1．1　直线的斜率与倾斜角 (课件+学案+练习) 高中数学苏教版选择性必修第一册

1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．
2. 初步感受直线的方向与斜率之间的关系，体会研究直线的方向的变化规律，就是研究直线斜率的变化规律．
活动一背景引入　　
1. 在日常生活中，我们经常要爬楼梯，那么楼梯的倾斜程度是如何刻画的？
2. 通过建立平面直角坐标系，点可以用坐标来刻画，那么类比坡度，如何用数学语言刻画直线的倾斜程度？
活动二直线的斜率　　
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2(如图1)，那么k＝(x1≠x2)是一个定值，我们称其为直线l的斜率．如果x1＝x2(如图2)，那么直线l的斜率不存在．
图1 图2
思考1
(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？
(2) 当直线与x轴平行或重合时，其斜率为多少？
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？
(4) 直线的斜率还可以从什么角度认识？
我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示).
图1中，对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可看作k＝.
思考2
将直线l上的点P沿x轴方向向右平移 4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度，得到的点仍在直线l上，则直线l的斜率为(　　)
A. B. 2 C. D. －
活动三求直线的斜率　　
例1如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．
思考3
由例1可归纳得出：
当直线的斜率为正时，直线是如何倾斜的？
当直线的斜率为负时，直线是如何倾斜的？
当直线的斜率为0时，直线是如何倾斜的？
当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？
例2　已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2＋2)，求直线l的斜率．
运用斜率公式求直线的斜率时，如果斜率存在，一定要注意公式中x1≠x2的条件．
　　
活动四斜率公式的简单应用　
例3 经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
(1) ；　　　　　(2) －.
思考4
已知一点和直线的斜率，如何作出直线？
思考5
还有其他作法吗？
　例4已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．
三点共线时，可以利用斜率相等求点的坐标.
1. (2025北京西城期中)过点A(2，1)，B(4，5)的直线的斜率为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 已知直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. (－2，0] B. (－∞，－2]∪[0，＋∞)
C. [1，2] D. [－2，0]
3. (多选)(2025五河一中月考)若点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，则当x1∈[0，1)时，可能等于(　　)
A. －1 B. －2 C. －3 D. 0
4. (2025双滦实验中学期中)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
5. 已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. 理解直线的倾斜角的定义、知道直线的倾斜角的范围．
2. 掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．
3. 通过学习，提高观察、探索的能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价的能力．
活动一巩固直线斜率的概念
1. 直线的斜率是如何定义的？
2. 如何证明三点共线？
思考1
刻画直线的倾斜程度除了斜率之外还可以借助其他的量吗？
活动二了解直线的倾斜角　　
3. 如何刻画直线的倾斜角？
4. 直线的倾斜角的定义：
(1) 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．
(2) 规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
思考2
直线的倾斜角α的取值范围是什么？
例1已知直线l的倾斜角是α－25°，则α的取值范围是(　　)
A. [25°，205°) B. [25°，205°]
C. (25°，205°] D. (25°，205°)
活动三探究直线的倾斜角和斜率的关系　　
探究：
(1) 直线的倾斜角与斜率存在怎样的关系？
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在．
因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.
(2) 直线的倾斜角的变化对直线的斜率的变化有怎样的影响？
当倾斜角α∈[0，)时，k≥0，且k随α的增大而增大．
当倾斜角α∈(，π)时，k<0，且k随α的增大而增大．
当倾斜角α＝时，k不存在．
例2 已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.
例3　已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1).
(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
思考3
根据平面直角坐标系中两点，如何判断直线的倾斜角是锐角、直角或钝角？
例4　若直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为__________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．
活动四利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题　　
例5已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
思考4
若将点P(－1，2)变为点Q(4，－4)，结果如何？将点P(－1，2)变为点T(－3，3)，结果又如何？
1. (2025重庆期中)倾斜角为钝角的直线l一定经过(　　)
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二象限 D. 第二、三象限
2. (2025常州期中)若一条直线经过点(1，0)和(0，)，则该直线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2025贵州期中)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，斜率分别为k1，k2，k3，且α1>α2>>α3，则下列结论中正确的是(　　)
A. k2>0 B. k3>k2 C. k3>k1 D. k2>k1
4. (2025深圳明德实验学校期末)已知直线l过点P(3，4)，且与以A(－1，0)，B(2，1)为端点的线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
5. 如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
1.1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
【活动方案】
1. 楼梯的倾斜程度是用坡度刻画的，其中坡度＝，如果楼梯台阶的宽度(级宽)不变，那么每一级台阶的高度(级高)越大，坡度就越大，楼梯就越陡．
2. 类似于楼梯倾斜程度的刻画，倾斜程度＝.　
思考1：(1) k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．
(2) 当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
(4) 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．
思考2：C　k＝＝.
例1　设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，
则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
思考3：当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
例2　当m＝1时，直线l的斜率不存在；
当m≠1时，直线l的斜率k＝＝.
例3　(1) 如图1，根据斜率＝，斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后仍在此直线上．将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后得到点(7，5)，即可确定直线．
(2) 如图2，因为－＝，所以将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向下平移3个单位长度后得到点(7，－1)，即可确定直线．
图1 图2
思考4：根据斜率可确定另外一点，然后作出直线．
思考5：通过斜率来进行直线的平移．
例4　kAB＝＝，kBC＝＝.
因为A，B，C三点在一条直线上，
所以kAB＝kBC，即＝，
解得a＝2或a＝.
【检测反馈】
1. D　由题意，得kAB＝＝2.
2. D　因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以－2＝kOA≤k≤0，故直线l的斜率k的取值范围是[－2，0].
3. BC　因为表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k，且M(x1，y1)是函数y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图，点B(1，e)，所以k∈(－∞，－2].故选BC.
4. －2　由点P(3，m)在过点A(2，－1)和B(－3，4)的直线上，得＝，即＝＝－1，解得m＝－2.
5. 由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.
由斜率公式，得直线AC的斜率kAC＝，直线BC的斜率kBC＝，
则＝3×，解得m＝4.
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
【活动方案】
1. 已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝(x1≠x2).
2. 已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出它们的斜率，若三个斜率相等，则三点共线．
思考1：直线的倾斜角．
3. 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．
思考2：[0，π)
例1　A　由题意可知0°≤α－25°<180°，解得 25°≤α<205°.
例2　由题意，得＝tan 45°＝1，
解得m＝－1或m＝－2.
当m＝－1时，点A，B重合，舍去，
所以m＝－2.
例3　由题意，得kMN＝＝.
(1) 当倾斜角为锐角时，kMN＝>0，
解得m>1或m<－5.
(2) 当倾斜角为钝角时，kMN＝<0，
解得－5(3) 当倾斜角为直角时，则kMN不存在，
此时2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
思考3：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角．
例4　k1>k2>k3　α3>α1>α2　
例5　由题意，得直线PA的斜率是k1＝5，直线PB的斜率是k2＝－.
当直线l由PA变化到与y轴平行的PC位置时，它的倾斜角由锐角α(tan α＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至β(tan β＝－)，斜率的变化范围是(－∞，－]，所以斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞).
思考4：当点P(－1，2)变为点Q(4，－4)时，
由题意，得kAQ＝－，kBQ＝－4.
因为－4<－<0，
所以斜率k的取值范围是[－4，－].
同理可得当点P(－1，2)变为点T(－3，3)时，斜率k的取值范围是[－6，－].
【检测反馈】
1. B　因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负，所以直线l一定经过第二、四象限．
2. C　因为直线经过点(1，0)和(0，)，所以该直线的斜率为＝－，则该直线的倾斜角α满足tan α＝－.又α∈[0，π)，所以α＝.
3. BC　由题意可得三条直线在坐标系中的大概位置如图，因为π>α1>α2>>α3，tan α20>k1>k2，故A，D不正确；B，C正确．故选BC.
4. [1，3]　如图，因为直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，所以要使直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率k的取值范围为[1，3].
5. 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝.
又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率都为0.
由菱形的性质，得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.(共27张PPT)
第1章
直线与方程
1.1　直线的斜率与倾斜角
1.1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．理解直线的倾斜角的定义、知道直线的倾斜角的范围．
2．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．
3．通过学习，提高观察、探索的能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价的能力．
活 动 方 案
活动一　巩固直线斜率的概念
1．直线的斜率是如何定义的？
2．如何证明三点共线？
【解析】 已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出它们的斜率，若三个斜率相等，则三点共线．
思考1
【解析】 直线的倾斜角．
刻画直线的倾斜程度除了斜率之外还可以借助其他的量吗？
活动二　了解直线的倾斜角
3．如何刻画直线的倾斜角？
【解析】 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．
4．直线的倾斜角的定义：
(1) 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．
(2) 规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
思考2
【解析】 [0，π)
直线的倾斜角α的取值范围是什么？
　　　已知直线l的倾斜角是α－25°，则α的取值范围是 (　　)
A．[25°，205°)　　　　 B．[25°，205°] 　　　　
C．(25°，205°]　　　　 D．(25°，205°)
1
【解析】 由题意可知0°≤α－25°<180°，解得 25°≤α<205°.
A
活动三　探究直线的倾斜角和斜率的关系
探究：
(1) 直线的倾斜角与斜率存在怎样的关系？
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在．
因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.
　　　已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.
2
　　　已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1).
(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
3
解得－5(3) 当倾斜角为直角时，则kMN不存在，
此时2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
思考3
【解析】 当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角．
根据平面直角坐标系中两点，如何判断直线的倾斜角是锐角、直角或钝角？
　　　若直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为____________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为___________．
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k1>k2>k3
α3>α1>α2
活动四　利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题
　　　已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
5
思考4
若将点P(－1，2)变为点Q(4，－4)，结果如何？将点P(－1，2)变为点T(－3，3)，结果又如何？
检 测 反 馈
1
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3
4
5
1．(2025重庆期中)倾斜角为钝角的直线l一定经过 (　　)
A．第一、三象限　　　　 B．第二、四象限
C．第一、二象限　　　　 D．第二、三象限
【解析】 因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负，所以直线l一定经过第二、四象限．
B
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C
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BC
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4．(2025深圳明德实验学校期末)已知直线l过点P(3，4)，且与以A(－1，0)，B(2，1)为端点的线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
[1，3]
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5．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
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谢谢观看
Thank you for watching(共26张PPT)
第1章
直线与方程
1.1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．
2．初步感受直线的方向与斜率之间的关系，体会研究直线的方向的变化规律，就是研究直线斜率的变化规律．
活 动 方 案
活动一　背景引入
1．在日常生活中，我们经常要爬楼梯，那么楼梯的倾斜程度是如何刻画的？
2．通过建立平面直角坐标系，点可以用坐标来刻画，那么类比坡度，如何用数学语言刻画直线的倾斜程度？
活动二　直线的斜率
图1
图2
思考1
【解析】 k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．
(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？
【解析】 当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.
(2) 当直线与x轴平行或重合时，其斜率为多少？
【解析】 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？
(4) 直线的斜率还可以从什么角度认识？
【解析】 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．
我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示).
图1
思考2
将直线l上的点P沿x轴方向向右平移 4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度，得到的点仍在直线l上，则直线l的斜率为
(　　)
C
活动三　求直线的斜率
　　　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．
1
思考3
【解析】 当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
由例1可归纳得出：
当直线的斜率为正时，直线是如何倾斜的？
当直线的斜率为负时，直线是如何倾斜的？
当直线的斜率为0时，直线是如何倾斜的？
当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？
　　　已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2＋2)，求直线l的斜率．
2
运用斜率公式求直线的斜率时，如果斜率存在，一定要注意公式中x1≠x2的条件．
活动四　斜率公式的简单应用
　　　经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
3
图1
图2
思考4
【解析】 根据斜率可确定另外一点，然后作出直线．
已知一点和直线的斜率，如何作出直线？
思考5
【解析】 通过斜率来进行直线的平移．
还有其他作法吗？
　　　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．
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三点共线时，可以利用斜率相等求点的坐标．
检 测 反 馈
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1．(2025北京西城期中)过点A(2，1)，B(4，5)的直线的斜率为
(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．2
D
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2．已知直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是 (　　)
A．(－2，0]　　　　 B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)　　　　
C．[1，2]　　　　 D．[－2，0]
【解析】 因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以－2＝kOA≤k≤0，故直线l的斜率k的取值范围是[－2，0].
D
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BC
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4．(2025双滦实验中学期中)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，
B(－3，4)的直线上，则m＝______．
－2
1
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5．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
谢谢观看
Thank you for watching1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
建议用时：40分钟　答案P17　评价：________
一、 单项选择题
1 经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k的值为(　　)
A. B. － C. D. －
2 若过点(－2，－m)和点(m，4)的直线的斜率等于－1，则实数m的值是(　　)
A. 1 B. －3 C. 3 D. －1
3 以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A. (4，1)与(－4，－1) B. (0，1)与(1，0)
C. (1，4)与(－1，4) D. (－4，1)与(－4，－1)
4 (2025启东中学检测)若将直线l沿 x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是(　　)
A. － B. C. － D.
5 (2025南充高级中学期中)已知三点A(4，3)，B(2，－3)，C(5，m)在同一条直线上，则实数m的值为(　　)
A. 12 B. 24 C. 6 D. 10
6 设P为x轴上的一点，点A(－2，1)，B(7，5)，若直线PA的斜率是直线PB斜率的2倍，则点P 的坐标为(　　)
A. (－1，0) B. (－3，0) C. (2，0) D. (4，0)
二、 多项选择题
7 (2025杭州七中期中) 已知直线l过点P(1，3)，且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，点A(－1，－4)，B(2，－3)，则实数k的值可以取(　　)
A. －8 B. －5 C. 3 D. 4
8 已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　)
A. (0，2) B. (2，0) C. (－8，0) D. (0，－8)
三、 填空题
9 (2025北京和平街一中期中)若经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率是12，则实数m的值为________．
10 已知A(－1，1)，B(x，2)，C(－2，y)是斜率为1的直线上的三点，则x＋y＝________．
11 已知过点A(a，0)，B(1，2)的直线的斜率大于2，则满足条件的a的一个值可以为________．
四、 解答题
12 根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线．
(1) P(1，2)，k＝3；
(2) P(2，4)，k＝－；
(3) P(－1，3)，k＝0；
(4) P(－2，0)，斜率不存在．
13 已知点A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则点A，B，C共线吗？点A，B，D呢？
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
建议用时：40分钟　答案P17　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025南充高级中学期中)经过两点P(2 025，1)，Q(2 025，2)的直线的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 60° C. 90° D. 不存在
2 若经过两点A(4x－2，1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则实数x的值为(　　)
A. －1 B. －3 C. 2 D.
3 已知直线l斜率的绝对值为1，则直线l的倾斜角为 (　　)
A. B. C. 或 D. 或
4 (2025惠州华罗庚中学月考)已知直线l1经过两点A(－1，0)，B(2，6)，将直线l1绕其与x轴的交点逆时针旋转得到直线l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B. 3 C. －3 D. －
5 若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (－1，＋∞)
C. (－1，1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
6 (2025贵州铜仁一中、思南中学期中)已知直线l的斜率k∈(－1，－]，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. ∪ D. ∪
二、 多项选择题
7 下列命题中，正确的是 (　　)
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为－30°
C. 倾斜角为0°的直线有无数条
D. 若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
8 若直线l的斜率为m2－2m，则直线l的倾斜角可能为(　　)
A. B. C. D.
三、 填空题
9 已知a，b，c是两两不等的实数，则经过P(a，c－b)，Q(b，c－a)两点的直线的倾斜角为________．
10 已知直线l的斜率k∈[－，1]，则直线l的倾斜角β的取值范围是____________．
11 已知点A(－1，3)，B(3，2)，过点P的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
四、 解答题
12 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：
(1) P(－2，2)，Q(2，－2)；
(2) P(5，)，Q(2，2).
13 (2025盐城五校联盟月考)已知坐标平面内两点M(2m＋3，3m＋4)，N(3m－1，m－1).
(1) 当直线MN的斜率不存在时，求实数m的值；
(2) 当直线MN的倾斜角分别为锐角和钝角时，求所对应实数m的取值范围．
1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. C　经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝＝.
2. B　由题意，得＝－1，解得m＝－3.
3. D　根据斜率公式可知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，结合选项可知D正确．
4. C　设A(a，b)为直线l上的任意一点，则平移后得到点A′(a＋3，b－2)，所以kl＝kAA′＝＝－.
5. C　因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得m＝6.
6. B　设点P(x，0)，则kPA＝，kPB＝.因为直线PA的斜率是直线PB斜率的2倍，所以＝2×，解得x＝－3，即点P的坐标为(－3，0).
7. AD　因为过点P(1，3)且斜率为k的直线与线段AB有公共点，且kPA＝，kPB＝－6，所以由图可知k∈(－∞，－6]∪，结合选项可知A，D正确．故选AD.
8. BD　由于点A的坐标为(3，4)，且直线AB的斜率kAB＝4，故根据选项，得点B的坐标可能为(2，0)或(0，－8).故选BD.
9. －2　由经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率是12，得＝12，解得m＝－2.
10. 0　由题意，得＝＝1，解得x＝0，y＝0，所以x＋y＝0.
11. (答案不唯一，满足02，且a≠1，解得012. (1) 作图如下：
(2) 作图如下：
(3) 作图如下：
(4) 作图如下：
13. 因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，
故点A，B，C共线，点A，B，D不共线．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. C　经过两点P(2025，1)，Q(2025，2)的直线的斜率显然不存在，所以其倾斜角为90°.
2. C　因为经过两点A(4x－2，1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，所以kAB＝＝tan ＝1，解得x＝2.
3. D　因为直线l斜率的绝对值为1，所以当斜率为1时，直线l的倾斜角为；当斜率为－1时，直线l的倾斜角为.
4. C　直线l1的斜率k＝tan α＝＝2，逆时针旋转后，直线l2的倾斜角为α＋，所以直线l2的斜率k′＝tan ＝＝＝－3.
5. C　因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝>0，解得－16. B　因为α∈[0，π)且k＝tan α∈，所以α∈.
7. AC　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故A，C正确，B错误；对于D，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．故选AC.
8. AD　记直线l的倾斜角为α，斜率为k，则k＝(m－1)2－1≥－1，即tan α≥－1.如图，由正切函数的图象，得α∈∪.故选AD.
9. 　设经过P，Q两点的直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝＝1，故θ＝.
10. ∪　由题意，得k＝tan β∈[－，1].因为β∈[0，π)，所以β∈∪.
11. 　设直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，倾斜角分别为α，β.由题意，得kPA＝＝－1，kPB＝＝1，则tan α＝－1，tan β＝1，解得α＝，β＝.因为直线l与线段AB相交，所以由图可知直线l的倾斜角的取值范围为.
12. (1) 因为点P(－2，2)，Q(2，－2)，
所以斜率k＝＝－1.
又倾斜角α∈[0，π)，tan α＝－1，
所以α＝.
(2) 因为点P(5，)，Q(2，2)，
所以斜率k＝＝－.
又倾斜角α∈[0，π)，tan α＝－，
所以α＝.
13. (1) 直线MN的斜率不存在时，点M(2m＋3，3m＋4)，N(3m－1，m－1)的横坐标相等，
即2m＋3＝3m－1，解得m＝4.
(2) 当直线MN的倾斜角为锐角时，
斜率k＝＝>0，
即(2m＋5)(m－4)<0，解得－当直线MN的倾斜角为钝角时，
斜率k＝＝<0，
即(2m＋5)(m－4)>0，解得m<－或m>4.
综上，直线MN的倾斜角为锐角时，实数m的取值范围为－4.