25.1一次函数教学设计

25.2 一次函数的图像和性质
第二课时教学课例
研究背景：
本节课是让学生通过具体操作与探究，在探究活动中去经历、体验、内化知识，才能收到好的教学效果。通过充分的过程探究，学生得出图像性质，再借助图像直观的性质进而得到一次函数的性质。放手探究，让学生的潜力与智慧充分表现出来，使他们的真实思维和真实自我有机会得到释放和张扬。
教学设计：
第一步 知识回顾
一次函数的一般表达式是y=kx+b(k,b为常数，k≠0)让学生写出一些常数较简单的一次函数表达式。
画一次函数图像，只需确定两个点（0，b），（- , 0），过这两点作直线。
第二步 动手操作
让学生到前面写出10个一次函数表达式。
让学生说出这些一次函数大致有几种类型。
师写出8个常数简单的一次函数表达式，让学生画出这八个函数的图像（分成8个 小组，6人一组，每组一个），师巡视、指导。
第三步 观察与思考﹣
它们的图像在直角坐标系中位置一样吗？
引导学生从图像变化趋势上观察并分类探索表达式y=kx+b 与图像间的关系。
第四步 一起探究 得出结论
指明探究方向，它们的位置不一样是由什么要素决定的？（分类探究）
由图像性质得出一次函数的性质（直观性语言描述）
从自变量x与函数y之间的变化角度来说明（师引导，生说结论）
教学片段
……
师：一次函数的表达式是y=kx+b(k,b为常数，k≠0),请同学们在黑板上写出一些常数较简单的一次函数表达式行吗？
（学生表现踊跃，写出了10多个）
师：你们认为黑板上这些一次函数大致有几种类型？
生：（讨论一会儿后）四类，即k﹥0,b>0；k>0,b<0;k<0,b>0;k<0,b<0。
（老师在学生板书的函数中不同类型各选了两个，并把常数较复杂的更换成简单的常数，即y=3x+2,y=-2x+3,y=x+1,y=-x+2,y=-2x-2,y=x-2,y=-x-3,y=2x-1）
师：我们来画出这八个函数的图像。
（把任务分配给了8个小组，每组1个，6人一组，在坐标系已画好的黑板上动手操作）
（学生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，教师到每组巡视、指导。在确认画图全部正确的情况下，老师提出了要求）
师：请同学们组间比较一下，你们的图像在直角坐标系中位置一样吗？
生：（互相探视后）“不一样”，“有些一样”……
师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）
生：（七嘴八舌）“走向不一样”，“经过的象限不一样”，“我们的图像在原点上方”，“我们的图像在原点下方”……
师：看来有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路是明智的）
生1：是由k、b的取值确定的。
师：很好！我们围绕生1的回答，能得到图像或函数的哪些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）
（热烈讨论后）
生2（板书）：当k>0时，图像从“左下”到“右上”；当k<0 时，图像从“左上”到“右下”。
生3（板书）：当b >0时，图像在原点上方；当b <0时，图像在原点下方。
生4（板书）：当k>0，b>0 时，图像经过一、二、三象限。
（生5、生6跑到黑板前补充：当事人k>0,b<0时，图像经过一、三、四象限；当k<0,b>0时，图像经过一、二、四象限；当k<0,b<0时，图像经过二、三、四象限）
（这个探究过程约用了10多分钟，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受几位同学的板书，但老师未对结论进行优化。这时倒使老师为难了，怎么没有一个学生说出一次函数的性质呢？短暂局促与紧张后，老师确定了思路）
师：刚才你们研究了图像的性质，能否由图像性质得出相应函数的性质呢？
（学生茫然）
师：请看生2的板书，能揣摩图像“走向”的意思吗？
生（七嘴八舌）：当k>0时，图像向上“爬”；当k<0时，图像向下“走 ”……（未出现老师所预期的结论）
师：好，大家能很贴切地从图像的直观形象来理解图像性质，能不能从自变量x与函数y之间的变化的角度来说明“向上爬”、“向下走”的含义呢？
生众：当k>0时，x与y 同向变化，k<0时，x与y异向变化……
师：也就是说，k>0,x增大，y……
生众：增大。
师：k<0时，x……y……
生众：x增大，y减小；x减小，y增大。
（在这里，老师努力避免了知识的“告诉”方式工，而是间接引导）
师：好了，我们就用x与y 之间的变化规律来表达一次函数的性质好吗？请同学们在书上补充图像的性质，并熟悉一下一次函数的性质。
……
教学反思
1.尊重学生实际，让学生在自主学习中提高。
首先设计适合学生探究的素材。学生动手写出一次函数的表达式，又分别观察了这些一次函数分了几种类型，回顾了一次函数图像的画法使他们动手画这些图像时非常顺利的进行，在画出图像后，教师因势利导引导学生观察一次函数“图像的性质”，把一次函数的性质研究直观地转化为对图像“增减性”的研究，再从“图像”的性质轻松理解一次函数的性质。
2.允许学生质朴而真实的说法
如学生说的“走向”，“向上爬”，“下降”等，逐步过渡到用数学语言来描绘事物。
3．教师引导学生自主研究得出结论，在自主学习中，教师要较好地扮演促进者、协作者、组织者的角色。数学教学的过程是师生共活动，共同成长与发展的过程，学生也是课程资源的开发者，如本课例中学生一时得不出一次函数性质的内容，教师引导的过程就是充满机智的过程。通过充分的过程探究，学生终于得出y=kx及y =kx+b的性质。
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25.1 一次函数教学设计
教学目标
知识与技能：知道一次函数与正比例函数的意义及区别联系。能写出实际问题中的一次函数的解析式。
过程与方法：经历从具体问题情景中建立一次函数的数学模型的过程，使用并体会到数学的抽象性和广泛的应用性。
情感、态度、价值观：体会现实生活中存在着大量的函数关系，学习一次函数的有关知识是生活和工作的需要。使学生真正懂得“数学源于生活”，激发学生爱国主义思想和求知欲。
教学重点：一次函数与正比例函数概念的理解。
教学难点：根据具体条件求出一次函数与正比例函数的解析式。
教学方法：结构教学法、以学生“再创造”为主的教学方法。
教材分析：一次函数是函数学习的基础。掌握一次函数的意义、特点、应用对以后学习函数有着非常重要的意义。
本节课首先实际问题入手，引入一次函数的定义，函数关系式，在定义它的特例——正比例函数及其意义，让学生逐步掌握一次函数的线性特点，并会用这些特点使一次函数的不同表达方法相互转化。根据实际问题、具体要求选用适当的表示方法来解决相关问题。提高学生解决实际问题的能力，使学生数学与现实世界的内在联系，鼓励他们有条理地表达和思考，培养其学习的兴趣。
课前准备：
教师准备：1、多媒体课件。
2．边长相等的正三角形和正六边形彩纸若干张。
3．准备适当的练习。
学生准备：1．课前复习有关变量与函数的知识，为学习作好准备。
2．预习有关一次函数的内容。
课时安排：1课时
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
创设情境 让我们信心饱满，伴随着儿时的童谣追忆童年。放音乐。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）你们能接着数下去吗？ 　　六只青蛙呢？ 　　　　　　　　　　　　　x只青蛙呢？ 　　　　　　　　　　　　x只青蛙有多少条腿？ 　　　　　　　　　　　　x只青蛙共有的腿数y与x有怎样的函数关系呢？（板书；y=4x) 　　　　　　　　　　　　　　　(2)像这样的函数关系，就是我们今天要认识的新朋友—— 一次函数。我们该树立怎样的学习目标呢？请班长来播报。（板书：25.1一次函数） 学生欣赏歌谣，学生回答：能。六只青蛙，六张嘴，十二只眼睛，二十四条腿，六声扑通跳下水。x只青蛙共有4x条腿。y＝ 4x.(2)班长读学习目标。 通过歌谣《数青蛙》激发学生的求知欲，唤起学生兴趣，引发函数关系，从而揭示课题。使学生快速进入本课的学习。
引导自学 试着做一做：众所周知：08年奥运会近在咫尺，很多人都想亲临赛场一饱眼福。你们想不想？我们的同学小明也有这样的梦想，请这位阳光男孩来介绍一下。　　　　　　　　　　　　　　问题1：小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来。以购买他期盼已久的2008年奥运会北京赛区足球门票.他已存有50元，从现在起他每月节存15元，那么n(月)后小明的存款数m(元)是___________哪位同学说说？（板书：m=50+15)(2)m是不是n的一次函数呢？怎样的函数关系才是一次函数呢？让我们带着这些问题来阅读课本152页，揭开一次函数神秘的面纱。请同学完成试着做做，你将会有更多的收获，你将是最棒的！结论：如果两个变量x和y之间的函数关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k ≠ 0)的形式，那么就称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k ≠ 0)这时，y叫做x的正比例函数。（4）同学们看得特认真，第1题你是如何填的？谁来试着说一下？同意的举手，咱们的同学分析问题能力很强。（5）第2题中s1与t之间的函数关系怎样列？回答得完全正确，那s2与t呢？为什么这样列？答得非常精彩。（6）请同学们细心观察，找出这些函数的共同点并回答问题。1、这些函数的表达式中自变量是谁？谁是谁的函数？2、在这些函数表达式中，表示函数的自变量的式子是整式吗？是关于自变量的几次式？他们的共同特点是什么？ 同学回答：（2）答：m=50+15n (3)学生看书三至四分钟。　　　（4）y＝80+1.6x　　　　（5）s1=0.2t s2=3.5-0.2t并回答这样列出关系式的理由。 (6)同学观察：y=4x ②y=80+1.6x ③s1=0.2t答：正比例函数是③。2题：若函数y＝（m-2）x+5是一次函数，则m为何值？答：m≠2因为是一次函数，只需m-2≠0，即m≠2。　　　3题：若函数y=2x+5-m是正比例函数，则m为　　　　　　　答：m=5　　　　　因为当5-m=0时，才是y＝kx的形式，所以m=5。　　　　　（9）多名同学列举一次函数表达式。 以问题做向导，安排自主学习，使学生积极自主地进行记忆理解，探究运用，努力完成学习任务。以学生“自主发现为主”为主，开动脑筋，做到：“学生能自己学会的不讲”，一定让学生得到真正的锻炼。
自主探究 一起探究：同学们在实际生活中一次函数也有非凡的表现，我们一起俯看气势磅薄的长江三峡大坝，问题2：长江三峡大坝从2003年6月1日开始下闸蓄水，到6月10日，水库的水位由106米升至135米，假设这段时间按220小时计算，且水位的上升可以看做匀速的。 请各小组针对这些问题展开合作交流，并把你们交流的结果填在智慧卡上，我们再来比一比哪一小组智慧多。1 、在这段时间内,水库水位平均每小时上升多少米 2、在这段时间内水库的水位y（米）与下闸蓄水的时间t（小时）之间的函数关系式是怎样的？3、请指出这个一次函数的自变量的取值范围 （1）请一名播音员为我们播报长江三峡大坝。（2）请各小组针对这些问题展开合作交流，并把你们交流的结果填在智慧卡上，我们再来比一比哪一小组智慧多。（3）在展台上展示第一个做完的小组的答案，夺冠组可以由多名发言人进行答辩，同学不要啬吝你们的掌声啊！（3）展示各个小组镶嵌的图案，大家列的函数关系式都是s=4n，同学们你们真了不起，当n＝10时，s是多少？‘可以提出这样的质疑：A、29怎么来的？　　B、为什么这样列表达式？　　　　　　　　　C、自变量的取值范围为什么不超过200？……　　（4）能　　　　　　　　　各组同学合作镶嵌图案（约三分钟）s=4n　　　　当n＝10时，s＝40 以问题做向导，安排自主学习，使学生积极自主地进行记忆理解，探究运用，努力完成学习任务。让学生在已有的知识水平的基础上发现问题，分析问题，掌握知识提升能力。通过考察对一次函数及正比例函数概念的理解，使同学们利用数学的抽象性。让同学们举例说出一个一次函数的表达式，目的在于举一反三，使同学达到对新概念的理解
合作交流 大家谈一谈：问题3如图：用边长相等的黄色正三角形与绿色正六边形镶嵌图案，按第1、2个图案所示规律依次下去，你能镶嵌出第3个图案吗？则第n个图案中黄色正三角形的个数m与n的函数关系式　　　　　　　　　　　　　　展示各个小组镶嵌的图案，大家列的函数关系式都是s=4n，同学们你们真了不起，当n＝10时，s是多少？咱们班的同学不用发愁下岗，你们至少可以当一名出色的设计师。 （1）一学生读题　　　　（2）学生交流讨论，填写智慧卡约3-4分钟（3）可以提出这样的质疑：A、29怎么来的？　　B、为什么这样列表达式？　　　　　　　　　C、自变量的取值范围为什么不超过200？……　　（4）能　　　　　　　　　各组同学合作镶嵌图案（约三分钟）s=4n　　　　当n＝10时，s＝40 通过组内互动和组间交流，达到学生自主探索，解决疑问的目的。通过师生互动，动手操作探寻规律，满足学生感受一次函数现实主义的愿望。
拔高创新 例题讲解：例 如图25－1，⊿ABC是边长为x的等边三角形。（1）求BC边上的高h与x之间的函数关系式。h是x的一次函数吗？（2）求△ABC的面积S与x之间的函数关系式，S是x的一次函数吗？（3）如果边长是2x，高AD等于多少呢？（板书：h=√3x,h是x的一次函数）,h与x之间的函数关系式如何？h是x的一次函数吗？怎样求三角形ABC的面积S与x之间的函数关系式呢？s是x的一次函数吗？（板书S＝，即　s不是x的一次函数） （1）学生读题请这位同学来读题。（2）等边三角形是特殊的什么三角形？AD是等边三角形BC边上的高，你能根据等腰三角形的哪一特性求BD呢？　（3）在直角三角形ABD中，根据勾股定理得AD2＝AB2-BD2＝22-12＝3所以AD＝√3　　　　　　　（4）AD＝√3xh＝√3x,h是x的一次函数。S＝1/2*BC*AD＝√3x2s不是x的一次函数，因为x的次数不是一次。比如：长江三峡大坝蓄水是方法①，铺正三角形和正方形镶嵌是用方法②，等边三角形钢筋结构则用的是方法③总结：猜想大概是下面的方法：找等量　　　直接列观察实际　寻规律看图形　抓特点定理定义　　来帮忙一次函数　　分辨清一次整式　　不能忘 通过将实际问题转化为教学问题渗透数学建模思想，进而一层一层的拔高，使学生对一次函数有了更深的理解，使同学们体会到数学的抽象性和广泛应用性。
沙场练兵 俗话说方法是最好的老师，有了好方法，就如同士兵有了精锐的武器，在战场上才会战无不胜，让我们真枪实弹，走进沙场，进行数学练兵，你们有没有信心？（1）我们看这一枚枚光闪闪的奖牌在等着大家去摘取，去抢夺。下面，请每个小组选派一名同学来进行电脑操作。注意：你喜欢你喜欢哪枚奖牌就点击它，然后会出现一道特简单的选择题，再点击你选的答案，金牌就属于你了。我们再次在竟争中大显身手。（2）刚才进行的必答题：最精彩的是下面的抢答题的比赛：请听：①　　　②多少小时能卖完？ 生答：有（1）每人一组开始逐个进行操作解答（2）s1＝8.54ts2＝110-8.54tw=18ny=900-15x即当y＝0时，900-15x＝0，x＝60，销售60小时可以卖完。 目的是查漏补缺，质量验收，让同学在应用中体验理解、提高，为教师提供反馈资料。
课堂小结 同学谈收获 通过这节课的学习，请你谈谈自己有哪些收获？
布置作业 请你利用一次函数的有关知识结合生活实际自己编一道应用题并进行解答。
教学反思
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