平面向量练习题
一、选择题
1．下列结论中，不正确的是( )
A．向量，共线与向量∥同义
B．若向量∥，则向量与共线
C．若向量＝，则向量＝
D．只要向量a，b满足|a|＝|b|，就有a＝b
2．设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若a与b共线，则b＝λa.
②若b＝－λa，则a与b共线．
③若a＝λb，则a与b共线．
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中，正确的结论有( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
3.（2010全国卷2文数）（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=
（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b
4.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是( )
A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6]
7．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)
8．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2 B．1 C. D.
9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－ B．2 C. D．－2
10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
A．m≠－2 B．m≠ C．m≠1 D．m≠－1
11．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
12、（2010湖南文数）6. 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°
14、设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相等，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
15．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
16.（2010山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是
(A)若a与b共线，则
(B)
(C)对任意的，有
(D)
17、（2010天津文数）（9）如图，在ΔABC中，，，，则=
（A） （B） （C） （D）
18、（2010全国卷1文数）（11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
19（2010四川文数）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
20、（2010湖北文数）8.已知和点M满足.若存在实使得成立，则=
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
21．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
22．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
23．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.
24．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且α－β＝kπ(k∈Z)，则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.
其中正确结论的序号为________．
25．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．
26．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题
27.设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
28．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
29.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
30．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a，＝b，试用a，b表示.
31．已知|a|＝，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为150°，求|a＋2b|；
(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角大小．
32.(2009年高考湖北卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
33．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．
平面向量
一、选择题
1．下列结论中，不正确的是( )
A．向量，共线与向量∥同义
B．若向量∥，则向量与共线
C．若向量＝，则向量＝
D．只要向量a，b满足|a|＝|b|，就有a＝b
解析：选D.根据平行向量(或共线向量)定义知A、B均正确；根据向量相等的概念知C正确，D不正确．
2．设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若a与b共线，则b＝λa.
②若b＝－λa，则a与b共线．
③若a＝λb，则a与b共线．
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中，正确的结论有( )
A．①② B．①③
C．①③④ D．②③④
解析：选D.①a＝0，b≠0时，不成立，②③④均正确．
3.（2010全国卷2文数）（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=
（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b
解析∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，
∴ ，∴
4.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A.＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，
∴＋＋＝＋＋
＝(＋)＋
＝＋＝－.故选A.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A.法一：∵A、D、B三点共线，∴＋λ＝1，
∴λ＝.故选A.
法二：∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
∴λ＝，故选A.
6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是( )
A．[－6,1] B．[4,8]
C．(－∞，1] D．[－1,6]
解析：选A.∵a＝2b.∴
消去λ，得4m2－8m＋4－cos2α＝m＋2sinα，
即4m2－9m＋2＝－(sinα－1)2.
∵－1≤sinα≤1，∴－4≤－(sinα－1)2≤0，
∴－4≤4m2－9m＋2≤0，
解得≤m≤2，∴＝＝2－∈[－6,1]．
--------------------------------------------------------------
7．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
解析：选B.设C(x，y)，则D(，)，再由＝2，得(0，－4)＝2(，)，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)，故选B.
8．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2 B．1 C. D.
解析：选A.设C(x，y)，则
＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，
∴，解得.∴C(3,3)
又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－ B．2
C. D．－2
解析：选A.ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵ma＋nb与a－2b共线，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0,14m＋7n＝0，
＝－.故选A.
10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
A．m≠－2 B．m≠
C．m≠1 D．m≠－1
解析：选C.由题意知＝(m，m＋1)，＝(m－1，m－1)，因为点A，B，C能构成三角形，所以≠λ.
即≠λ，得m≠1.故选C.
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11．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：选B.∵a＋b＝c，
∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，
∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.
12、（2010湖南文数）6. 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°或150° B．60°或120°
C．120° D．150°
解析：选C.由题意容易得出向量a、b共线，且向量a与向量a＋b的夹角为π，可设向量a＋b与向量c的夹角为α，则(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cosα＝5cosα＝，所以cosα＝，α＝60°，则向量a与向量c所夹的角应为120°.答案为C.
14、设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相等，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：选A.由投影计算公式可得：＝，
即：4a＋5＝8＋5b，即4a－5b＝3，故选A.
15．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，
∴·2＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.
16.（2010山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是
(A)若a与b共线，则
(B)
(C)对任意的，有
(D)
答案：B
17、（2010天津文数）（9）如图，在ΔABC中，，，，则=
（A） （B） （C） （D）
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
18、（2010全国卷1文数）（11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
【解析2】设，
换元：，
【解析3】建系：园的方程为，设，
19、（2010四川文数）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
解析：由＝16，得|BC|＝4w_w w. k#s5_u.c o*m
＝4
而
故2
20、（2010湖北文数）8.已知和点M满足.若存在实使得成立，则=
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
21．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴，解得.
答案：－
22．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析：＝(＋)
＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
23．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.
解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
由，
解得，∴M∩N＝{(－2，－2)}．
答案：{(－2，－2)}
24．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且α－β＝kπ(k∈Z)，则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.
其中正确结论的序号为________．
解析：显然①不对．
对于②：|a|＝＝1，
|b|＝＝1.
∴|a|＝|b|，故②正确．
对于③：∵cosα＝cos(kπ＋β)＝，
sinα＝sin(kπ＋β)＝，
∴a＝(cosβ，sinβ)或a＝(－cosβ，－sinβ)，与b平行．故③正确．
显然④不正确．
答案：②③
25．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
因此，·＝(x－4)(x－2)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
∴当x＝3时，·取得最小值1，此时P(3,0)．
答案：(3,0)
26．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假．
由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题④错误．
答案：②
三、解答题
27.设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，
即＝λ，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，
∴，解得或.
28．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，
＝2e1＋e2
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使
＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2
∴解得 故＝，即AP∶PM＝4∶1.
29.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，
C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
解：法一：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t)－(4,0)
＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝(3,3)．
∴P点坐标为(3,3)．
法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共线，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，
＝(2，－6)，
且向量、共线．
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①，②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．
30．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：由于B、G、F三点共线，因此可设＝x＋(1－x)，即＝xa＋b.
由于C、G、E三点共线，因此可设＝y＋(1－y)，即＝a＋(1－y)(a＋b)＝(1－y)a＋(1－y)b.因此xa＋b＝(1－y)a＋(1－y)b，又a、b不共线，于是得，由此解得x＝，因此＝a＋b.
31．已知|a|＝，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为150°，求|a＋2b|；
(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角大小．
解：(1)∵|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝|a|2＋4|a||b|cos150°＋4|b|2
＝()2＋4××2×cos150°＋4×22＝7，
∴|a＋2b|＝.
(2)∵(a－b)⊥a，
∴(a－b)·a＝|a|2－a·b＝0.
∴a·b＝|a|2.
∴cos〈a，b〉＝＝＝＝.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉＝30°.
32.(2009年高考湖北卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
解：(1)法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则
|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
∵－1≤cosβ≤1，
∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2，
当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，
a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.
∵a⊥(b＋c)，
∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.
由α＝，得cos(－β)＝cos，
即β－＝2kπ±(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.
法二：若α＝，则a＝(，)．
又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得
a·(b＋c)＝(，)·(cosβ－1，sinβ)
＝cosβ＋sinβ－.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.
∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，
解得cosβ＝0或cosβ＝1.
经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．
33．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．
解：(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2(coscos＋sinsin)＝3，∴cosA＝，∵0
(2)∵||＋||＝||，∴b＋c＝a，
∴sinB＋sinC＝sinA，
∴sinB＋sin(－B)＝×，即sinB＋cosB＝，
∴sin(B＋)＝.∵0∴B＋＝或，故B＝或. 当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.故△ABC是直角三角形．
