1 生活中的优化问题举例
基本说明
1、教学内容所属模块：
《选修2-2》
2、年级：
高二下学期
3、所用教材出版单位：
《普通高中课程标准实验教科书·数学》A版（选修2-2）
人民教育出版社出版（2007年1月第2版）
4、所属的章节：
第一章“导数及其应用”中的§1.4“生活中的优化问题举例”。
5、教学时数：
45分钟
教学设计
1、教学目标：
知识目标：
①通过解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
②提高将实际问题转化为数学问题的能力。
能力目标：
通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
情感目标：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。
教学重点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题。
教学难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题。
授课类型：
新授课
教 具：
多媒体
2、内容分析：
本课的重点是将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题。这同时也是一个难点。
事实上，利用所学数学知识解答有关应用题是学生在整个高中数学学习的一个大难点，他们中的有些人甚至患有“应用题恐惧症”。
一般来说，学生倒不是害怕解方程（不等式）或者求函数的最值，而主要体现在难以通过阅读应用题、提取适当的信息并建立相应的合适的数学模型。
对这方面的训练，教材编写者充分体现了“数学是自然的”、“数学是有用的”、以及“知识是螺旋发展的、知识的掌握过程也是螺旋发展的”等数学教学理念，如《必修1》第三章“函数的应用”的§3.2《函数模型及应用》、《必修4》第一章“三角函数”的§1.6 “三角函数模型的简单应用”、《必修4》第二章“平面向量”§2.5“平面向量应用举例”中“向量在物理中的应用举例”、《必修5》第一章“解三角形”的§1.2“应用举例”、《必修5》第三章的“不等式”§3.3.2“简单的线性规划问题”，教材在编排上螺旋式的向学生展示数学的实用性、自然性，逐步提升学生建模、求解（包括最优解）的知识和能力，涉及到的背景有物理、天文地理、经济、航行、决策（线性规划中的最优解）。
本课通过使用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，重点体会导数在解决实际问题中的作用，继续提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、学情分析：
①学生在掌握函数极值的判别法之后，判定可导函数的极大值与极小值并不困难，但在遇到一些实际问题时，往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系, 再应用求函数极值的方法最终解决问题。有了这些准备工作，学习本节才有可能。教学过程中，要引导学生联系到前面学习的内容，故在复习引入环节中，复习了利用导数求函数极值、最值的方法。
②学生对对例题2（“饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗”）及例题3（磁盘的最大存储量问题）的知识背景一般都很陌生，教师要引导学生阅读教材的相应部分并做适当的解释。不要一味地要学生去探索，以免打击学生的自信心。
③学生的上网能力很强，可在课前的几天里鼓励有关学生上网搜索有关磁盘结构等知识。减少本课的教学压力。
4、设计思路：
根据“教学内容分析“和”学情分析“，本课的教学主题应该是“利用导数解决生活中的优化问题“，教学目标是“通过解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力”。 培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
为了达到上述目标，在教学上采用“探究发现、总结提升”、通过练习巩固提高的教学方法。
由于本课例题与练习文字比较多，采用PPT课件的形式，将相关文字以投影的形式给出，以便提升课堂容量。
教学基本流程：
教学过程描述：
教学环节及时间
教师活动
学生活动
设计意图
复习引入
（约2分钟）
投影1：
(1)怎样用导数来判断函数的单调性和求单调区间？
(2)怎样用导数求函数的极值?
(3)怎样用导数求函数的最值?
回顾、分析导数的三个应用，明确其使用方法。
复习引入，帮助学生学习本节课知识。
（约1分钟）
投影2： 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。
明确本课的基本内容。
使学生明确本课内容，学习时能够有的放矢。
创设情境
问题引入（约2分钟）
投影3：
【问题1】：
海报版面尺寸的设计。
师生共同研究在已知海报设计的相关情况下，如何设计才能用料最省。
创设问题情景
例题1
（约5分钟）
投影4：
【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
引导学生建模、写出函数关系、求出最值。
投影5:
【问题1的解答过程】
【强调】：解题格式。
教师在总结本题解法时要注意：
1、可以指出（也仅是指出）本题也能用基本不等式，或利用二次函数求最值，也可以用导数求最值。但要把重点放在使用导数求最值的方法上。
2教师可以简要地说明“什么是生活中的优化问题”。根据定义, 优化问题其实质是求一些实际问题的极大值与极小值, 通过前面的学习, 我们已经掌握了用导数求函数极值的方法。
3、教学时要始终把重点放在如何把实际问题转化相应的函数关系，也就是数学建模。
在师生共同探讨的基础上，书写本题的解题过程。
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,四周空白面积为
求导数，得
。
令，
解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；
当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
引导学生把实际问题用函数来刻画，然后利用函数知识来解决，从而解决实际问题。
用问题形式引入新课，一是进一步提升学生建模能力；二是让学生自行设计解决问题方案。此题可以用基本不等式，也可以利用二次函数求最值，也可以用导数求最值。
解题思路广，能独立解决的可能性就大，让学生体会成功的喜悦。
然后教师对导数的应用进行展开，引发学生积极的思考，导数在解决优化问题上的“万能性”。
例1小结:
（约2分钟）
通过上面的例子总结用导数解决生活中的优化问题的方法
(1)把实际问题转化成用函数表示的数学问题
(2)用导数解决数学问题
(3)优化问题的答案。
培养学生归纳总结能力
创设问题情景
（约2分钟）
投影6： 【问题2】：
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
师生共同探讨“饮料瓶大小对饮料公司利润的影响”，以及怎样用数学知识来表达。
创设问题情景
例题2
（约5分钟）
投影7：
【例题2】某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.
问题：（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
【解答过程】：
“投影7”给出。
在师生共同探讨的基础上，书写本题的解题过程。
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令
解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
由图像可知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．
进一步深化建模的基本流程，熟练掌握利用导数求解最值的基本方法。
创设问题情景
（约2分钟）
背景知识
（约2分钟）
投影8：
磁盘的最大存储量问题：
（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？
（2）你知道磁道的结构吗？
（3）如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？ 【背景知识】：
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
阅读教材上的相关的背景知识，共同探讨磁盘的最大存储量的问题。
提高学生搜集信息、整理信息、提取信息的能力。
例题3
（约6分钟）
投影9
【例题3】：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？
（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
【解答过程】：
投影10、11（如右）
在师生共同探讨的基础上，书写本题的解题过程。
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息。
故磁道数最多可达。
由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。
所以，磁盘总存储量 ×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，
计算．
令，解得
当时，；
当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。
此时最大存储量为。
提高学生的分析能力、和使用数学语言进行表述的能力。
练习1
（约4分钟）
投影12：
练习1、（习题1.4A组№1）一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， 要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
【解答】：投影12
1、学生自主探求答案。
2、与教师提供的参考答案对照。
3、探求出现错误的原因。
熟练掌握通过建模、解决应用问题的基本流程，提高分析问题、解决问题的能力。
练习2
（约4分钟）
投影13：
练习2、（习题1.4A组№2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
【解答】：投影13、14
1、学生自主探求答案。
2、与教师提供的参考答案对照。
3、探求出现错误的原因。
熟练掌握通过建模、解决应用问题的基本流程，提高分析问题、解决问题的能力。
练习3
（约4分钟）
投影15：
练习3、（习题1.4A组№3）某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
【解答】：投影15
1、学生自主探求答案。
2、与教师提供的参考答案对照。
3、探求出现错误的原因。
熟练掌握通过建模、解决应用问题的基本流程，提高分析问题、解决问题的能力。
课堂小结
（约2分钟）
投影16：
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
教师引导学生从上面的例题和练习中总结用导数来解决生活中的优化问题的方法。
布置作业
（约1分钟）
投影17：
课本P37
习题1.4 A组 №5、6
习题1.4 B组 №1、2
学生独自完成
巩固所学知识、提高分析问题、解决问题的能力。
教学反思：
学生对解答应用问题的恐惧来源于自信心不足，教学时不要为了“学生的自主探究”而过分让学生去理解一些学生不熟悉的材料，教师要“勇敢”地站出来为学生排忧解难：和学生共同阅读相关资料，提取有用的信息。要时刻保护学生的自信心。
本课的重点应该是“利用导数解决生活中的优化问题”、所以不要将例题的解答弄得很“花哨”，即弄出什么“基本不等式法”、“打钩函数法”等等，教学时紧扣重点。
本课的难度是建模，在和学生审题时要多花些功夫，切忌蜻蜓点水。
在教学中，要坚持“由易到难，由简到繁”的教学思路，以顺应学生的现有的知识水平和认知规律。
教学资源：
课 件：
《§1.4生活中的优化问题举例（省级骨干培训作业&同备一堂课）.ppt》
磁盘相关知识：
当磁盘旋转时，磁头若保持在一个位置上，则每个磁头都会在磁盘表面划出一个圆形轨迹，这些圆形轨迹就叫做磁道。图1是一张磁盘片与一个磁头的放大图(图中夸张地放大了磁头相对于磁盘的尺寸，因此，也放大了磁道的宽度)。这些磁道用肉眼是根本看不到的，因为它们仅是盘面上以特殊方式磁化了的一些磁化区，磁盘上的信息便是沿着这样的轨道存放的。相邻磁道之间并不是紧挨着的，这是因为磁化单元相隔太近时磁性会相互产生影响，同时也为磁头的读写带来困难。一张1.44MB的3.5英寸软盘，一面有80个磁道，而硬盘上的磁道密度则远远大于此值，通常一面有成千上万个磁道。 磁盘上的每个磁道被等分为若干个弧段，这些弧段便是磁盘的扇区，每个扇区可以存放512个字节的信息，磁盘驱动器在向磁盘读取和写入数据时，要以扇区为单位。1.44MB3.5英寸的软盘，每个磁道分为18个扇区。 硬盘通常由重叠的一组盘片构成，每个盘面都被划分为数目相等的磁道，并从外缘的"0"开始编号，从图2这张放大的硬盘结构图我们可以看出，具有相同编号的磁道形成一个圆柱，称之为磁盘的柱面。磁盘的柱面数与一个盘面上的磁道数是相等的。由于每个盘面都有自己的磁头，因此，盘面数等于总的磁头数。所谓硬盘的CHS,即Cylinder（柱面）、Head（磁头）、Sector（扇区），只要知道了硬盘的CHS的数目，即可确定硬盘的容量，硬盘的容量=柱面数×磁头数×扇区数×512B。
课件17张PPT。1.4 生活中的优化问题举例复习引入：(1)怎样用导数来判断函数的单调性和求单调区间？
(2)怎样用导数求函数的极值?
(3)怎样用导数求函数的最值? 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。问题1: 海报版面尺寸的设计【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xcm,则宽为此时四周空白面积为因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。求导数，有解得，x=16 (x=-16)舍问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：【例题2】令因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的 利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；（2）半径为6时，利润最大。问题3: 如何使一个圆形磁盘储存更多信息?【例题3】、磁盘的最大存储量问题：
（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？
（2）你知道磁道的结构吗？
（3）如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？ 【例题3】： 磁盘的最大存储量问题:解:存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 。 所以，磁道总存储量为：(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。解：存储量=磁道数×每磁道的比特数(2) 为求f(r)的最大值，先计算:练习1:一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， 要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为其中00;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解 设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.小 结2．解决优化问题的方法： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 1．利用导数解决优化问题的基本思路：作 业：课本P37
习题1.4 A组 №5、6
习题1.4 B组 №1、2
