课题：几何概型
师大附中 贺祝华
教法设计：
1）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子。
2）紧扣几何与古典概型的比较，让学生在类比中认识几何概型的特点，加深对其的理解。
3）紧扣几何概型的图形意义，渗透数形结合的思想，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型
一、教学目标
a) 知识与技能
了解几何概型的意义，会求简单的几何概型的概率。
b) 过程与方法
通过学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。
c) 情感、态度与价值观
通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯。
二．教学重点、难点
重点：
（1）关于几何概型的特点,
（2）把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想解决概率问题.
难点：
(1) 把抽象的问题转化为熟悉的几何概型，
(2) 准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d.
三、教学过程设计
项 目
内 容
师生活动
设计意图
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教
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学
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分
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析
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一、
问
题
提
出
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二、
知
识
探
究
练习：从含有四件正品和一件次品的5件产品中随机取出两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是多少？
2、在现实生活中，我们常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率。对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题。
师：提出问题，引导学生发现该概率问题的两大特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有10个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性），属于古典概型。
生：回忆古典概型的计算公式：，从而得此题答案：2/5。
复习古典概型的特点和计算公式，并引出新课。
探究一： 几何概型的含义及其基本特点
[问题1] 取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率大小与哪些因素有关？
在这个问题中，我们可以把绳子抽象成线段，则有下图：
3m
接下来向学生提两个问题：
思考1：把绳子剪断所有可能出现的结果是有限个还是无限个？在任意位置剪断的可能性相等吗？ （学生回答）
（1）所有可能出现的结果（基本事件）有无限个
（2）每个基本事件出现的可能性相等
这是一个古典概型吗？
思考2：要使剪断的两段绳子长都不小于1米，剪断的位置处在何处？
把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段上时满足条件，即应处在图中红色部分
1 m 1 m
3 m
分析： 记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A。
事件A发生的概率与中间一段绳子的长度有关，而且中间一段绳子的长度越长，概率越大.
即事件A发生的概率与中间一段绳子的长度成比例
【问题2】图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下甲获胜的概率与哪些因素有关？（学生回答）
甲获胜的概率与黄色区域扇形的面积有关，面积越大，概率越大.
甲获胜的概率与黄色区域扇形的面积成比例.
【问题3】在装有250毫升纯净水的矿泉水瓶中放入一个病毒，现从中随机取出1杯水，那么这杯水中含有病毒的概率与哪些因素有关？
这杯水中含有病毒的概率与这杯水的体积有关，
而且体积越大，概率越大，
这杯水中含有病毒的概率与它的体积成比例
通过前面三个问题的研究，我们一起来归纳一下：
在问题（1）中，事件发生的概率与满足条件的线段的长度成比例；在（2）中，事件发生的概率与黄色扇形的面积成比例，在（3）中，事件发生的概率与杯中水的体积成比例.
我们把这样的概率模型叫做几何概型，谁能准确地说出几何概型的含义？
几何概型的含义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
对于一个具体问题，我们要判断它是不是几何概型，我们就应该抓住它的本质特征，参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？ （学生回答）（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
探究二：几何概型的概率计算公式
【问题1】取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段绳子的长都不小于1米的概率是
1m 1m
3m
分析：记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A. 当剪段位置处在中间一段时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3，于是事件A发生的概率：P(A)=1/3. (学生齐答)
【问题2】图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下甲获胜的概率是多少？（学生回答）
1/2 3/5
P(B)=S黄色扇形/S圆.
【问题3】在装有250毫升纯净水的矿泉水瓶中放入一个病毒，现从中随机取出50毫升水，那么这50毫升水中含有病毒的概率是多少？
P(C)=50/250=1/5.
由此，你能得出在一般情况下，几何概型中事件A发生的概率的计算公式吗？ （学生回答）
学生讨论：古典概型和几何概型的相同与不同点
古典概型
几何概型
基本事件的个数
有限个
无限个
每个基本事件发生的可能性
等可能性
等可能性
概率计算公式
问题1
师：给出问题1，并向学生提出第一个思考，引导学生该概率问题的特点。
?
生：发现该概率问题的特点：基本事件有无限个且每个基本事件出现的可能性相等，这是不同于古典概型的一种新的概率问题。
?
师：引导学生分析该概率问题的结果与什么因素有关。
生：该概率的大小与中间一段绳子的长度成比例。
问题2
师：引导学生得出甲获胜的概率与黄色区域扇形的面积成比例。
问题3
师：引导学生得出这杯水中含有病毒的概率与它的体积成比例。
师：通过前三个问题的研究，给出一个新的概念：几何概型，引导学生准确描述几何概型的含义。
生：说出几何概型的含义，并能总结出几何概型的两个基本特征。
师：通过三个几何概型的概率计算，进一步引导学生得出几何概型一般的概率计算公式。
生：找到古典概型和几何概型的相同点和不同点。
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通过提出的三个问题，引导学生准确得出几何概型的含义，并能与古典概型比较得出几何概型的两个基本特点。
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为进一步强化几何概型的概念和计算公式。
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三、课
堂
练
习?
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四、
理
论
迁
移?
五、
小
结
作
业
1、在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2】为事件A，记a=-1为事件B，则P（A）=（ 1/2 ）；则P(B)=( 0 ).
-3 -1 0 2 3
?2、射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶，且射中靶面任一点都是
等可能的，那么射中黄心的概率是多少?
?
?
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台每隔1小时报时一次），求他等待的时间不多于10分钟的概率.
分析： （1）假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的；
在0~60之间有无穷多个时刻,
解：设上一次电台报时为T1时刻，下一次电台报时为T2时刻，故线段T1T2的长度为60，设T是T1T2上的点，且T1T=50，TT2=10，
（问：该人要使等待时间不多于10分钟，打开收音机的时刻点应落在什么位置？）
设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻落在线段TT2内，因此由几何概型的求概率公式得： P（A）=TT2/T1T2=10/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
变式：其他条件不变，问他等待的时间短于t分钟的概率是1/3，求t的值。
分析：. 所以 t=20.
?甲乙二人相约定6:00-6:30在约定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率(假定他们在6:00-6:30内的任意时刻到达约定地点的机会是等可能的)。
解:设x、y分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟）, 则
，
且二人会面
在平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能结果是边长为30的正方形，
而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,则（学生动手计算）
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学生回答，并解释解题过程，并由第1题解释说明概率为0的事件不一定是不可能事件。
?
师：（1）这是哪一种概率模型？
（2）那么怎样把它转化成几何概型的形式呢？（对照计算公式:长度、面积、体积）
生：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，从而可以用几何概型求解.
师：引导学生回顾总结解题过程：
实际问题
几何概型
求解
生：解答变式练习。
师：该题中的基本事件是什么？
生：基本事件是甲到达约定地点的时间和乙，到达约定地点的时间这样一个有序数对.
师：这是几何概型吗？
生：（1）基本事件有无数个；（2）每个基本事件的可能性相等，故符合几何概型的条件.
师：怎样把问题转化成几何概型呢？左边的式子用几何图形如何表示表示。（这是本题的难点，故由学生分组讨论，老师巡视并适当给予指导）
生：展示讨论成果。
师：引导学生回顾解题过程：把实际问题转化为几何概型，并用数形结合求解.
巩固几何概型的特点和概率计算公式。
运用新知识，解决具体问题，并能总结出一般的解题步骤。
通过变式练习，进一步加深对此类问题的理解。
这个问题是本节课的重点和难点，多花时间让学生讨论，使学生掌握解决这类问题的方法。
?这节课我们学习了几何概型，
1、几何概型的特点是什么？
2、几何概型的计算公式是什么？
并且在解题时，3、学会把抽象的问题转化为熟悉的几何概型，并用数形结合来解.
作业： 必修3教材第142页1、2、3题。
学生回答
使学生能整体把握这节课所学知识。
四、教学反思：
本节课是高中新课程中新增的一个内容，也是高考考试说明中提出的一个考点，
这类问题的难点是二维的面积问题如何用几何图形表示，本人在这个地方花的时间较长，但在讲解这里时，线性规划还没有开始讲，故只是适当解释符合条件的区域如何去找，没有详细讲解线性规划中有关概念和理论。一节课下来，学生还是基本掌握了几何概型的概念和概率计算方法，但对于如何去找符合条件的区域没有达到我预期的效果，故还需要在以后的学习中进一步加强。
课件25张PPT。问题提出1、练习：从含有四件正品和一件次品的五件产品中随机取出两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是多少？有限性 等可能性古典概型：
2、在现实生活中，我们常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.几何概型知识探究【问题1】取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率大小与哪些因素有关？ 思考1：把绳子剪断所有可能出现的结果（基本事件）是有限个还是无限个？在任意位置剪断的可能性相等吗？思考2：要使剪断的两段绳子的长都不小于1米，剪断的位置处在何处？基本事件有无限个每个基本事件出现的可能性相等【问题1】取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率的大小与哪些因素有关？ 事件A发生的概率与中间一段绳子的长度成比例. 记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.【问题2】图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下甲获胜的概率与哪些因素有关？甲获胜的概率与黄色区域扇形的面积成比例.【问题3】在装有250毫升纯净水的矿泉水瓶中放入一个病毒，现从中随机取出1杯水，那么这杯水中含有病毒的概率与哪些因素有关？这杯水中含有病毒的
概率与它的体积成比例.长度面积体积几何概型的含义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.想一想：几何概型的特点试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
每个基本事件出现的可能性相等【问题1】取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段绳子的长都不小于1米的概率是多少？ 分析：记“剪得两段绳子都不小于1m”为事件A.当剪段位置处在中间一段时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3， 于是事件A发生的概率： 【问题2】图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求出甲获胜的概率是多少？【问题3】在装有250毫升纯净水的矿泉水瓶中放入一个病毒，现从中随机取出50毫水，那么这50毫升水中含有病毒的概率是多少？
一般地，
在几何概型中，事件A的概率计算公式：比较古典概型和几何概型古典概型 几何概型所有基本事件的个数 每个基本事件发生的可能性 概率计算公式有限个无限个等可能等可能试一试： 课堂练习1、在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分
布出现，记a∈(-1,2]为事件A，记a=-1为
事件B，则P(A)=_____ ,P(B)=_____ .概率为0的事件不一定是不可能事件. 02、射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭
都能中靶,且射中靶面任
一点都是等可能的，那么
射中黄心的概率是多少?理论迁移例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台每隔1小时报时一次），求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：（1）假设他在0～60分钟之间任何 一个时刻打开收音机是等可能的，（2）在0～60之间有无穷多个时刻. 把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解. T.T1T2解：如图，设上一次电台报时为T1时刻，下一次电台报时为T2时刻，故线段T1T2的长度为60，设A={等待的时间不多于10分钟},事件A恰好是打开收音机的时刻落在线段TT2内,于是：变式：其他条件不变，如果等待的时间短于t分钟的概率是1/3，求t的值.分析：t=20 设T是T1T2上的点，且T1T=50，TT2=10，例2 甲乙二人互相约定6:00-6:30在约定
地点会面，先到的人要等候另一人10分钟
后，方可离开.求甲乙二人能会面的概率
(假定他们在6:00-6:30内的任意时刻到达
约定地点的机会是等可能的). 解:设x、y分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟）, 则 且二人会面如图，在平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能结果是边长为30的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,则 ，10..-10xy0.y=x-10小结作业小结：1、几何概型的特点；
（1）基本事件的个数是无限的，
（2）每个事件等可能发生；2、几何概型的概率计算公式： 3、学会把抽象的问题转化为熟悉的几何概型，并用数形结合来解. 作业
第142页1、2、3题.谢谢指导！
