8.6.2 直线与平面的垂直 教学设计（表格式）

直线与平面的垂直 第1课时 教学设计
教学基本信息
课题 直线与平面的垂直（第1课时）
学科 数学 学段：高中 年级 高一
教材 书名：普通高中教科书 数学 必修 第二册 出版社：人民教育出版社
学科素养目标及教学重点、难点
本节课主要了解直线与平面垂直，点到平面的距离及直线与平面所成角等概念；掌握线面垂直的判定定理，能够应用判定定理证明直线与平面垂直；从“感性认识”到“理性认识”，发展逻辑推理数学核心素养.
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 日常生活中，直线与平面垂直的例子有很多. 比如，广场上的旗杆与地面的位置关系，大桥的桥墩与海面的位置关系，相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.. 通过生活实例，让学生直观感知直线与平面垂直这种位置关系.
新课 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与影子BC所在直线是否保持垂直？ 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直. 那么，对于不过点B的任意一条直线，它与旗杆AB所在直线垂直吗？ 垂直，因为对于不过点B的任意一条直线，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线也垂直. 因此我们可以说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直. 于是我们得到直线与平面垂直的概念： 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线l与平面α垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示： 接下来请同学们思考： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 直观观察可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 我们给出下面两个小概念： 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 同学们回忆一下，之前我们学习过棱锥，在它的体积公式中，哪个量体现了点到平面的距离呢？ （棱锥的高----就是顶点到底面的距离.） 算一算 若棱锥P-ABC的体积是18，底面ABC面积为9，那么顶点P到底面ABC的距离为_____？ 那么，我们如何来判断直线与平面垂直呢？ 依据定义可以进行判断，但你怎样验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直？ 那么，你还有其他方法吗？ 让我们来做一个小实验，如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）. （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 不难发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高. 这时，由于翻折后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直. 由基本事实的推论2，平面α可以看成是由两条相交直线BD，DC所唯一确定，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直. 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理. 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 同学们，你能用图形语言和符号语言表示判定定理的内容吗？ 请大家想一想，判定定理中包含了哪几类垂直关系呢？ 两类垂直关系：线与线垂直、线与面垂直. 再结合线面垂直的定义，请大家体会一下，线面垂直与线线垂直具有怎样的关系呢 由判定定理可知，直线与直线垂直可以得到直线与平面垂直，而由定义，直线与平面垂直又可得到直线与直线垂直，所以说，线线垂直与线面垂直是可以相互转化的. 请同学们继续思考： 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？ 改为“两条平行直线”不可以. 由平面向量基本定理可知，对于平面内的任一向量都可由不共线的两个向量唯一表示. 因此，如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么无法判定该直线是否与此平面的所有直线都垂直，也就无法判断直线与平面垂直. 如果改为“无数条直线”可不可以呢？ “无数条直线”不等同于“任意一条直线”. 若“无数条直线”彼此相互平行，则无法判定直线是否与该平面垂直. 通过分析旗杆与它在地面影子的位置关系，引出直线与平面垂直的概念. 借助几何直观，获得直线与平面垂直的概念. 通过直观感知及已有经验获得点到该平面的距离的概念. 借助已学知识，理解 点到平面的距离. 通过实验操作，引导学生发直线和平面垂直的条件. 根据直观感知及已有经验，获得线面垂直判定定理. 三种语言转换，加深对判定定理的理解.
例题 下面我们应用直线与平面垂直的判定定理研究空间直线与平面的垂直关系. 例题 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 我们首先将自然语言转化为符号语言. 已知：如图，，，求证：. 分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可. 证明：如图，在平面内取两条相交直线m，n. 直线， 又是两条相交直线， . 判定直线与平面垂直的关键，要让直线垂直于平面内的两条相交直线. 你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？ 利用定义证明，需要证明直线与平面内任意一条直线都垂直. 证明：在平面内任取一条直线m 因为直线， 由直线与平面垂直定义， 所以. 因为， 所以. 又因为m是平面内的任意一条直线， 由直线与平面垂直定义， 所以有 直线与平面垂直，是直线与平面相交的一种特殊情况，当直线与平面相交但不垂直时，不同的直线与平面相交，情况也是不同的，那么，如何刻画这种不同情况呢？ 我们知道，角度常用来刻画几何对象的相对位置，前面我们学习了异面直线成角，那么，直线与平面所成的角如何定义呢？ 如图，当一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 由定义可知，研究直线和平面所成角的关键，需要确定出斜线在平面上的射影. 例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中， A1B在平面AC上的射影为AB， 故A1B与平面AC所成的角为∠A1BA； A1C在平面AC上的射影为AC， 故A1C与平面AC所成的角为∠A1CA. 同学们可以仿照着再举出几个线面角的例子，加深对线面角的认识. 请同学们观察图形，随着直线l的变化，你能说出直线与平面所成角的范围吗？ 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°； 直线与平面所成的角的取值范围是. 请同学们想一想： 如果是平面内的任意一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 比较两个角的大小关系，一般地，我们把角放到三角形中，利用三角函数值的大小关系比较角的大小，所以我们这样来研究， 由O向直线AB作垂线，垂足记作B. 连接PB. 想一想，AB⊥PB吗？ ∵PO⊥α，且AB在平面α内， ∴PO⊥AB. ∵AB⊥OB，且OB与PO相交于点O， 根据线面垂直判定定理 ∴AB⊥平面PBO. 因为PB在平面PBO内， ∴AB⊥PB. 因此三角形ABP为直角三角形. 在Rt△POA中， 在Rt△ABO中， 在Rt△ABP中， 大家注意观察这三个余弦值的关系， 我们得到 由AB的任意性可知： 斜线与平面所成的角是它与该平面内所有直线所成的角中的最小角. 下面我们应用概念求解一个线面角. 例题 如图，在正方体中. 求直线和平面所成的角. 分析：问题的关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影，而要找射影，需要先找到平面A1DCB1的垂线. 解：连接，与相交于点，连接. 设正方体的棱长为. ，，， 平面. 平面. 为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角. 在中，， . 直线与平面所成的角为. 类似求解异面直线所成角，一般地，我们将线面角也转化为平面角，通常在三角形中求解它的大小. 巩固练习（二）： 1、判断：如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 2、正三棱锥A-OBC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°， 求直线OA与平面OBC所成角的余弦值. 3、如图，菱形ABCD边长为2，PC⊥平面ABCD， ∠ABC=60°，PC=2，求PA与平面PBC所成角的正弦 值. 应用判定定理解决空间线面垂直问题，同时也体现平行关系与垂直关系之间联系. 借助练习，巩固线面垂直判定定理，考查学生对线线垂直与线面垂直的转化能力. 应用判定定理，证明直线与平面垂直. 本题以直四棱柱为载体，考查学生对“线面垂直”与“线线垂直”相互转化的能力. 本题从线面垂直出发，先推出线线垂直，再推出线面垂直，最后又推出线线垂直，充分体现了线面垂直与线线垂直之间的相互转化. 承前启后，引出直线与平面所成的角，提高学生对空间位置关系的认识，发展学生空间想象能力. 以正方体为例，直观呈现什么线面角. 探究线面角的取值范围 线面角性质探究，培养空间想象能力和推理论证能力. 以正方体为背景，求直线与平面所成的角. 借助练习，巩固线面角概念及直线与平面垂直的判定定理.
总结 下面我们总结一下今天学到了哪些内容. 本节课我们学习了直线与平面垂直的概念，以及如何判定直线与平面垂直；认识了什么是直线和平面所成的角. 注意：判定直线与平面垂直的关键，直线一定要与平面内的两条“相交”直线垂直. 本节课还蕴含着“转化”的思想，空间问题转化为平面问题，线面垂直与线线垂直也可以相互转化. 梳理知识，点明主题
作业 作业1 如图，四棱锥的底面是正方形， 平面. 求证：平面. 作业2 本节课，你觉得哪个知识最重要，它有什么作用，需要注意的关键是什么？ 【课后作业参考答案】 证明：平面， . 又在正方形中，， 且， 平面. 应用线面垂直判定定理解决数学问题. 引导学生关注判定定理的条件要求，培养严谨的学习态度.