其特例为l1⊥l2 ? . Ax＋By＋m＝0Bx－Ay＋n＝02．求两直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0的交点坐标，即解方程组： 即可．
3．(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可设： .
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设： .4．距离问题
(1)两点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：AB＝
(2)点到直线距离：d＝ (已知点P0(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间距离：l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0?d＝ .1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.【答案】 －12．点A(1,1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是________．3．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________．4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．【答案】 －85．两平行线x＋y－1＝0与2x＋2y＝3间的距离为________．6．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，求AC边上的高所在的直线方程．平行问题 对于斜截式的直线平行，主要利用斜率相等，截距不等来处理；对于一般式的直线平行，要注意系数成部分比例，也就是注意两直线不要重合．求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程． 【点拨】 本题可以先求直线的斜率，再根据点斜式直接写出直线方程．或利用待定系数法，设成2x＋3y＋λ＝0.垂直问题 直线的垂直问题可应用直线的点斜式求解；或设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线为Bx－Ay＋C′＝0. 求经过直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线l的方程．【点拨】 先求出已知两条直线的交点，然后利用直线垂直的条件来求．思维启迪 对于与已知直线平行求直线方程中的参数时，一定要注意检验两条直线是否重合。对称性 对称问题是解析几何中的常见问题，是高中数学的重要内容．中点公式和直线垂直是解决对称问题的重要工具．解析几何中的中心对称和轴对称问题都归结为关于点对称问题的解决． 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程． 【点拨】 由平面几何知识可知，若两直线关于直线l对称，它们具有以下性质：若直线相交，则对称轴直线也过它们的交点；若两直线平行，则对称轴直线也与它们平行． 求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程．利用距离求方程 对于有关距离公式的运用，一定要熟练掌握三个距离公式，即两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式． (本题满分14分)已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为 ，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程． 【点拨】 根据已知条件列出不等式组，求出点P坐标，由两点坐标求出直线PN的方程． 已知直线l1过点(0,1)，直线l2过点(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．思维启迪 该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。规律总结 求两直线交点坐标就是解方程组，把几何问题转化为代数问题．要会用转化思想解决角平分线、光线反射等问题．解决对称问题要抓住两点：已知点与对称点的连线与对称轴垂直；以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． (2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号) 【点拨】 本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．【误区警示】 本题难度不大，出现失误的原因为学生没有抓住数形结合的思想方法，逐一验证角度．【命题趋势】 高考中多以填空题的形式考查平行垂直以及距离问题，有时也考查对称问题，此类问题一般难度不大．学而时习之，不亦说乎？第三节 圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为 .(x－a)2＋( y－b)2＝r2说明：方程中有 个参量a、b、r，因此 独立条件可以确定一个圆．三三个2．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)表示圆心(－ ,－ )，半径r＝ 的圆，把方程 叫做圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 说明：(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数 ，没有xy项．相等且不为零 (2)当 时，方程(*)表示点(－ ，－ )，当 时，方程(*)不表示任何图形． (3)据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程．D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＜0 3．若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为 ，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，若求出仅一条，则注意不要漏掉 ． 4．已知圆x2＋y2＝r2，若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为 .y－y0＝k(x－x0)平行于y轴的切线x0x＋y0y＝r2 1．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．2．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．【答案】 (x－1)2＋(y－1)2＝23．若圆经过点A(2,0)，B(4,0)，C(0,2)，则圆的方程为_____．【解析】 已知三点，可设一般式．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有【答案】 x2＋y2－6x－6y＋8＝04．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为__________．【答案】 x2＋(y－2)2＝15．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是__________．6．求经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．求圆的方程 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量. 总之，处理圆的问题要注意数形结合，拓宽解题思路． 求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．【点拨】 从代数的角度看，可以选用圆的标准方程或者选用一般方程都能求解；若从几何角度，可以从圆的对称性确定圆的圆心和半径．思维启迪 遇到求与圆心或者半径相关的圆的方程时，常常设成标准方程的形式，充分利用平几知识来降低计算量。一般方程的使用 遇到有关圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的题型时，先要注意D2＋E2－4F＞0这一条件，这与遇到函数就要考虑定义域一样． 已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，(1)求实数m的取值范围；(2)求圆半径r的取值范围． 【点拨】 先配方，或直接利用D2＋E2－4F＞0这一条件，求出m取值范围．而后由m取值范围确定r的取值范围．轨迹问题 给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题． 设A(－c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．【点拨】 求轨迹的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明．如果有点的坐标，可以不用建系；证明步骤往往可以省略． 如图8－3－1所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图8－3－1思维启迪 本题分类讨论的标准是二次项的系数是否为0；求轨迹不仅要注意求其方程，还要说明是怎样的曲线，如轨迹是圆，要说明圆心和半径。【解】 以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．设P(x，y)，则PM2＝O1P2－O1M2＝(x＋2)2＋y2－1，
同理PN2＝(x－2)2＋y2－1.
∵PM＝ PN，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．
即x2－12x＋y2＋3＝0，
即(x－6)2＋y2＝33.这就是动点P的轨迹方程．最值问题 涉及圆的最值问题，可以借助图形性质，利用数形结合求解：一是利用对称性；二是借助几何模型来处理． (本题满分14分) 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： 【点拨】像(1)式的分式最值问题，往往利用斜率模型；像(2)式的一次式最值问题，往往利用截距模型． 【解】 (1)如图8－3－2所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆．图8－3－2思维启迪 第（1）还可以将y=kx代入方程，利用判别式法来做，第（2）还可以利用三角代换来做。 已知△AOB中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．图8－3－3 【解】 如图8－3－3建立直角坐标系，使A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0)．设内切圆半径为r，则有2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，
得r＝1.
故内切圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝1.
化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0. 又因为|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25＝3(x2＋y2－2y)－8x＋25＝－2x＋22，
因为x∈[0,2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
三个圆的面积之和为 (|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)．
因此所求面积之和的最大值为 ，最小值为 . 规律总结 求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，如果由已知条件易求圆心坐标、半径或需要圆心坐标列方程，常常选用圆的标准方程．如果所求圆与圆心、半径关系不密切时(如已知圆过三点等条件)，常用圆的一般方程．(2008·江苏卷)设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：
(1)求实数b 的取值范围；
(2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【点拨】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．【解】 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.
所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)将x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0整理得
x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0
令 ，解得
所以圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明：将(0,1)代入圆C 的方程，得
左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点(0,1)．
同理可证圆C 必过定点(－2,1)． 【误区警示】 对于(1)不少学生忽略了b≠0，只想到Δ＞0；而第(2)题不少学生认为b能求出，而花了不少时间去求b的值；而第(3)题很多学生找不出定点来． 【命题趋势】 近几年的江苏高考都是以圆的内容为大题的必考题，主要考查待定系数法或利用圆的几何性质来解题．因此求圆的方程时，要注意与初中平面几何知识相联系，也要注意与代数、三角等知识联系．如果利用恰当，可以使问题简化．学而时习之，不亦说乎？第四节 直线与圆、圆与圆1．直线和圆位置关系的判定
(1)方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：
直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.一元二次方程(2)方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：
直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程．求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为 和 两种情况．
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程： .已知圆上一点 圆外一点x0x＋y0y＝r23．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题，此时常利用初中的 ，以及 ．垂径定理、勾股定理点到直线的距离公式4．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系：
外离? .
外切? .
相交 ? .
内切? .
内含? .d>R＋rd＝R＋rR－r设⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
两圆相交A、B两点，其公共弦所在直线为
.直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝01．直线x＋y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．【答案】 相切2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为________．【答案】 2或04．圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＋8y＋12＝0有________条公切线．【答案】 35．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是________．【答案】 P点在圆外6．圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．(1)当α＝ 时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．相交弦问题 解直线与圆相交所得弦的有关问题时，要善于运用平面几何中的相关性质，特别是条件中涉及弦长问题时，可以利用公式AB＝2 . 过点P(－3，－ )的直线被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．【点拨】 本题将直线设成点斜式，但要注意讨论直线斜率是否存在，因此要按两种情况分类讨论．【解】 ①当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4，
∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．②当斜率k存在时，设所求方程为y＋ ＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－ ＝0.
由已知，弦心距|OM|＝ ＝3∴ ＝3，解得k＝－ .所以此直线方程为y＋ ＝－ (x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.思维启迪 关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦、所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解。本题还要注意斜率不存在时的情形。相切问题 求切线方程一般有四种方法：设切点，用切线公式；利用向量数量积为0；设切线方程，利用判别式；设切线斜率，利用d＝r. 自点A(－3,3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程． 【点拨】 本题可求圆C关于x轴的对称圆C′，求光线L所在直线的方程就转化为求过A点作圆C′的切线方程．【解】 解法一 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1.设光线L所在的直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝ ＝1.整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－ 或k＝－ .故所求直线方程是y－3＝－ (x＋3)，或y－3＝－ (x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.图8－4－1解法二 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，设光线L所在的直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是(－ ，0)，因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y＝－k(x＋ )，即y＋kx＋3(1＋k)＝0.这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d＝ ＝1.以下同解法一．范围问题 在圆中求参数的范围问题，往往结合图形探寻不等关系，常常利用距离与半径的关系以及圆的一般式中隐含的条件来处理． 若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，求直线l的倾斜角的取值范围．思维启迪 在处理切线、弦长问题时，应注意结合圆的平面几何性质，这样处理直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等问题，可以简化解题过程. 【点拨】 求直线l的倾斜角的取值范围，应先求直线的斜率的范围，可以结合图形利用圆心到直线的距离探寻不等关系．思维启迪 对于直线与圆的问题如果利用代数方法找不到思路，可以利用数形结合，通过图形直观找出解题突破口。 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．【解】 将圆的方程配方得(x＋ )2＋(y＋1)2＝ ，圆心C的坐标为(－ ，－1)，半径r＝ ，条件是4－3a2＞0，过点A(1,2)所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即
＞ .化简得a2＋a＋9＞0.
由
解之得
∴－ ＜a＜ .故a的取值范围是(－ ， )．综合运用 在新课标中，由于直线与圆的学习要求有所提升，这一部分倍受高考青睐，因此这一类型的综合题也倍受关注． (本题满分15分)(2009·盐城市一模)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求 · 的最小值；
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由. 【点拨】 先利用对称性求出C点坐标，然后将P点坐标代入即可求出圆C的方程．第(2)问可由线性规划或三角代换求得．第(3)问可以求出A、B两点的横坐标，然后利用直线AB和OP斜率相等来证明．【解】 (1)设圆心C(a，b)，则 ，
解得 ……………………………………………………(3分)
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2………………………………………………………(5分)(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且 · ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)………………………………………(7分)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以 · 的最小值为－4…………………………………………………………(9分)(3)由题意知， 直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，
PB：y－1＝－k(x－1)，由 ，
得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0………(11分) 已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.图8－4－2(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2 时，求直线l的方程；
(3)探索 · 是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1)【证明】 ∵l与m垂直，且km＝－ ，∴kl＝3，
故直线l方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0，
∵圆心坐标(0,3)满足直线l方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)【解】 ①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1符合题意
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
∵PQ＝2 ，∴CM＝ ＝1,
则由CM＝ ＝1，得k＝ ，
∴直线l：4x－3y＋4＝0.
故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. 在求直线与圆的位置关系时，若采用与斜率有关的直线方程时，往往要对斜率进行讨论．要注意数形结合求解，充分利用圆的性质，如“垂径定理”、“切线的性质”等几何性质，寻找解题途径，减少运算量．规律总结 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.图8－4－3(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．【点拨】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力． 【误区警示】 第(2)题很多学生没有进行等价转化，即“直线li被圆Ci截得的弦长相等(i＝1,2)”．等价于“圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等”．还有得到m、n、k之间等量关系后，利用待定系数法进一步得到m、n的方程组才能解决． 【命题趋势】 高考中主要考查方程中有参数的直线与圆的位置关系的判断，圆的切线和弦的问题一直是考查的重点内容．利用相切、相交的条件求参数的范围，结合相切、相交时的有关几何性质，可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．学而时习之，不亦说乎？
y＝k x＋b垂直y－y0＝k(x－x0)(A2＋B2≠0)x＝x0x＝x1(x1≠x2)y＝y1(y1≠y2)垂直于原点1．直线x－ y＋1＝0的倾斜角的大小是________．【答案】 30°2．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为________．【答案】 －23．已知ab>0, ac<0, 那么直线ax＋by＋c＝0必不经过第________象限． 【解析】 将直线方程化为y＝－ x－ ，而a与b同号，a与c异号，则b与c异号，则直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限．【答案】 三4．直线x tan ＋y＝0的倾斜角是________．【解析】 k＝－tan ＝tan ， ∈[0，π)．【答案】 5．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是________．【答案】 186．写出过两点A(3,0)、B(0，－5) 的直线方程的两点式、点斜式、 斜截式、截距式和一般式方程．斜率应用 直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值是这条直线的斜率，倾斜角α取值范围是[0，π)，要掌握好倾斜角与斜率的关系． 已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围. 【点拨】 当直线的倾斜角由锐角变到直角，再由直角变到钝角，要根据正切函数的单调性求斜率的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．图8－1－1【 解 】思维启迪 本题也可以利用线性规划中不等式所表示的平面区域的性质使问题得到解决。求直线方程 求过已知点的直线方程，关键是确定直线的斜率，而要确定斜率，一是利用坐标公式，二是利用三角公式． 【点拨】 利用k＝tan α求斜率，把三角函数知识与直线知识联系在一起，要注意准确、灵活地运用三角公式．不等式的应用 对于直线方程的求法常采用直接法、待定系数法，但有时也会采用几何法、坐标转移法、数形结合法等等，因此要灵活运用直线方程． 已知直线l过点P(3,2)且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l方程(O为原点)．
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．【点拨】 本题可以设成点斜式，也可以设成截距式，然后利用基本不等式求最值．思维启迪 △AOB面积与直线在坐标轴上的截距有关，因此优先考虑直线的截距式方程。 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时l的方程． 分类讨论分类讨论 在求直线方程时，要考虑斜率存在和不存在这两种情况，也就是说要对斜率是否存在进行分类讨论． (本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程. 【点拨】 由题意知本题要对直线斜率k的值是否为0进行讨论．【解】(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝ ……………….. ……………….. ………………..(3分)
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，……………….. ……………….. ……………….. …… .(5分)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kOG·k＝－1， k＝－1? a＝－k. ……………….(7分) 故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M(－ ， )…………….. ……...(9分)思维启迪 直线中的分类讨论只要是对斜率是否存在、截距相等时是否为0以及位置关系进行分类讨论。 求经过点(－2，－3)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程． 【解】直线在x轴、y轴上截距相等时，方程有两种情况：y＝kx与 ＋ ＝1，将点(－2，－3)代入此两个方程即得：x＋y＋5＝0或3x－2y＝0.规律总结 倾斜角与斜率相互联系不可分割，要注意90°是分界线，遇到斜率，要注意分类讨论．求直线方程时，要认清题目条件，选择合适的方程类型；另外，也可以采用待定系数法或直线方程的定义来求解，最后要把直线方程化为一般式． (2008·江苏卷)如图8－1－2所示，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)．图8－1－2点P(0，p)是线段AO上一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP，CP分别交AC，AB交于点E，F，某同学已正确算得直线OE的方程：( － )x＋( － )y＝0，请你完成直线OF的方程：(__________)x＋( － )y＝0. 【解析】因为点B与点C“地位平等”，所以它们具有可交换性，因此只要将直线OE方程中b与c交换，便可得直线OF方程中x的系数，即为 － . 【误区警示】 本题不少学生不会由对称性类比猜想出正确结果，因此不少学生不得分．本题也可以用截距式写出直线AB与CP的方程，两式相减得到方程，O点满足，直线AB与CP的交点F也满足．因此此方程就是直线OF的方程．这说明学生过于瞧不起直线这一内容，结果眼高手低，造成失分． 【命题趋势】 高考中主要考查根据已知条件确定直线方程，在解答题中常常与圆、圆锥曲线相结合，考查直线的斜率与直线方程的求法．学而时习之，不亦说乎？第二节 直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
(1)若存在斜率的两直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么
①l1∥l2? ；
②l1与l2重合 ? ；
③l1与l2相交? ，其特例为l1⊥l2? .k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b2k1≠k2k1·k2＝－1A1B2≠A2B1 A1A2＋B1B2＝0(2)若两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A＋B≠0)，那么
①l1∥l2? ；
②l1与l2重合? ；
③l1与l2相交 ? ，其特例为l1⊥l2 ? . Ax＋By＋m＝0Bx－Ay＋n＝02．求两直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0的交点坐标，即解方程组： 即可．
3．(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可设： .
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设： .4．距离问题
(1)两点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：AB＝
(2)点到直线距离：d＝ (已知点P0(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间距离：l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0?d＝ .1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.【答案】 －12．点A(1,1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是________．3．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________．4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．【答案】 －85．两平行线x＋y－1＝0与2x＋2y＝3间的距离为________．6．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，求AC边上的高所在的直线方程．平行问题 对于斜截式的直线平行，主要利用斜率相等，截距不等来处理；对于一般式的直线平行，要注意系数成部分比例，也就是注意两直线不要重合．求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程． 【点拨】 本题可以先求直线的斜率，再根据点斜式直接写出直线方程．或利用待定系数法，设成2x＋3y＋λ＝0.垂直问题 直线的垂直问题可应用直线的点斜式求解；或设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线为Bx－Ay＋C′＝0. 求经过直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线l的方程．【点拨】 先求出已知两条直线的交点，然后利用直线垂直的条件来求．思维启迪 对于与已知直线平行求直线方程中的参数时，一定要注意检验两条直线是否重合。对称性 对称问题是解析几何中的常见问题，是高中数学的重要内容．中点公式和直线垂直是解决对称问题的重要工具．解析几何中的中心对称和轴对称问题都归结为关于点对称问题的解决． 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程． 【点拨】 由平面几何知识可知，若两直线关于直线l对称，它们具有以下性质：若直线相交，则对称轴直线也过它们的交点；若两直线平行，则对称轴直线也与它们平行． 求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程．利用距离求方程 对于有关距离公式的运用，一定要熟练掌握三个距离公式，即两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式． (本题满分14分)已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为 ，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程． 【点拨】 根据已知条件列出不等式组，求出点P坐标，由两点坐标求出直线PN的方程． 已知直线l1过点(0,1)，直线l2过点(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．思维启迪 该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。规律总结 求两直线交点坐标就是解方程组，把几何问题转化为代数问题．要会用转化思想解决角平分线、光线反射等问题．解决对称问题要抓住两点：已知点与对称点的连线与对称轴垂直；以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． (2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号) 【点拨】 本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．【误区警示】 本题难度不大，出现失误的原因为学生没有抓住数形结合的思想方法，逐一验证角度．【命题趋势】 高考中多以填空题的形式考查平行垂直以及距离问题，有时也考查对称问题，此类问题一般难度不大．学而时习之，不亦说乎？第三节 圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为 .(x－a)2＋( y－b)2＝r2说明：方程中有 个参量a、b、r，因此 独立条件可以确定一个圆．三三个2．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)表示圆心(－ ,－ )，半径r＝ 的圆，把方程 叫做圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 说明：(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数 ，没有xy项．相等且不为零 (2)当 时，方程(*)表示点(－ ，－ )，当 时，方程(*)不表示任何图形． (3)据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程．D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＜0 3．若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为 ，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，若求出仅一条，则注意不要漏掉 ． 4．已知圆x2＋y2＝r2，若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为 .y－y0＝k(x－x0)平行于y轴的切线x0x＋y0y＝r2 1．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．2．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．【答案】 (x－1)2＋(y－1)2＝23．若圆经过点A(2,0)，B(4,0)，C(0,2)，则圆的方程为_____．【解析】 已知三点，可设一般式．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有【答案】 x2＋y2－6x－6y＋8＝04．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为__________．【答案】 x2＋(y－2)2＝15．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是__________．6．求经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．求圆的方程 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量. 总之，处理圆的问题要注意数形结合，拓宽解题思路． 求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．【点拨】 从代数的角度看，可以选用圆的标准方程或者选用一般方程都能求解；若从几何角度，可以从圆的对称性确定圆的圆心和半径．思维启迪 遇到求与圆心或者半径相关的圆的方程时，常常设成标准方程的形式，充分利用平几知识来降低计算量。一般方程的使用 遇到有关圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的题型时，先要注意D2＋E2－4F＞0这一条件，这与遇到函数就要考虑定义域一样． 已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，(1)求实数m的取值范围；(2)求圆半径r的取值范围． 【点拨】 先配方，或直接利用D2＋E2－4F＞0这一条件，求出m取值范围．而后由m取值范围确定r的取值范围．轨迹问题 给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题． 设A(－c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．【点拨】 求轨迹的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明．如果有点的坐标，可以不用建系；证明步骤往往可以省略． 如图8－3－1所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图8－3－1思维启迪 本题分类讨论的标准是二次项的系数是否为0；求轨迹不仅要注意求其方程，还要说明是怎样的曲线，如轨迹是圆，要说明圆心和半径。【解】 以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．设P(x，y)，则PM2＝O1P2－O1M2＝(x＋2)2＋y2－1，
同理PN2＝(x－2)2＋y2－1.
∵PM＝ PN，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．
即x2－12x＋y2＋3＝0，
即(x－6)2＋y2＝33.这就是动点P的轨迹方程．最值问题 涉及圆的最值问题，可以借助图形性质，利用数形结合求解：一是利用对称性；二是借助几何模型来处理． (本题满分14分) 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： 【点拨】像(1)式的分式最值问题，往往利用斜率模型；像(2)式的一次式最值问题，往往利用截距模型． 【解】 (1)如图8－3－2所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆．图8－3－2思维启迪 第（1）还可以将y=kx代入方程，利用判别式法来做，第（2）还可以利用三角代换来做。 已知△AOB中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．图8－3－3 【解】 如图8－3－3建立直角坐标系，使A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0)．设内切圆半径为r，则有2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，
得r＝1.
故内切圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝1.
化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0. 又因为|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25＝3(x2＋y2－2y)－8x＋25＝－2x＋22，
因为x∈[0,2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
三个圆的面积之和为 (|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)．
因此所求面积之和的最大值为 ，最小值为 . 规律总结 求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，如果由已知条件易求圆心坐标、半径或需要圆心坐标列方程，常常选用圆的标准方程．如果所求圆与圆心、半径关系不密切时(如已知圆过三点等条件)，常用圆的一般方程．(2008·江苏卷)设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：
(1)求实数b 的取值范围；
(2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【点拨】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．【解】 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.
所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)将x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0整理得
x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0
令 ，解得
所以圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明：将(0,1)代入圆C 的方程，得
左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点(0,1)．
同理可证圆C 必过定点(－2,1)． 【误区警示】 对于(1)不少学生忽略了b≠0，只想到Δ＞0；而第(2)题不少学生认为b能求出，而花了不少时间去求b的值；而第(3)题很多学生找不出定点来． 【命题趋势】 近几年的江苏高考都是以圆的内容为大题的必考题，主要考查待定系数法或利用圆的几何性质来解题．因此求圆的方程时，要注意与初中平面几何知识相联系，也要注意与代数、三角等知识联系．如果利用恰当，可以使问题简化．学而时习之，不亦说乎？第四节 直线与圆、圆与圆1．直线和圆位置关系的判定
(1)方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：
直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.一元二次方程(2)方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：
直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程．求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为 和 两种情况．
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程： .已知圆上一点 圆外一点x0x＋y0y＝r23．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题，此时常利用初中的 ，以及 ．垂径定理、勾股定理点到直线的距离公式4．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系：
外离? .
外切? .
相交 ? .
内切? .
内含? .d>R＋rd＝R＋rR－r
两圆相交A、B两点，其公共弦所在直线为
.直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝01．直线x＋y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．【答案】 相切2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为________．【答案】 2或04．圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＋8y＋12＝0有________条公切线．【答案】 35．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是________．【答案】 P点在圆外6．圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．(1)当α＝ 时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．相交弦问题 解直线与圆相交所得弦的有关问题时，要善于运用平面几何中的相关性质，特别是条件中涉及弦长问题时，可以利用公式AB＝2 . 过点P(－3，－ )的直线被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．【点拨】 本题将直线设成点斜式，但要注意讨论直线斜率是否存在，因此要按两种情况分类讨论．【解】 ①当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4，
∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．②当斜率k存在时，设所求方程为y＋ ＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－ ＝0.
由已知，弦心距|OM|＝ ＝3∴ ＝3，解得k＝－ .所以此直线方程为y＋ ＝－ (x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.思维启迪 关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦、所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解。本题还要注意斜率不存在时的情形。相切问题 求切线方程一般有四种方法：设切点，用切线公式；利用向量数量积为0；设切线方程，利用判别式；设切线斜率，利用d＝r. 自点A(－3,3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程． 【点拨】 本题可求圆C关于x轴的对称圆C′，求光线L所在直线的方程就转化为求过A点作圆C′的切线方程．【解】 解法一 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1.设光线L所在的直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝ ＝1.整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－ 或k＝－ .故所求直线方程是y－3＝－ (x＋3)，或y－3＝－ (x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.图8－4－1解法二 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，设光线L所在的直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是(－ ，0)，因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y＝－k(x＋ )，即y＋kx＋3(1＋k)＝0.这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d＝ ＝1.以下同解法一．范围问题 在圆中求参数的范围问题，往往结合图形探寻不等关系，常常利用距离与半径的关系以及圆的一般式中隐含的条件来处理． 若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，求直线l的倾斜角的取值范围．思维启迪 在处理切线、弦长问题时，应注意结合圆的平面几何性质，这样处理直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等问题，可以简化解题过程. 【点拨】 求直线l的倾斜角的取值范围，应先求直线的斜率的范围，可以结合图形利用圆心到直线的距离探寻不等关系．思维启迪 对于直线与圆的问题如果利用代数方法找不到思路，可以利用数形结合，通过图形直观找出解题突破口。 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．【解】 将圆的方程配方得(x＋ )2＋(y＋1)2＝ ，圆心C的坐标为(－ ，－1)，半径r＝ ，条件是4－3a2＞0，过点A(1,2)所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即
＞ .化简得a2＋a＋9＞0.
由
解之得
∴－ ＜a＜ .故a的取值范围是(－ ， )．综合运用 在新课标中，由于直线与圆的学习要求有所提升，这一部分倍受高考青睐，因此这一类型的综合题也倍受关注． (本题满分15分)(2009·盐城市一模)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求 · 的最小值；
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由. 【点拨】 先利用对称性求出C点坐标，然后将P点坐标代入即可求出圆C的方程．第(2)问可由线性规划或三角代换求得．第(3)问可以求出A、B两点的横坐标，然后利用直线AB和OP斜率相等来证明．【解】 (1)设圆心C(a，b)，则 ，
解得 ……………………………………………………(3分)
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2………………………………………………………(5分)(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且 · ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)………………………………………(7分)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以 · 的最小值为－4…………………………………………………………(9分)(3)由题意知， 直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，
PB：y－1＝－k(x－1)，由 ，
得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0………(11分) 已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.图8－4－2(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2 时，求直线l的方程；
(3)探索 · 是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1)【证明】 ∵l与m垂直，且km＝－ ，∴kl＝3，
故直线l方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0，
∵圆心坐标(0,3)满足直线l方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)【解】 ①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1符合题意
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
∵PQ＝2 ，∴CM＝ ＝1,
则由CM＝ ＝1，得k＝ ，
∴直线l：4x－3y＋4＝0.
故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. 在求直线与圆的位置关系时，若采用与斜率有关的直线方程时，往往要对斜率进行讨论．要注意数形结合求解，充分利用圆的性质，如“垂径定理”、“切线的性质”等几何性质，寻找解题途径，减少运算量．规律总结 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.图8－4－3(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．【点拨】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力． 【误区警示】 第(2)题很多学生没有进行等价转化，即“直线li被圆Ci截得的弦长相等(i＝1,2)”．等价于“圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等”．还有得到m、n、k之间等量关系后，利用待定系数法进一步得到m、n的方程组才能解决． 【命题趋势】 高考中主要考查方程中有参数的直线与圆的位置关系的判断，圆的切线和弦的问题一直是考查的重点内容．利用相切、相交的条件求参数的范围，结合相切、相交时的有关几何性质，可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．学而时习之，不亦说乎？