点到直到的距离 学案
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2.2.4点到直线的距离
【新知导学】
点的直线的距离
1. 在平面直角坐标系中，如果已知点直线则点P到直线的距离为____________1___________。
2. 点到轴的距离_______2_______.
点到轴的距离_______3_______.
点到的距离_______4_______.
点到的距离_______5_______.
两条平行直线之间的距离
设直线，直线，则其距离为____6________.
答案：
1. 2. 3.
4. 5. 6.
【问题导思】
1. 使用点到直线的距离公式的前提条件是什么？
2. 点到直线的距离公式计算中，有三种特殊情形（点到轴，轴的距离，点在直线上）请说明其计算方法。
答案：1. 答：使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程化先为一般式方程。
2. 答：点到轴的距离；
点到轴的距离；
点在直线上时
【重难导读】
点到直线的距离公式
1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是。
2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都
适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。
3．点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离。
4．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程。
５．的取值范围是，点P为平面上的任意一点。
６．当直线为特殊直线，如距离公式仍然成立，不过计算时烦琐，用简单。
７．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6个量。
两条平行直线间的距离公式
１．公式的推导利用了转化的思想，根据两平行线间的距离处处相等，转化为点到直线的距离。
２．两平行线间的距离公式在应用时要注意直线方程应为一般式，并且两直线中的系数应相同。
【典例精析】
题型一：考查点到直线的距离
例１：求点P（3，-2）到下列直线的距离：
（1）（2）（3）轴。
分析：根据点到直线的距离公式求解
解：（1）根据点到直线的距离公式得
。
（2）因为直线平行于轴，所以。
（3）。
点评：对于特殊的直线求距离时，不应代入距离公式，而用距离公式的特殊形式求解。
变式训练1： 已知原点和点P（4，-1）到直线的距离相等，则实数的值为多少？
解：由点到直线的距离公式，有.
于是且，
∴符合题意的的值为-2、4或6.
题型2：考查两平行线间的距离公式
例２：求两平行线和的距离。
分析：可转化为点到直线的距离来求或直接代入距离公式求解。
解法1：在上任取一点A（2，1），则A到的距离即是所求的两平行线间的距离。
。
解法2：设原点到的距离分别为。
由 ， 得 。
解法3：直接利用公式，得
点评：（1）比较以上方法，解法1，2体现了转化的思想，解法3则直接求值，最简单。
（2）解法2要注意原点相对于两平行线的位置，设原点到两平行线的距离分别
为：
若两平行线在原点的同侧，则 ；
若两平行线分居在原点两侧，则 ；
若两平行线中一条经过原点，则直接求。
变式练习２. 已知直线的方程分别是，直线平行于，且直线的距离为，与的距离为，，求直线的方程.
解：设直线的方程为，由，得
.所以，直线的方程为
题型三：点到直线距离的综合应用
例3.已知两点A（4，-3）、B（2，-1）和直线求一点P使|PA|=|PB|
且点P到的距离等于2.
分析：为使|PA|=|PB|，点P必定在线段AB的垂直平分线上；点P到直线的距离为2，
所以点P又在与距离为2的平行线上，求这两条直线的交点即得点P。
解：设点P的坐标为，因为A（4，-3）、B（2，-1），所以线段AB的中点M的
坐标为（3，-2），而
所以线段AB的垂直平分线方程为，而P在
。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1）
由点P到的距离为2得。。。。。。。。。。（2）
由（1）（2）得
所以
点评：在平面几何中，常用交轨法作图得到点P的位置，而在解析几何中，通常是将曲线用方程表示，用求方程组的解的方式求点P的坐标，这是解析法的重要应用。
变式训练3。
解：设M（）为的平分线上任一点，由已知得AC边所在直线方程为
，AB边所在直线的方程为：，
由角平分线的性质得： y
， A
C O x
即 D B
结合图形,
【方法回眸】
1．利用点到直线的距离求解时，直线方程一定要先化成一般式，然后再根据点到直线的距离公式求解。
2．当直线方程特殊时，公式仍然适用，在求解时一般不用代公式求解，而是结合图形，直接写出距离。
３．利用两平行线的距离公式要注意
（1）方程必须化成一般式；
（2） 的对应系数要相等。
４．解题中要注意数形结合及转化等思想方法的应用。
“基础·巩固”
1.点P在直线上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是 （ ）
答案：B 解析:原点到直线的距离就是|OP|的最小值，所以|OP|的最小值是
2.两平行线的距离等于（ ）
A．3 B．0.1 C．0.5 D．7
答案：B解析： 方程可化为
3. （ ）
答案：A 解析：把方程化为，由点到直线的距离公式得
4.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是 ( )
答案：A 解析：当直线与过原点和点（2，1）的直线垂直时原点到直线的距离最大
所以直线的斜率,由点斜式得。
5.与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程
为_____________________.
答案：解析：设的直线：为，化为
截距式为：由。
6.在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线距离相等，则
此点的坐标是___________________。
答案： 解析：设点的坐标为，则
解得：，所以此点坐标为
７. 过点P（1，2）引一直线，使它与两点A（2，3）、B（4，-5）的距离相等，求这条直线的方程。
解.设所求直线为，即
由已知得
解得：。
故所求直线的方程为。
8. 已知直线经过点P（2，-5）且与两点A（3，-2）B（-1，6）的距离之比为，
求直线的方程。
解：由条件可知直线的斜率一定存在，经过点P（2，-5）
所以设直线的方程为
解得
所以直线的方程为
9.已知直线BC,CA,AB的方程分别为，求
此三条直线所围成的三角形ABC的面积。
解：由解得C（-4，-2）；
由 解得A（1，3）；
由 解得B（-5，6）
所以点C 到AB的距离为
，所以
“拓展·提升”
1. 在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：Ｂ解析：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线，即.解得.
当时，，不合题意，舍去.
当时，.所以，符合题意的直线有两条，应选B.
2.已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段|AB|最短时，点B的坐标
为___________________.
答案： 解析：当AB最短时，AB与垂直，又A（0，1）
联立得
３.已知直线和的方程分别是，，直线平行于，且与的距离为，与的距离为，，求直线的方程.
解：依题意可设直线上任意一点，则由点到直线的距离公式可得
，
整理得
即或.
“探究·创新”
两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线之间的距离为d.求：
（1）的变化范围；
（2）当取最大值时，两条直线的方程.
解 ：（1） 如图，显然有，
而，
故所求的的变化范围为.
（2）由图可知，当取最大值时，两条直线垂直于AB.
而
∴所求直线的斜率为，
故所求直线的方程分别为和，
即和.
O
B
A
【新知导学】
点的直线的距离
1. 在平面直角坐标系中，如果已知点直线则点P到直线的距离为____________1___________。
2. 点到轴的距离_______2_______.
点到轴的距离_______3_______.
点到的距离_______4_______.
点到的距离_______5_______.
两条平行直线之间的距离
设直线，直线，则其距离为____6________.
答案：
1. 2. 3.
4. 5. 6.
【问题导思】
1. 使用点到直线的距离公式的前提条件是什么？
2. 点到直线的距离公式计算中，有三种特殊情形（点到轴，轴的距离，点在直线上）请说明其计算方法。
答案：1. 答：使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程化先为一般式方程。
2. 答：点到轴的距离；
点到轴的距离；
点在直线上时
【重难导读】
点到直线的距离公式
1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是。
2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都
适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。
3．点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离。
4．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程。
５．的取值范围是，点P为平面上的任意一点。
６．当直线为特殊直线，如距离公式仍然成立，不过计算时烦琐，用简单。
７．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6个量。
两条平行直线间的距离公式
１．公式的推导利用了转化的思想，根据两平行线间的距离处处相等，转化为点到直线的距离。
２．两平行线间的距离公式在应用时要注意直线方程应为一般式，并且两直线中的系数应相同。
【典例精析】
题型一：考查点到直线的距离
例１：求点P（3，-2）到下列直线的距离：
（1）（2）（3）轴。
分析：根据点到直线的距离公式求解
解：（1）根据点到直线的距离公式得
。
（2）因为直线平行于轴，所以。
（3）。
点评：对于特殊的直线求距离时，不应代入距离公式，而用距离公式的特殊形式求解。
变式训练1： 已知原点和点P（4，-1）到直线的距离相等，则实数的值为多少？
解：由点到直线的距离公式，有.
于是且，
∴符合题意的的值为-2、4或6.
题型2：考查两平行线间的距离公式
例２：求两平行线和的距离。
分析：可转化为点到直线的距离来求或直接代入距离公式求解。
解法1：在上任取一点A（2，1），则A到的距离即是所求的两平行线间的距离。
。
解法2：设原点到的距离分别为。
由 ， 得 。
解法3：直接利用公式，得
点评：（1）比较以上方法，解法1，2体现了转化的思想，解法3则直接求值，最简单。
（2）解法2要注意原点相对于两平行线的位置，设原点到两平行线的距离分别
为：
若两平行线在原点的同侧，则 ；
若两平行线分居在原点两侧，则 ；
若两平行线中一条经过原点，则直接求。
变式练习２. 已知直线的方程分别是，直线平行于，且直线的距离为，与的距离为，，求直线的方程.
解：设直线的方程为，由，得
.所以，直线的方程为
题型三：点到直线距离的综合应用
例3.已知两点A（4，-3）、B（2，-1）和直线求一点P使|PA|=|PB|
且点P到的距离等于2.
分析：为使|PA|=|PB|，点P必定在线段AB的垂直平分线上；点P到直线的距离为2，
所以点P又在与距离为2的平行线上，求这两条直线的交点即得点P。
解：设点P的坐标为，因为A（4，-3）、B（2，-1），所以线段AB的中点M的
坐标为（3，-2），而
所以线段AB的垂直平分线方程为，而P在
。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1）
由点P到的距离为2得。。。。。。。。。。（2）
由（1）（2）得
所以
点评：在平面几何中，常用交轨法作图得到点P的位置，而在解析几何中，通常是将曲线用方程表示，用求方程组的解的方式求点P的坐标，这是解析法的重要应用。
变式训练3。
解：设M（）为的平分线上任一点，由已知得AC边所在直线方程为
，AB边所在直线的方程为：，
由角平分线的性质得： y
， A
C O x
即 D B
结合图形,
【方法回眸】
1．利用点到直线的距离求解时，直线方程一定要先化成一般式，然后再根据点到直线的距离公式求解。
2．当直线方程特殊时，公式仍然适用，在求解时一般不用代公式求解，而是结合图形，直接写出距离。
３．利用两平行线的距离公式要注意
（1）方程必须化成一般式；
（2） 的对应系数要相等。
４．解题中要注意数形结合及转化等思想方法的应用。
“基础·巩固”
1.点P在直线上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是 （ ）
答案：B 解析:原点到直线的距离就是|OP|的最小值，所以|OP|的最小值是
2.两平行线的距离等于（ ）
A．3 B．0.1 C．0.5 D．7
答案：B解析： 方程可化为
3. （ ）
答案：A 解析：把方程化为，由点到直线的距离公式得
4.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是 ( )
答案：A 解析：当直线与过原点和点（2，1）的直线垂直时原点到直线的距离最大
所以直线的斜率,由点斜式得。
5.与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程
为_____________________.
答案：解析：设的直线：为，化为
截距式为：由。
6.在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线距离相等，则
此点的坐标是___________________。
答案： 解析：设点的坐标为，则
解得：，所以此点坐标为
７. 过点P（1，2）引一直线，使它与两点A（2，3）、B（4，-5）的距离相等，求这条直线的方程。
解.设所求直线为，即
由已知得
解得：。
故所求直线的方程为。
8. 已知直线经过点P（2，-5）且与两点A（3，-2）B（-1，6）的距离之比为，
求直线的方程。
解：由条件可知直线的斜率一定存在，经过点P（2，-5）
所以设直线的方程为
解得
所以直线的方程为
9.已知直线BC,CA,AB的方程分别为，求
此三条直线所围成的三角形ABC的面积。
解：由解得C（-4，-2）；
由 解得A（1，3）；
由 解得B（-5，6）
所以点C 到AB的距离为
，所以
“拓展·提升”
1. 在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：Ｂ解析：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线，即.解得.
当时，，不合题意，舍去.
当时，.所以，符合题意的直线有两条，应选B.
2.已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段|AB|最短时，点B的坐标
为___________________.
答案： 解析：当AB最短时，AB与垂直，又A（0，1）
联立得
３.已知直线和的方程分别是，，直线平行于，且与的距离为，与的距离为，，求直线的方程.
解：依题意可设直线上任意一点，则由点到直线的距离公式可得
，
整理得
即或.
“探究·创新”
两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线之间的距离为d.求：
（1）的变化范围；
（2）当取最大值时，两条直线的方程.
解 ：（1） 如图，显然有，
而，
故所求的的变化范围为.
（2）由图可知，当取最大值时，两条直线垂直于AB.
而
∴所求直线的斜率为，
故所求直线的方程分别为和，
即和.
O
B
A