[课题] 2.1.2函数的表示方法
[教学目标]
1、 知识与技能
（1）掌握函数三种表示方法的概念及在实际中的作用。
（2）能够将函数的三种表示方法相互转化。
2、 过程与方法
通过对数学问题的探究过程，感受与理解数学方法在物理学中的应用，体验数学的应用价值
3、 情感、态度与价值观
通过研究函数的解析式，体验数学的简洁美，对称美，通过函数图像的学习，感受数和形之间的和谐美。
[教学重、难点]
函数的三种不同表示的相互间转化。
[多媒体辅助链接]
[教学过程]
1． 问题情景
课本第21页上三个函数问题在表示方法上有什么区别？
2． 学生活动
问题1：观察三个函数问题，你能说出各种函数表现形式上的各自特点吗？
3． 建构数学
问题2：如何用数学语言来准确地表述函数表示法？
\
问题3：你能说出几种函数表示法的各自优缺点吗？
4． 数学运用
1． 例题
例1． 下面哪些等式是函数的解析式？
（1）y =x. (2)f(x)=|x|
x, x≥0
(3)f(x)=
x, x<0
例2．购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出该函数的值域.
例2． 画出函数f(x)=|x| 的图象，并求f(-3), f(3), f(-1), f(1)的值.
例3.某市出租汽车收费标准如下:在3km(含3km)按起步价7元收费,超过3km的路程按规定.2.4元/km.试写出收费额关于路程的函数解析式.
2.练习:
第31页练习第1,4题.
3.回题下列问题:
(1) 任何一个函数都可以用列表法表示吗
(2) 任何一个函数的解析式都存在吗
(3) 一个函数的图象一定是孤立的点吗 一定是曲线吗 一定是一段曲线吗 一个函数的图象一定与直线x=a相交吗
五.回顾小结:
本节课研究了函数的表示法,求函数的表达式即函数的解析式是研究函数的基本要求,也是重点.其中要注意定义域的限制.
六.课外作业
第31页练习第2,3题.
第32页习题2.1(2)第1, 2, 3, 6题.
[教后反思]
第 1 页 共 3 页江苏省清江中学教学案
[课题]2.1.4映射的概念
[教学目的]
1、 知识与技能：
（1）了解映射的概念及表示方法，会判断某些简单的对应是否为映射。
（2）理解函数与映射之间的关系。
2、过程与方法：
通过对现实生活中映射实例的探究过程，感知用数学的方法研究现实问题的建模的技巧。
3、情感、态度与价值观：
通过数学活动，感受数学知识与现实世界的联系，培养学生辩证唯物主义的观点。
[教学重、难点]
映射的概念
[多媒体辅助链接]
[教学过程]
1．问题情景
前面学习了函数的概念，是：一般地，设是两个非空数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应．
函数是两个非空数集之间的对应，那么
⑴我们以前还遇到那些对应呢？
⑵这些对应又有什么特点呢？
2．学生活动
以前遇到的对应有：
⑴ 对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．
⑵ 班级里的每一位同学在教室都有唯一的座位与之对应．
⑶ 对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．
上面的几个对应已经不在局限于是非空的数集间的对应，可以是点集或其它的集合．这些对应中有些已经不是函数，那么不是函数的对应又是什么呢？我们先看下面几组对应：
A B
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
⑴ 请观察上面五个对应各有什么特征？
⑵ 这五个对应中，是否存在几组对应有共同特征？
3．建构数学
⑴ 通过观察发现，⑴-⑸这五组对应中，元素没有限制可以是任何有意义的事物，而元素之间可以是一对一，多对一或一对多．
⑵ ⑴-⑷中，中的每个元素在集合中都有唯一的元素和它对应．
这种对应关系就是我们这节课要学习的映射．
一般地，设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的每个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合到集合的映射（mapping），记作：
：
对映射的进一步认识：
⑴ 映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“任一对唯一”．
⑵ 映射有三个部分组成：集合，集合及对应法则，称为映射的三要素．
⑶ 映射中集合，中的元素可以为任意的，也可是是空集．
４．数学运用
例１．下列对应中，哪些是到的映射？
A ⑴ B A ⑵ B
⑶ ⑷
解：根据映射的定义，可知⑷是到的映射，⑴⑵⑶的对应不是到的映射．
例２．已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由．
（1），，对应法则为 “取相反数”；
（2），，对应法则“取倒数”；
（3），，对应法则：“求平方根”；
（4）， 对应法则
（5），B={0,1} 对应法则：B中的元素x 除以2得的余数
5.回顾小结
⑴ 映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“任一对唯一”．
⑵ 映射有三个部分组成：集合，集合及对应法则，称为映射的三要素．
⑶ 映射中集合，中的元素可以为任意的，也可是是空集．
[教后反思]
每人一个座位
2x+1
平方
高一
(9)班
全体
同学
高一
(9)班
的座
位
3
5
7
9
1
2
3
4
1
4
1
1
2
2
取绝对值
1
1
2
2
3
3
开方
1
2
3
4
9
2
2
3
3
a
b
c
1
2
1
2
a
b
c
a
b
c
1
2
3
1
2
a
b
第 1 页 共 3 页江苏省清江中学教学案
[课题]2.1.3函数的简单性质----奇偶性
[教学目的]
1、 知识与技能：
能结合具体函数，了解奇偶性的含义，初步学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2、过程与方法：
通过对函数基本性质的学习，从对图像的观察，能感知并体会数与形的对应，发现并能探究到函数的基本性质。
3、情感态度与价值观：
养成用数学方法分析数学问题的习惯，培养解数学问题的能力。
[教学重、难点]
函数奇偶性的概念、图像特征及函数奇偶性的判定。
[多媒体辅助链接]
[教学过程]
一、问题情景
师：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影
“对称”是大自然的一种美，无处不在，是生活的一种美，这种“对称美”在数学中也
有很多的反映。
二 学生活动
师：（投影胶片，翻折片）同学们先来观察下列函数图像，从对称的角度你发现了什么？
（1）y=x2 (2)y=2x (3)y=-1 (4) y=-
生：观察得到：（1）、（3）的图像关于y轴对称;
（2）、（4）的图像关于原点对称.
师：问题1.你能说出“图像关于y轴对称”的意思吗？
“图像关于原点对称”的意思呢？
问题2.点（x0,f(x0)）与哪一个点关于y轴对称？
点（x0,f(x0)）与哪一个点关于原点对称？
（同学们可以先回忆初中所学的对称概念，再相互讨论一下，然后在回答问题。）
生：函数y=f(x)的图像关于y轴对称，把此图像沿y轴对折，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上点（-x0,f(-x0)重合；因此有f(-x0)=f(x0)成立。
函数y=f(x)的图像关于原点对称，把此图像绕原点旋转1800，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上的点（-x0,f(-x0)）重合。因此有f(-x0)=-f(x0)成立。
师：很好，同学们的观察很仔细，也很准确。函数的这种性质称为函数的奇偶性。
三 建构数学
师：同学们能否用数学语言来表述函数的奇偶性呢？若能，
问题3 如何用数学语言来准确的表述函数的奇偶性？
生：1）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的偶函数。
2）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的奇函数.
(学生的表述不太完整，不太准确时，教师作适当的提示和补充，使之完善。)
师：如果函数y=f(x)是奇函数或是偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性。
得到了奇函数、偶函数的定义，我们一起再来把定义分析一下。
问题4.“对任意的xA，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立”这句话包含了几层含义？
生：包含了两层含义
（1）说明f(-x)与f(x)都有意义，即xA时必有-xA，这说明奇、偶函数的定义域必须关于原点对称。否则的话，就既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）对于偶函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好相等；
而对于奇函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好互为相反数。
(学生的表述不太完整，不太准确时，教师作适当的提示和补充，使之完善。)
师：强调（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个先决条件；
（2）易知偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。
四 数学应用
师：下面我们一起来看例题（投影胶片）
例1 判断下列函数是否为奇函数或偶函数？
（1）f(x)=x2-1 (2)f(x)=(x-1)2 (3)f(x)=x3+5x
(4)f(x)=x2 (x[-1,2]) (5) f(x)= (6)f(x)=0 (x[-6,-2][2,6])
(7) f(x)= (8)y=
生1：（1）是偶函数.因为它的定义域是R,且对任意xR，都有f(-x)=（-x）2-1=x2-1=f(x)。
（2）既不是奇函数，也不是偶函数。因为虽然它的定义域是R，但对任意xR， f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2，所以f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)。
（3）是奇函数. .因为它的定义域是R, 对任意xR，f(-x)=（-x）3+5（-x），=-x3-5x=-f(x)。
生2：（4）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域不关于原点对称，如f(2)存在，但f(-2)无意义。
（5）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域不关于原点对称。
生3：（6）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域关于原点对称，且对任意x[-6,-2][2,6]，都 有f(-x)=0，故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立 。
（7）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域是，关于原点对称，化简得f(x)=0，所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立 。
生4：（8）是奇函数.由得所以该函数的定义域是[-1，0](0,1]，此时化简得
f（x）=，对任意x[-1，0](0,1]，都有f（-x）==-f（x）成立。
（先由学生回答，教师随时补充、完善，然后投影出完整的书写过程。）
师：问题5。 根据例题，（1）你能归纳一下根据定义判定函数奇、偶性的步骤吗？
生：大致分为三步
第一步，判定函数的定义域是否关于原点对称（若题中未给出，则必须先求出定义域）。若函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数。若函数的定义域关于原点对称，则进行第二步。
第二步，求f（-x）（有时须进行适当的化简和变形），观察f（-x）与f（x）的关系；
第三步，结论。若f（-x）=f（x），则该函数为偶函数；
若f（-x）=-f（x），则该函数为奇函数；
若f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立，则该函数既是奇函数，也是偶函数。
若f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
师：（2） 函数根据奇偶性可以把函数分为几类 ？（4类）
生：四类。奇函数；偶函数；既是奇函数，也是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数。
师：（3）既是奇函数，也是偶函数的函数具有什么特征？有几个？
生：解析式是f（x）=0，定义域关于原点对称即可：有无数个。
师：（4）若f(x)是奇函数，且在x=0时函数有意义，则f(0)=？(偶函数也有此性质吗？)
生：因为奇函数中f（-x）=-f（x），且在x=0时函数有意义，则f(-0)=-f（0），即f（0）=0。
偶函数也没有此性质。
例2 证明函数f(x)=是偶函数。
（先由学生自己思考，然后教师投影出证明过程，强调证明过程书写要完整、规范）
证明：函数f(x)=的定义域为R, 对任意xR，都有
f(-x)= ==f(x)
所以函数f(x)=是偶函数。
（证明一个函数是奇函数或是偶函数必须用定义进行，步骤同判定）
师：例1和例2都是从数的方面来研究函数的奇、偶性，下面我们再从形（图像）的方面来看看。
例3 （1） 已知偶函数f(x)(x[1,4]）上的图像，作出f(x)(x[-4,-1]上的图像；
（2）已知奇函数g(x) (x[1,4]）上的图像，作出g(x)(x[-4,-1]上的图像；
注：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，（函数的单调性是定义域上的局部性质）。
练习 课本P40 1,2,3,4.
五 回顾小结
本节课主要学习了函数的奇偶性的概念以及判断函数在定义域上的奇偶性的方法。
1 函数具有奇偶性必须满足（1）定义域在数轴上关于原点对称
（2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)在定义域内恒成立
若函数定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数。
2 奇函数、偶函数的图像特征
奇函数的图像关于原点成中心对称图形
偶函数的图像关于y轴成轴对称图形
3 数形结合的数学思想在本节课中的应用
六 课外作业
课本P40 5,6 P43 5,6,8,9
[教后反思]
第 1 页 共 6 页[课题]2.1.1函数的概念和图像(二)
[教学目标]
1、 知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
[教学重、难点]
[多媒体辅助链接]
[教学过程]
教学过程
1、 问题情境
1.情境: 课本P25 心电图、示波图、抛一个粉笔头后形成的轨迹等
2.问题: 思考这些图象是如何构成的
二、学生活动
1.作出函数y=2x－1,y=(x≠0)以及的图像（找3名学生在黑板上作）
2.思考这些图象是如何构成的 (满足一定条件的点构成的,具体就是以x作为横坐标,y作为纵坐标描成的点,所有的点即构成函数的图象)
三、建构数学
一般而言,如何作出函数y=f(x)的图象 将自变量的一个值x0,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0, f(x0)).当自变量取遍函数定义域A的每个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为 ,即,所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
既然函数的图象是有点集构成的,但把所有的点都描出,大都时候是无法办到的,所以如何作出函数的图象也就是如何选点的问题.
四、数学应用
例1.试画出下列函数的图象:
(1)f(x)=x＋1 及 f(x)=x＋1,x∈
说明: 一次函数的图象,表示一条直线,故作一次函数的图象仅需作出其两点,然后再连成一条直线;有些函数的图象是由一些孤立的点构成的;要注意图象整体与局部的关系(所作图象的函数的定义域)
(2)f(x)=(x－1)2＋1,x∈
说明:强调整体与局部的关系,可先作出整条抛物线,然后保留所需部分,多余的用虚线表示或擦掉;作抛物线通常找关键点 :顶点,与x轴、y轴点的交点(有的话),然后根据需要再找一些辅助点.
(3)f(x)=,
说明:描点法,多描几个点,作出图象,再与f(x)=的图象对比,得出此类图象的一般作法.
注意从整体上考虑点的选取.
从上看出图象可以直观的反映函数的特征.实际上我们也可以将生活中函数的表格语言转化成图象的形式.
例2.课本26页例5.
说明:必要时,根据需要选择横、纵坐标的单位.
小结:函数图象的作图应该选择合适的单位,合适的点.选择的点尽可能多一些,要反映函数的主要特征,最后连线时要随着点的横坐标由小到大顺次连接,不要跳越.
思考:设函数y=f(x)的定义域为A,则集合P=
与Q=相等么 请说明理由.
(不相等.前者表示的是点集,后者表示的是函数值的集合是数集.)
例3.试画出函数f(x)=x2+1的图象,并根据图象回答下列问题:
(1) 比较f(—2),f(1),f(3)的大小 ;
(2) 若0＜x1＜x2,试比较f(x1),f(x2)的大小.
变(1)若把“0＜x1＜x2”改为“x1＜x2＜0”,结果如何
(2)若把“x1＜x2＜0”改为“|x1|＜|x2|”,结果如何
说明:在这道题中,我们可以体会到可以借助图象的直观性,来研究函数的一些性质.
当然本题当中,这中优越性不明显,但在一些函数的相关问题中,就会简单的多.
练习:课本28页练习1,2,3( 1,2选择一些)
五、回顾小结
本节课我们学习了函数图象的作法,知道应根据需要选择合适的点,合适的单位,要反映函数的主要特征.事实上,我们是在熟悉的常见函数的基础上作图的,且很多时候我们不可能将图象的全部都作出,只能通过局部去反映整体.所以我们通常说是作示意图.但不能将图画得走样.
六、作业布置(略)
[教后反思]
第 2 页 共 2 页
