等差、等比数列练习题
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( )
A．7 B．6 C．3 D．2
2.设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{}的前11项和为( )
A．－45 B．－50 C．－55 D．－66
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1 C．2 D.
4．已知等差数列{an}中，a1＝11，前7项的和S7＝35，则前n项和Sn中( )
A．前6项和最小 B．前7项和最小
C．前6项和最大 D．前7项和最大
5．已知数列{an}是正项等差数列，给出下列判断：
①a2＋a8＝a4＋a6；②a4·a6≥a2·a8；③a52≤a4·a6；④a2＋a8≥2.其中有可能正确的是( )
A．①④ B．①②④
C．①③ D．①②③
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1>0，S8＝S13，Sk＝0，则k的值为( )
A．18 B．19 C．20 D．21
7．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝( )
A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3
8、(2009年高考宁夏海南卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
9．(2009年高考辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
11．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则( )
A．a6>b6 B．a6＝b6 C．a6b6或a612、（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，，则
（A）11 （B）5 （C） （D）
13、（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
14、（2010辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
15、（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
16（、2010全国卷2文数）(6)如果等差数列中，++=12，那么++???…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
17、（2010浙江文数）(5)设为等比数列的前n项和，则
(A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
18、（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
19（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
20（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
21、（2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
二填空题
22．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝______.
23．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是________．
24．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
25．(2009年高考海南宁夏卷)等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
26．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满足bn<的最小自然数n是________．
27、（2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。
28、（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
第1列
第2列
第3列
...
第1行
1
2
3
...
第2行
2
4
6
...
第3行
3
6
9
...
...
...
...
...
...
29、（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是
三、解答题
30．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝112，求n.
31．数列{an}满足a1＝a，a2＝－a(a>0)，且{an}从第二项起是公差为6的等差数列，Sn是{an}的前n项和．
(1)当n≥2时，用a与n表示an与Sn；
(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围；
32．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
33.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
34．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值．
等差、等比数列练习题
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( )
A．7 B．6 C．3 D．2
解析：选C.S2＝4，S4＝20?a3＋a4＝16，又a1＋a2＝4，a3＋a4－a1－a2＝12,4d＝12，d＝3.故选C.
2.设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{}的前11项和为( )
A．－45 B．－50 C．－55 D．－66
解析：选D.Sn＝＝－n2，即＝－n，则数列{}的前11项和为－1－2－3－4－…－11＝－66.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1 C．2 D.
解析：选A.由已知得：＝＝＝×＝1.
4．已知等差数列{an}中，a1＝11，前7项的和S7＝35，则前n项和Sn中( )
A．前6项和最小 B．前7项和最小 C．前6项和最大 D．前7项和最大
解析：选C.由等差数列求和公式S7＝7×11＋d＝35可得d＝－2，则an＝11＋(n－1)×(－2)＝13－2n，要使前n项和最大，只需an≥0即可，故13－2n≥0，解之得n≤6.5，故前6项的和最大．
5．已知数列{an}是正项等差数列，给出下列判断：
①a2＋a8＝a4＋a6；②a4·a6≥a2·a8；③a52≤a4·a6；④a2＋a8≥2.其中有可能正确的是( )
A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③
解析：选B.∵数列{an}是正项等差数列，
∴①a2＋a8＝a4＋a6正确；
又∵a2＋a8＝a4＋a6≥2，
∴④正确；
又∵a4·a6－a2·a8＝(a1＋3d)(a1＋5d)－(a1＋d)(a1＋7d)＝8d2≥0(其中d为公差)，
∴②正确；同理可判断出③不正确，故选B.
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1>0，S8＝S13，Sk＝0，则k的值为( )
A．18 B．19 C．20 D．21
解析：选D.∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴Sn＝An2＋Bn，Sn的图象为开口向下的抛物线y＝Ax2＋Bx上横坐标为正整数的点，抛物线的对称轴为x0＝＝，点(0,0)与(21,0)关于直线x0＝对称，∴S21＝0，即k＝21.
7．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．－1或3
解析：选A.由a2a6＝16，得a42＝16?a4＝±4，
又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8.
∵q4>0，∴a4＝4，∴q2＝1.
＝q10＝1.
8.(2009年高考宁夏海南卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
解析：选C.设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3.∴4a1q＝4a1＋a1q2.∴q2－4q＋4＝0.∴q＝2.∴S4＝＝15.
9．(2009年高考辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
解析：选B.由题意知＝＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.
∴＝＝＝＝＝.
10．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：选C.据题意知数列为等比数列，又当公比q≠1时，等比数列前n项和公式为Sn＝＝－qn，令＝a，则有Sn＝a－aqn，故若Sn＝k＋3n，则k＝－1，此外本题可由已知得数列前3项，利用3项为等比数列即可求得k值．
11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
解析：选B.设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积a13q3＝2，后三项之积a13q3n－6＝4.所以两式相乘，得a16q3(n－1)＝8，即a12qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，a1nq＝64，即(a12qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
12．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则( )
A．a6>b6 B．a6＝b6 C．a6b6或a6解析：选A.由q≠1可知{bn}为非常数数列．
由a1＝b1，a11＝b11，bi>0(i＝1,2，…，n)，可知ai>0.
又∵a6＝，b6＝.
由均值不等式>(∵a1≠a11)
知a6>b6.∴应选A.
13、（2010浙江）（3）设为等比数列的前项和，，则
（A）11 （B）5 （C） （D）
解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
14、（2010全国卷2）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
15、（2010辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
解析：选B. 两式相减得， ，.
16、（2010辽宁）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。
17、（2010全国卷2文数）(6)如果等差数列中，++=12，那么++???…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【解析】C：本题考查了数列的基础知识。
∵ ，∴
18、（2010浙江文数）(5)设为等比数列的前n项和，则
(A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
19、（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。
20、（2010广东）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．
∴，即．，即．[来源
20、（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知，10,所以,
所以
21、（2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
二、填空题
22．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝______.
解析：设首项为a1，公差为d，由S4＝14得
4a1＋d＝14.①
由S10－S7＝30得3a1＋24d＝30，即a1＋8d＝10.②
联立①②得a1＝2，d＝1.∴S9＝54.
23．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是________．
解析：∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，
∴a1＋2d＝－a1－8d，
∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，
∴an>0(1≤n≤5)，
∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6.
24．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
解析：∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
25．(2009年高考海南宁夏卷)等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
解析：∵{an}是等比数列，∴an＋2＋an＋1＝6an可化为a1qn＋1＋a1qn＝6a1qn－1，∴q2＋q－6＝0.
∵q>0，∴q＝2.∴S4＝＝＝.
26．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满足bn<的最小自然数n是________．
解析：{an}为等差数列，a1＝1，a7＝4,6d＝3，d＝.
∴an＝，{bn}为等比数列，b2＝2，b3＝，q＝.
∴bn＝6×()n－1，bn<＝，
∴81<，即3n－2>81＝34.
∴n>6，从而可得nmin＝7.
27、（2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。
解析：填15. ,解得，
28、（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。
【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
第1列
第2列
第3列
...
第1行
1
2
3
...
第2行
2
4
6
...
第3行
3
6
9
...
...
...
...
...
...
29、（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是
答案：
三、解答题
30．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝112，求n.
解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a5＝15，
∴a1＋4d＝15，①
∵a10＝25，
∴a1＋9d＝25，②
解①②组成的方程组得：a1＝7，d＝2.
∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.
(2)∵Sn＝112，
∴7n＋n(n－1)×2＝112.
即：n2＋6n－112＝0，
解之得n＝－14(舍去)或n＝8，故n＝8.
31．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．
解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，
故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．
32．数列{an}满足a1＝a，a2＝－a(a>0)，且{an}从第二项起是公差为6的等差数列，Sn是{an}的前n项和．
(1)当n≥2时，用a与n表示an与Sn；
(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围；
(3)若a为正整数，在(2)的条件下，设Sn取S6为最小值的概率是p1，Sn取S7为最小值的概率是p2，比较p1与p2的大小．
解：(1)由已知，当n≥2时，an＝－a＋6(n－2)，
即an＝6n－(a＋12)．
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a＋(n－1)(－a)＋·6
＝3n2－(a＋9)n＋2a＋6.
(2)由已知，当n≥2时，{an}是等差数列，公差为6，数列递增．
若S6是Sn的最小值，则
∴24≤a≤30.
若S7是Sn的最小值，则
∴30≤a≤36.
∴当S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值时，a的取值范围是[24,36]．
(3)∵a是正整数，由(2)知，a＝24,25,26，…，36.
当S6是Sn最小值时，a＝24,25,26,27,28,29,30
当S7是Sn最小值时，a＝30,31,32,33,34,35,36
∴p1＝p2＝
32．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
∴an＝.
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
33.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解：(1)依题意列方程可 解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.
(2)由已知得，bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)
＝＋n＝2n＋2－4＋n.
34．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值．
解：(1)∵S1＝(a1－1)，∴a1＝a，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，＝a，即{an}是等比数列．∴an＝a·an－1＝an.
(2)由(1)知，bn＝＋1＝，
若{bn}为等比数列，
则有b22＝b1b3，而b1＝3，b2＝，b3＝，
故()2＝3·，解得a＝，
再将a＝代入得bn＝3n成立，
所以a＝.
