沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 暑期巩固（含答案）

沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 暑期巩固
判断三边能否构成直角三角形
1、判断下列三条线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　　)
A.a＝4，b＝5，c＝3 B.a＝7，b＝25，c＝24 C.a＝40，b＝50，c＝60 D.a＝5，b＝12，c＝13
2、下列说法中，正确的有（ ）
①如果是直角三角形，那么 一定成立；
②如果不是直角三角形，那么
③中，如果 那么是直角三角形；
④中， 如果 ，那么不是直角三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，，
4、在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．.
5、若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是 ．
6、已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和．
求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形．
利用勾股定理的逆定理求解
1、如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
2、已知：在中，，则的面积是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3、勾股定理的逆定理的具体内容是 ．
4、一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ．
5、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12
（1） 求a的取值范围
（2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类）
勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用
1、如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A. B. C. D.
2、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）
A.90米 B.120米 C.140米 D.150米
3、如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）．
A.24 B.30 C.48 D.60
4、禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元
5、如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积．
勾股数
1、若3、4、为勾股数，则a的值为（ ）
A.－5 B.5 C.－5或 D.5或
2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
3、若a，12，13是一组勾股数，则 ．
4、我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；…
（1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值．
（2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，．
沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 暑期巩固（参考答案）
判断三边能否构成直角三角形
1、判断下列三条线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　　)
A.a＝4，b＝5，c＝3 B.a＝7，b＝25，c＝24 C.a＝40，b＝50，c＝60 D.a＝5，b＝12，c＝13
【答案】C
【解析】解：A、∵32+42=52，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、∵72+242=252，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、∵402+502≠602，∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故本选项正确；
D、∵52+122=132，∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误．
故选C．
2、下列说法中，正确的有（ ）
①如果是直角三角形，那么 一定成立；
②如果不是直角三角形，那么
③中，如果 那么是直角三角形；
④中， 如果 ，那么不是直角三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①如果是直角三角形，且是斜边，那么一定成立；故①不正确；
②不是直角三角形，则任何两边的平方和都不等于第三边的平方，故②正确；
③，
，
是直角三角形，故③正确；
④中，如果，且是最长边，那么不是直角三角形，故④不正确；
综上所述，正确的说法有2个，
故选：B．
3、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，，
【答案】D
【解析】解：A、∵22+（）2=6≠42，故此选项错误；
B、∵42+52=41≠62，故此选项错误；
C、∵22+32=13≠42，故此选项错误；
D、∵12+（）2=3=（）2，故此选项正确．
故选D．
4、在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．.
【答案】直角
【解析】∵32+72=58，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为直角.
5、若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是 ．
【答案】直角三角形
【解析】因为，
所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
6、已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和．
求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形．
【答案】∵最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和
∴
∴是直角三角形．
利用勾股定理的逆定理求解
1、如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．故选B.
2、已知：在中，，则的面积是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积是：．
故选：C．
3、勾股定理的逆定理的具体内容是 ．
【答案】在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】勾股定理的逆定理的内容为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4、一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ．
【答案】/150平方厘米
【解析】三角形的三边长的比为，
设三角形的三边长分别为，，．
其周长为，
，解得，
三角形的三边长分别是15，20，25．
，
此三角形是直角三角形，
．
故答案为：．
5、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12
（1） 求a的取值范围
（2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类）
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a＋1，AC＝12，
∴2a＋1＞12 5，2a＋1＜12＋5，
解得3＜a＜8；
（2）解：当a＝6时，△ABC的三边分别是5、12、13，
∵52＋122＝25＋144＝169＝132，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形（或不等边三角形）．
勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用
1、如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，则在中，

∵，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：A．
2、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）
A.90米 B.120米 C.140米 D.150米
【答案】C
【解析】如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
3、如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）．
A.24 B.30 C.48 D.60
【答案】A
【解析】连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴这块地的面积为：，
故选：A．
4、禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元
【答案】10800
【解析】在中，
∵，
∴AC=5．
在中，，，
而，
即，
∴，
即：
=．
所以需费用：（元）．
故答案为10800．
5、如图，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积．
【答案】解：连接AC，如图所示，
∵DC＝3，AD＝4，CD⊥AD，
∴AC＝＝＝5，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是：
＝＝30﹣6＝24，
即由线段AB，BC，CD，DA围成的封闭图形的面积是24．
勾股数
1、若3、4、为勾股数，则a的值为（ ）
A.－5 B.5 C.－5或 D.5或
【答案】B
【解析】∵3、4、a为勾股数，
当4为直角边时，
∴a==5，
当4为斜边时，
∴a==，不是整数，舍去，
故选：B．
2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据勾股定理得到：C与D的面积的和是F的面积；A与B的面积的和是E的面积；而E，F的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∴SE＝18，SF＝13，SM＝10+8+9+4＝31，故A、B、C选项正确，
∴SM－SE＝13，故D选项错误，
故选：D．
3、若a，12，13是一组勾股数，则 ．
【答案】5
【解析】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意．
②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意；
故答案为5．
4、我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；…
（1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值．
（2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，．
【答案】（1） ，，，是“三维勾股数”，
，
，
由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积，
，且为正整数，
，
解得，
（2），
，
即，
令，
解得，
．