PAGE
1
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．2 指数函数
2.2.1分数指数函数
一、基本知识
1、a的n次方根的概念和性质
（1）若n是正奇数，a的n次方根只有一个，则n的次方根记作；若a>0, 则>0,若a<0，若a<0,则<0；
（2）若n是正偶数，正数a的n次方根有两个且互为相反数，则a的正的n次方根记作，a的负的n次方根记作(例如：8的平方根，16的4次方根)；
（3）若n是正偶数，且a<0,则没有意义，即负数没有偶次方根；
（4）由于（n>1,n∈N*）,故=0；
（5）式子叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。所以=a.
（6）由n次方程的意义可以得到根式的两个性质：
①=a ②=
2、分数指数幂和整数指数幂的概念、性质比较
(1)整数指数幂的概念
（2）整数指数幂的运算性质
①
②
③
其中
（3）当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的规定：
①正数的正分数指数幂的意义是；
②正数的负分数的指数幂的意义是
（4）分数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，
①
②
③
注意：①有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
②0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
；a>0,等等。
二、经典例题
1、已知a
1,n∈N*,化简
2、求值：（1）；（2）
3、已知+=3，求的值。
4、求下列各式的值：
的值。
已知a>0,求的值。
5、(1)已知且，求的值。
（2）设，求（的值。PAGE
1
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.1函数的表示方法
一、基本知识
1、列表法
2、解析法
把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达，简称解析式。
解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
（2）如何由实际问题写出函数表达式？
1、 阅读理解，即读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质。
2、 数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就是要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学式子表示出来。
（3）分段函数是一个函数还是几个函数？
分段函数仍是一个函数，只不过在自变量的不同范围内，函数的表达式不同而已。
3、图像法
图像法就是用函数图像表示两个变量之间的关系。
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量变化时，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图像来研究函数的某些性质。图像法是用图像表示两个变量间的函数关系，其优点是直观形象，但对函数关系的表示显得较为粗略。
二、经典例题
1、已知f() = x+2,求f(x)的解析式。
2、已知f(x+1)=x -2x,则f()=
3、已知f(x)+2 f()=2x+1,求f(x)的表达式。
4、作出函数f(x)= | x -4x+3|的图像。
5、已知f(x +2)= +4，求f(x)的解析式。
6、已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1，f(x+1)- f(x)=2x，试求函数f(x)的表达式。
7、如图在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，P从B点开始沿折线BCDA向A点运动，设P点运动，设P点移动距离为x，ΔPAB的面积为y，求函数y= f(x)的解析式，并指出定义域。
8、已知函数f(x)=
(1)求作函数y= f(x)的图像；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)求f(a -1)的值。PAGE
1
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.1函数的概念和图像
一、基本知识
1、 函数的定义
（1） 如何理解函数符合“y=f(x)”中的“f”
符号“y= f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看做一个“暗箱”。
（2） 符号y= f(x)的含义是什么？f(x)与f(a)有何区别？y= f(x)中式关于x的解析式，y=f(a)是x=a时所得的函数值。
（3） 对应是否为函数？
①这个对应所涉及到的两个集合是否都是非空数集；
②对应法则f：x→y是否满足对于任何一个x可取的值都有唯一的值y与之对应。如果同时满足这两条，那么这个对应就是函数，否则就不是函数。
(4)判定两个函数是否相同，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同。
（5）求函数的定义域：由于函数的定义域就是函数中所有的输入值x组成的集合，所以求函数的定义域一般要考虑使函数有意义的所有条件，不可有遗漏。
（6）求函数值域的方法：求函数的值域的方法往往因题而异，如果函数的自变量是有限个值，那么就可将函数值求出得到值域；如果函数的自变量是无数个值时，显然不能再采取上述方法求其值域，而可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，常用的方法有观察法，配方法，判别式法等。
2、函数的图像
（1）函数的图像都是连续的曲线吗？
不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图像四连续的，如一次函数，二次函数。但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图像就是一些孤立点。
（2）凡是图像都是函数的图像吗？
检查一个图形是否为某个函数的图像，只要用以条垂直x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点的个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数的图像。因为一个x值对应了多个y值。
（3）函数的图像对于今后的解题的用途是非常大的，如某些函数图像较易画出来，就可以利用函数图像直接求出其值域。我们还可以利用函数的图像来比较某两个数值的大小等等。
二、经典例题
1、 试判断以下各组函数中，是否表示同一函数？
（1） f(x)= ；g(x)=
（2） f(x)=, g(x)= (n)
2、 求函数y=的定义域，并用区间把这个函数的定义域表示出来。
3、 已知f(x)= (xR且x-1),g(x)=+2(xR).
(1) 求f(2)，g(2)的值；
(2) 求f 的值；
(3) 求f 的解析式。
4、 函数y= 的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、根据所给的不同的定义域，画出函数y=的图像。
（1）xR； （2）x； （3）x且xZ
6、以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆总长为定值L,写出场地面积y关于一边长x的函数，并求出函数的定义域及面积的最大值。
7、函数y=的定义域是
A、{x|x∈R且x≠0} B、{x|x∈R且x≠1} C、{x|x∈R x≠0且x≠-1} D、R
8、函数y=的定义域是 。
9、函数y=的定义域是（-∞，1）∪[2,6),则其值域是 .
10、已知函数f(x)= 则f 等于
A、 B、 C、 D、
11、函数的值域是
A、 B、 C、R D
12、函数的定义域则的值域是 。
13、已知函数，若=0，且，则=
14、已知函数（-1≤x≤1）的最小值为
（1）求的表达式；
（2）若a∈[-2,0],求的值域。PAGE
1
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.3函数的简单性质
一、基本知识
1、判断或证明函数在某区间上的单调性
一般来说，证明或判断函数的单调性，严格的说必须用增、减函数定义，其步骤是设出指定区间的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论。要注意，如果一个函数有两个单调递增区间，应写成（—∞，—1），[1，+∞）或（—∞，—1）和[1，+∞）等形式，但不能写成（—∞，—1）∪ [1，+∞）的形式。
2、求函数在某闭区间上的最值
当f(x)在[a,b]上递增时， f(b), f(a);
当f(x)在[a,b]上递减时， f(a), f(b);
3、函数的定义域关于原点对称与函数的奇偶性的关系
一般来说，若函数f(x)具有奇偶性，则当f(x)有意义时，f(-x)必有意义。因此，具有奇偶性的函数的定义域一定是关于原点对称的区间。但定义域关于原点对称的函数不一定是奇、偶函数。
4、既是奇函数又是偶函数的函数
根据奇偶函数的定义不难知道，函数f(x)=0（x∈R）既是奇函数又是偶函数。但是要注意：函数f(x)=0（x∈[-2，2]）、f(x)=0（x∈[-1，1]）等也都既是奇函数又是偶函数。虽然它们的解析式都是f(x)=0，但是它们的定义域并不相同，所以应视为不同的函数。可见，既是奇函数又是偶函数的函数应该有无数个。
二、经典例题
1、求证：函数f(x)=ax +bx+c(a＜0)在区间（－∞，]上是增函数。
2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R的偶函数，
且f(x)- g(x)=1- x -x ，则g(x)的解析式为 。
3、已知函数f(x)= x +2（a-1）x+2在区间（﹣∞，4 ]上是减函数，求实数a的取值范围。
4、已知奇函数f(x)的定义域是x≠0的实数，且f(x)在（0，﹢∞）内单调递增，则
f(-2)，f(1)，f(-1)的大小关系是
A、f(1) ＜f(-2) ＜f(-1) B、f(-2) ＜f(-1) ＜f(1)
C、f(-2) ＞f(-1) ＞f(1) D、大小关系不同以上的结论
5、函数f(x)当x＞0时有意义，且满足f(2)=1，f(xy)= f(x)+ f(y), f(x)在（0，+∞）上是增函数。
求：f(1)=0，f(4)=
6、若f(x)是二次函数，且f(2-x)= f(2+x)对任意实数x都成立，又知f(3)＜f(π)，试比较f(-3)与f(3)的大小。
7、若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)与g(x)的定义域都是R，
则F（x）= f(x)+ g(x)是
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、其奇偶性无法判断
8、f(x)= x -4x-4,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
9、已知函数f(x)= ，且f(-2)=10，则f(2)=的值是 。
10、如果f(x)是奇函数，而且在区间（－∞，0）上是增函数，又f(2)=0，那么
xf(x) ＜0的解集为 。
11、函数的递增区间是 。
12、求函数，x∈﹙0,1]的最小值。PAGE
1
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．2 指数函数
2.2.2指数函数
一、基本知识
1、指数函数的概念、图像和性质
（1）函数叫指数函数，对底数a>0且的规定进行分析；
假设a=0,那么当无意义；
假设a<0，那么对某些值可能没有意义，例如：
假设a=1，那么对任意的x的都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且
（2）根据指数函数的定义，只有形如的函数才叫指数函数，如 都不是指数函数，它们的函数表达式含有指数式，应将它们看做复合函数。
（3）指数函数的定义域为R，因为底数a>0且a≠1，所以对任意的x，函数值y都是大于0的，故值域（0，﹢∞），所以指数函数的图像必在x轴的上方。
（4）除了通过图像直观地观察可以得到指数函数的分布情况，也可以通过对底数和单调性的分析得到，例如：当a>1时，函数是增函数，所以当
（5）观察指数函数的图像，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以是非奇非偶函数。
（6）的图像关于y轴对称，分析指数函数的图像时，需找三个关键点：（1，a）,(0,1),(-1, );
(7)指数函数的图像永远在x轴的上方。当时时，图像越接近于y轴，底数a越大；当02、用指数函数的图像和性质解题
(1)指数函数的性质直接受底数a的取值范围的影响，因此常进行分类讨论。
(2)两类基本函数均为单调函数，在闭区间上存在最大值、最小值且均在区间端点处取得。
（3）比较几个数的大小时，若由函数的单调性来判断，一般可先看是否为同底或同指数；若不能直接用函数单调性，需引入中间变量（如与0，±1进行比较），综合运用多种函数的性质来解决。
（4）实际作指数函数的图像时，不可能完全用描点法，但要注意，一定要选取定点（0,1）和（1，a），对于复合函数如过定点，要令。
（5）在含有指数式的复合函数问题中，换元法是经常使用的通法，但是要注意令，不能遗漏指数函数的值域t>0，在考虑单调性时，要结合内函数和外函数的单调性综合考虑。
二、经典例题
1、比较下列各组数的大小
（1）和； （2）和；
（3）和； （4）和（a>0,a≠1）
2、求值：（1）；（2）；（3）y=.
3、若的方程，在区间上有解，求a的取值.
4、当x>0时，函数的值总大于1，求a的取值范围。
5、求函数的单调区间和值域。
6、设a是实数，
(1)试证明：对于任意a, 在R上为增函数；
（2）试确定a的值，使在R上为奇函数；
7、若函数在上的最大值为14，求实数a的值。
8、已知实数a,b满足等式=，下列五个关系式：
①09、求函数求的值域。
10、求函数是指数函数，则a= 。
11、（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的单调增区间。