课件10张PPT。选修4--72009年11月18日第一讲 优选法 第4课时
五、其他几种常用的优选法1、对分法 [案例1] 有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，要迅速查出故障所在位置.1、对分法 1. 概念： 2. 适用范围： 3. 操作步骤： [案例2] 在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格？***思考*** 分别用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法会更有效呢？为什么？2、盲人爬山法 盲人爬山法是一种采用小步调整策略的优选法，其依据的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧.盲人爬山法的操作步骤是：选找一个起点A(可以根据经验或估计)，在A点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B做试验.如果好，就继续减少；如果不好就往增加方向找一点 C做试验，这样一步 步地提高.如果增加到 E点，再增加F点时反 而坏了，这时可以从 E点减少增加的步长，如果还是没有E点好，则E就是该因素的最佳点.盲人爬山法的效果与起点关系很大，另外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大.在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法.三、作业布置 《学海导航》P18-20谢谢合作，再见！课件11张PPT。选修4--72009年11月16日第一讲 优选法 第3课时 分数法（2）一、复习回顾 1. 黄金分割法——0.618法 (1) 概念：把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法. (2) 适用范围：单因素单峰目标函数,且试验范围为连续的.(3) 操作步骤： 如果原始的因素范围为[a, b]，则 第1个试点x1=a+0.618(b－a)； 第2个试点x2=a+b－x1(“加两头，减中间”) … … 第n个试点xn=小+大－xm(其中xm是存优范围的好点)2. 分数法(3) 操作步骤：(与0.618法类似) (4) 两种类型： ① 试验范围的划分段数为斐波那契数列中的项. ② 试验范围的划分段数不为斐波那契数列中的项.三、新授内容 1. 限定试验次数，采用分数法(设因素范围为[0, 1]) 2. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑. (1) 可能的试点总数正好是某一个(Fn－1). (2) 所有可能的试点总数大于某一(Fn－1)，而小于(Fn+1－1).这时可以用如下方法解决(P15). 3. 分数法的最优性 (1) 在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从(Fn+1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点. (2) 在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从(Fn+1－1)个试点中找出最佳点.五、作业布置 《学海导航》P14-16谢谢合作，再见！课件13张PPT。选修4--72009年11月16日第一讲 优选法 第2课时 分数法（1）1. 分数法四、分数法1. 分数法 [案例1] 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml肯定不好.用150 ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.***思考*** 这个问题能否用0.618法？如果不能，该如何安排试验? 如果用0.618法，那么算出的试点不是10 ml的整数倍.由于量杯是锥形的，每格为10 ml，所以用它去量一个不是10 ml的整数倍的材料量，很难做到精确．因此，这个问题用0.618法不方便.
我们知道，0.618是黄金分割常数?= 的近似数.是否可以用其他形式的数作为?的近似数来解决上面的问题呢?分数法的概念：分数法的概念： 优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替?确定试点的方法叫分数法.分数法的概念： 优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替?确定试点的方法叫分数法. 分数法的适用范围：分数法的概念： 优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替?确定试点的方法叫分数法. 分数法的适用范围： 目标函数为单峰函数，可以应用于试点只能取整数值或某些特定数的情形，以及限定次数或给定精确度的问题，因为和0.618一样，这些分数都是黄金分割常数的近似值，所以对试验范围为连续的情形也可以用. [案例2] 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K?，1K?，1.3K?，2K?，3K?，5K?，5.5K?等七种阻值不等的定值电阻．他应当如何优选这个阻值? 如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就容易解决了. 为了便于用分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用5/8来代替0.618.第1个试点取序号(5)，即取3K?；第2个试点按“加两头，减中间”的方法得(0)+(8)－(5)=(3)，即取1.3K?.以下按分数法顺次确定试点，就可以较快地找到较好的点. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑. (1) 可能的试点总数正好是某一个(Fn－1). (2) 所有可能的试点总数大于某一(Fn－1)，而小于(Fn+1－1).谢谢合作，再见！课件32张PPT。选修4--72009年11月15日第一讲 优选法 第1课时 黄金分割法—0.618法一、什么叫优选法（1）最佳点：
如果影响试验的某个因素(记为x）处于某种状态（记为x=x0)时，试验结果最好，那么这种状态（记为x=x0)就是这个因素的最佳点。一、什么叫优选法（2）优选问题：
对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为优选问题。一、什么叫优选法（3）优选法：
利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法。二、单峰函数（1）单峰函数的定义中有两个要点：
①f(x)在［a,b］上只有唯一 的最大（小）值C。
② f(x)在［a,C］上递增（减），在［C,b］上递减（增）。二、单峰函数（2）单峰函数的定义：
如果f(x)在［a,b］上只有唯一 的最大（小）值点C，而f(x)在［a,C］上递增（减），在［C,b］上递减（增）。则称f(x)为区间［a,b］上的单峰函数。规定：区间［a,b］上的单调函数也是 单峰函数。1. 黄金分割常数三、黄金分割法---0.618法1. 黄金分割常数***探究*** 对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？ 对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧．由此，可按如下想法安排试点:先在因素范围[a, b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把[a, b]分成两段，截掉不含好点的一1. 黄金分割常数***探究*** 对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？段，留下存优范围[a1, b1]，显然有[a1, b1] ?[a, b]；再在[a1, b1]内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把[a1, b1]分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围[a2, b2]，同样有[a2, b2]? [a1, b1]… …重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小. 在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如，假设因素区间为[0, 1]，取两个试点0.2、0.1，那么对峰值在
(0, 0.1)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为0.8的区间(图1)；但对于峰值在(0.2, 1)的函数，只能去掉长度为0.1的区间(图2)，试验效率就不理想了.***思考*** 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?***思考*** 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点? 我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数，而是对这类函数有普遍意义.由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作为因素范围[a, b]的分界点，所以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排试点时，最好使两个试点关于[a, b]的中心(a+b)/2对称.同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长.因为为了一次截得足够长，就要使两个试点x1和x2与(a+b)/2足够近，这样，第一次可以截去[a, b]的将近一半.但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点.2. 黄金分割法——0.618法2. 黄金分割法——0.618法 [例1] 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？ [例2] 若某原始的因素范围是[100, 1100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).
(1) 求a1，a2.
(2) 若干次试验后的存优范围包含在区间[700, 750]内，请写出{an}的前6项.
(3) 在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围. 解：(1) 由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1=100+0.618×(1100－100)=718. 所以a2=100+1100－718=482. (2) 因为[700, 750]包含存优范围．所以最优点在区间[700, 750]上.
由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482, 1100]，
所以a3=482+1100－718=864，
同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482, 864]
所以a4=482+864－718=628. 同理可求得a5=628+864－718=774； a6=628+774－718=684. (3) 由(2)知第6次试验前的存优范围是[628, 774]， 又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684, 774]. [例3] 调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.
(1) 写出这个试验的操作流程.
(2) 如果加入柠檬汁误差不超出1g，问需要多少次试验? 解：(1)试验可按以下进行：
①做第一次试验：第一次试验的加入量为: (2000－1000)×0.618+1000=1618(g)，即取1618g柠檬汁进行第一次试验.
②做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：大+小－中=第二点.
即第二点的加入量为：2000+1000－1618= 1382(g).
③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1618克以上的部分；如果第一点较好，则去掉1382克以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1382克以下的部分，即存优范围为[1382，2000]，在此范围找出第一点(即1618)的对称点做第三次试验.其加入量用公式计算：加入量=大+小－中.即第三次试验的加入量为：2000+1382－1618=1764(g). ④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1764克以上部分，如果第三点好些，则去掉1618克以下部分.假设第三点好些，则在留下部分(即[1618, 2000])找出第三点(即1764)的对称点做第四次试验.第四点加入量为：2000－1764+1618=1854(g). ⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍.在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止.
(2) 若误差不超出1g，即精度??(2×1)/1000 =0.002.
所以0.618n－1?0.002，得n?lg0.002/lg0.618 +1，即n?18.697. 故需要19次试验.作业布置： 《学海导航》P1-12 (要点归纳要求填空完整)谢谢合作，再见！课件10张PPT。选修4--72009年11月19日第一讲 优选法 第5课时 优选法“习题课”1. 关于单峰函数，有下列说法： (1) 在区间[a, b]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数； (2) 在区间[a, b]上的单调函数不是单峰函数； (3) 区间[a, b]上的单峰函数可以是不连续函数.
其中正确的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个《学海导航》P7√B 2. 某主要因素对应的目标函数如图所示，若c是最佳点，则下列说法中正确的是( ) A. d，e都是好点 B. 区间[a, d]是一个存优范围 C. d不是好点 D. a，b是分界点《学海导航》P7B 3. 已知f(x)=2x3－6x2+m在区间[－3, 2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( )《学海导航》P7D《学海导航》P7①、③《学海导航》P70 6. 已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1) 若f(x)在[0, +?)上单调，求a的取值范围； (2) 若g(x)=f(x)－3x在[－1, 4]上单峰函数，求a的取值范围.《学海导航》P7 5. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围[2, b]上的一个好点是2.382，求b的值.《学海导航》P11b=3或b=2.618 6. 某试验的因素范围是[3000, 4000],现准备用0.618法进行试验探求最佳值.以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数). (1) 求a1，a2. (2) 若干次试验后的存优范围包含在区间[3380, 3410]内，请写出{an}的前6项. (3) 在条件(2)成立的情况下，写出第7次试验后的存优范围.《学海导航》P11谢谢合作，再见！课件12张PPT。4.7.3 黄金分割法—0.618法1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法如图，什么是线段的黄金分割点呢？点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB， 则称点C为线段AB的黄金分割点。不难得出:x2+x-1=0设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1.线段AC与AB的比值是多少呢?解之:x≈0.618根据上面的两个原则，得出应满足
(b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1].
(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618. 这就是黄金分割常数。尽快的找到最佳点的两个原则是什么？
（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应为相同。黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢?这是我们今天要解决的问题.课题:黄金分割法---0.618法把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是黄金分割法.案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量。最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验,一定可以得到最优值.用黄金分割法的操作步骤如下:用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度,找出它的黄金分割点x1作为第一试点;对折纸条,找出x1的对称点x2作为第二试点;用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量:试验点的选取：
x1=小+0.618×(大－小)……(1)
x2=小+大－x1 …… (2)对于(2)来说,相当于“加两头,减中间”.一般公式：xn=小+大－xm比较两次实验结果,如果x2是好点,则将纸条沿1618处剪断,去掉1618以上的部分,保留1618以下的部分.重复上面的步骤,找出x2的对称点x3作为第三试点.X3=1000+1618-1382=1236 (第三次加入材料1236g)如果第二试点仍是好点,则剪掉1236以下的部分,在留下的部分内找出x2的对称点x4作为第四试点.重复上面的步骤,最佳点被限制在越来越小的范围内,即存优范围越来越小.什么时候结束我们的实验呢?这要看你要求实验达到什么精度.定义:存优范围与原始范围的比值叫做精度.δn=0.618n-1例如:若要求精度达到0.05.要做多少次实验呢?0.618n-1≤0.05所以,只要安排8次实验,就可以使精度达到0.05. [例2] 若某原始的因素范围是[100, 1100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).
(1) 求a1，a2.
(2) 若干次试验后的存优范同包含在区间[700, 750]内，请写出{an}的前6项.
(3) 在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围. 解：(1) 由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1=100+0.618×(1100－100)=718. 所以a2=100+1100－718=482. (2) 因为[700, 750]包含存优范围．所以最优点在区间[700, 750]上.
由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482, 1100]，
所以a3=482+1100－718=864，
同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482, 864]
所以a4=482+864－718=628. 同理可求得a5=628+864－718=774； a6=628+774－718－684. (3) 由(2)知第6次试验前的存优范围是[628, 774]， 又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684, 774].精度计算公式:其中,δ为精度.小结:1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形.2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处.3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确定.一般公式：xn=小+大－xm
