变化率与导数
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变化率与导数
一、基本说明
1模块：选修1-1
2年级：高中二年级
3所用教材版本：人民教育出版社A版
4所属的章节：第三章第一节
5学时数： 45分钟（媒体教室授课）
二、教学设计
1、教学目标：通过史料让学生了解导数在研究和处理实际问题中的作用，对全章知识有个整体的认识；通过气球膨胀率问题和高台跳水问题让学生从实际问题中体会平均变化率的本质，形成平均变化率的概念，并探究发现平均变化率的缺陷；了解平均变化率的几何意义；会计算一些简单函数的平均变化率。
2、内容分析：本课是《导数及其应用》的开门课，主要通过实际问题介绍平均变化率的概念及其几何意义，为后面学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念打下基础。整个第三章的学习，教材注重思考方法的渗透；注重抽象概念不同意义间的转换，即从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解各种概念的内涵与思想。而在这点上，本课正好给了学生一个最初的体验。本课内容比较少，时间相对充足，教师可根据两个实际问题有所深入地启发学生思考探究，帮助学生理解概念。
3、学情分析：选修1-1模块的学习主体是文科类学生，学生的整体认知水平相对较弱，物理基础也相对较差，对于抽象的问题不善于理解。因此，讲课时需特别重视实际问题的形化，借助教具或信息技术来解决难点问题，设计问题串启发学生思考。
4、设计思路：利用章引言中的微积分史料，引导学生体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，认识导数和定积分在研究和处理实际问题中的作用，激发学生学习本章知识的兴趣，进而引入课题并提出实际问题，启发学生主动探究。教师借助教具和信息技术，积极为学生提供探究的平台和氛围，做好学生的学习服务工作。整个探究学习过程以“理解平均变化率”为根本目标，让学生体验实际问题到数学问题、揭示概念本质到概念形式化、概念形式到概念几何意义等方面的转换过程。最后通过4个函数例子，以讲练结合的方式，帮助学生巩固对概念的理解，熟悉有关的符号表示。
三、教学过程
教学环节及时间 教师活动 学生活动 对学生学习过程的观察、考查及设计意图
章头引言学习2` 组织学生自学章头引言，并引导学生解决如下几个问题：问题1:通过引言学习，你如何看待微积分的创立及其意义？问题2:通过引言学习，你了解到导数在研究和处理实际问题时有哪些作用？问题3:这一章，我们将要学习哪些方面的知识？ 学生自主学习章头引言，并解决三个问题。 （1）学生自己阅读引言，可训练学生的阅读能力和培养阅读习惯。（2）通过引导学生对三个问题的解决，达到了解导数的文化背景，认识导数在研究和处理实际问题的作用，以及对全章的整体认识等目的。（3）激发学生的求知欲。
课题引入1` 由引言中提到的导数作用之一：解决增长率问题，引出课题：变化率问题，进而提出教材上的第1个问题：气球膨胀率。 听讲并根据教师的思路转向到新课“变化率问题”上来。 让学生明确：我们把变化率作为学习导数的入手点。
新授：气球膨胀率问题13` 1.演示：教师吹一个真气球，引导学生观察。2.启发性问题预设：（1）实际中，随着吹入气球中气体的增多，气球的半径和体积各有什么样的变化？变化的快慢怎样？如何解释？（2）试着用数学方法解释，看是否更让人清楚一些？如果把气球近似地看个是一个球，联想数学中与球有关的要素，你有办法了吗？（3）类比平均速度，你能明白和计算平均膨胀率吗？(4)平均膨胀率刻画了什么？3.引导学生思考教材第73页思考问题。 （1）学生观察教师实物演示。（2）学生分组讨论“气球膨胀率”这个实际问题。（3）把实际问题转化为数学问题，并通过运算解释问题。（4）在教师的启发下，了解什么是平均膨胀率。 （1）通过演示，先让学生有个直观感知，才能更好地上升到理论层次。（2）通过提问引导学生会把实际问题转化为数学问题，并用数学知识解决问题。（3）学生自己得出平均膨胀率有一定的困难，故用类比平均速度的方法引导学生思考。（4）利用教材上的思考问题，引导学生由具体数值的运算转化到字母数值的运算上来，渗透由特殊到一般的数学思想方法，提高学生的运算能力。
新授：高台跳水问题13` 1.问题引入：刚才我们类比平均速度了解了平均膨胀率的计算，下面我们也具体地来看一个平均速度问题。2.引导学生看章头跳水图。3.信息技术演示：跳水动画。4.启发性问题预设：（1）相对水面高度和起跳后的时间, 你能指出问题所反应的函数模型吗？解析式如何？（2）根据解析式，你能计算和这两个时段里的平均速度吗？（3）平均速度与平均膨胀率一样还是变化率问题吗？（4）类比平均膨胀率，你能说出平均速度刻画了什么吗？5.引导学生探究教材第73页的“探究问题”。 （1）观察动画演示，发现问题所反应的函数模型。（2）计算相应时间段里的平均速度。（3）以小组讨论的形式探究教材第73页的“探究问题”。 （1）动画演示让学生对跳水运动有动态的直观感知，便于对物理知识进行迁移。（2）通过提问，引导学生把函数建模知识联系起来。（3）通过提问，引导学生注意到“平均速度”一词中虽然没有“率”字，但它仍反应的是变化率。（4）通过类比平均膨胀率，让学生明确：平均速度是刻画运动员某段时间内的运动状态。（5）利用教材上的探究问题，让学生自主探究，培养学生的探究能力；产生认知冲突，意识到平均速度不能反映每一时刻的运动状态，需要另寻找一个量来描述运动员的运动状态。这为下课瞬时速度的引入打下伏笔。（6）由于探究问题对学生有点难度，故采用小组计论的形式。同时，也可活跃后气氛，调动学生的积极性。
新授：平均变化率的概念及其几何意义6` 1.提问：你能根据前面的两个实际问题，归纳出“什么叫做函数的平均变化率”吗？2.从形式上讲解函数平均变化率的概念以及相关的一些符号表示。概念形式可浓缩为：差商（即）3.信息技术演示：平均变化率的几何意义动态图象演示。4.引导学生思考教材第74页的思考问题。 （1）根据教师的提问，尝试归纳函数的平均变化率概念。（2）听教师讲解，从形式上理解并识记概念。（3）根据演示动画，思考得出函数平均变化率的几何意义。 （1）提问的目的是培养学生的学习归纳能力，体会从实际问题中抽象出概念的过程。（2）教师对概念形式上的讲解，遵循了“提示概念本质，适度形式化”的课程理念，进一步促使学生对概念的理解掌握。（3）动画演示帮助学生从图形直观上发现概念的几何意义。
新授：例题5` 投影如下几个例题：（讲练结合，教师重在点评）例1.已知函数，试计算函数从到的平均变化率。例2.试计算函数从到的平均变化率。例3.试计算函数从 到的平均变化率。例4.已知某工厂在一年中A商品的产量(万个)与时间（月）存在函数关系式：，求该工厂一年中生产A商品的月平均增长率。 学生自主做完4个例题。 （1）考虑到学生第一次接触到平均变体率及其符号表示，故举了4个例题，以帮助学生通过计算巩固平均变化率的概念。（2）4个例题给出了不同形式的函数式，以及一个实际问题，从另一个角度帮助学生理解概念。
课堂小结5` 引导学生自主归纳小结本节课的内容。启发性问题预设：（1）导数的文化背景和全章的整体认识如何？（2）本节课用到了哪些数学思想方法？（3）平均变化率的概念形式和几何意义是什么？（4）平均变化率在描述一个物理现象时有什么缺陷？ 学生个别或一起归纳小结 （1）归纳小结本节课的内容，使知识认知条理化和结构化。（2）培养学生归纳知识的习惯和能力。（3）促使学生关注学习过程中应用的数学思想方法。（4）抓住本节课的重点：平均变化率的概念及其几何意义。（5）把学习的目的延伸到下节课。
四、教学反思
1、章头引言的学习可能略显枯燥，占用课堂的时间不能太长，应尽快转入到后面的实际问题上去，否则易封杀学生的学习兴趣和求知欲。
2、学生在学习过程中，表现出不想计算的态度，要么是因为懒惰，要么是觉得肯定会算而不算。因此，需要想法调动学生参与运算的积极性。
3、对于教材第73页的探究问题（1）运动员在这段时间里是静止的吗？个别学生虽然承认运动员在相应时间段里是运动的，但对于平均速度的计算值为零从物理学上总是不能接受。因此，课后有必要对这些学生做个别辅导，加强问题的理解，以免造成后面学习的心理障碍。
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变化率与导数
一、基本说明
1模块：选修1-1
2年级：高中二年级
3所用教材版本：人民教育出版社A版
4所属的章节：第三章第一节
5学时数： 45分钟（媒体教室授课）
二、教学设计
1、教学目标：通过史料让学生了解导数在研究和处理实际问题中的作用，对全章知识有个整体的认识；通过气球膨胀率问题和高台跳水问题让学生从实际问题中体会平均变化率的本质，形成平均变化率的概念，并探究发现平均变化率的缺陷；了解平均变化率的几何意义；会计算一些简单函数的平均变化率。
2、内容分析：本课是《导数及其应用》的开门课，主要通过实际问题介绍平均变化率的概念及其几何意义，为后面学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念打下基础。整个第三章的学习，教材注重思考方法的渗透；注重抽象概念不同意义间的转换，即从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解各种概念的内涵与思想。而在这点上，本课正好给了学生一个最初的体验。本课内容比较少，时间相对充足，教师可根据两个实际问题有所深入地启发学生思考探究，帮助学生理解概念。
3、学情分析：选修1-1模块的学习主体是文科类学生，学生的整体认知水平相对较弱，物理基础也相对较差，对于抽象的问题不善于理解。因此，讲课时需特别重视实际问题的形化，借助教具或信息技术来解决难点问题，设计问题串启发学生思考。
4、设计思路：利用章引言中的微积分史料，引导学生体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，认识导数和定积分在研究和处理实际问题中的作用，激发学生学习本章知识的兴趣，进而引入课题并提出实际问题，启发学生主动探究。教师借助教具和信息技术，积极为学生提供探究的平台和氛围，做好学生的学习服务工作。整个探究学习过程以“理解平均变化率”为根本目标，让学生体验实际问题到数学问题、揭示概念本质到概念形式化、概念形式到概念几何意义等方面的转换过程。最后通过4个函数例子，以讲练结合的方式，帮助学生巩固对概念的理解，熟悉有关的符号表示。
三、教学过程
教学环节及时间 教师活动 学生活动 对学生学习过程的观察、考查及设计意图
章头引言学习2` 组织学生自学章头引言，并引导学生解决如下几个问题：问题1:通过引言学习，你如何看待微积分的创立及其意义？问题2:通过引言学习，你了解到导数在研究和处理实际问题时有哪些作用？问题3:这一章，我们将要学习哪些方面的知识？ 学生自主学习章头引言，并解决三个问题。 （1）学生自己阅读引言，可训练学生的阅读能力和培养阅读习惯。（2）通过引导学生对三个问题的解决，达到了解导数的文化背景，认识导数在研究和处理实际问题的作用，以及对全章的整体认识等目的。（3）激发学生的求知欲。
课题引入1` 由引言中提到的导数作用之一：解决增长率问题，引出课题：变化率问题，进而提出教材上的第1个问题：气球膨胀率。 听讲并根据教师的思路转向到新课“变化率问题”上来。 让学生明确：我们把变化率作为学习导数的入手点。
新授：气球膨胀率问题13` 1.演示：教师吹一个真气球，引导学生观察。2.启发性问题预设：（1）实际中，随着吹入气球中气体的增多，气球的半径和体积各有什么样的变化？变化的快慢怎样？如何解释？（2）试着用数学方法解释，看是否更让人清楚一些？如果把气球近似地看个是一个球，联想数学中与球有关的要素，你有办法了吗？（3）类比平均速度，你能明白和计算平均膨胀率吗？(4)平均膨胀率刻画了什么？3.引导学生思考教材第73页思考问题。 （1）学生观察教师实物演示。（2）学生分组讨论“气球膨胀率”这个实际问题。（3）把实际问题转化为数学问题，并通过运算解释问题。（4）在教师的启发下，了解什么是平均膨胀率。 （1）通过演示，先让学生有个直观感知，才能更好地上升到理论层次。（2）通过提问引导学生会把实际问题转化为数学问题，并用数学知识解决问题。（3）学生自己得出平均膨胀率有一定的困难，故用类比平均速度的方法引导学生思考。（4）利用教材上的思考问题，引导学生由具体数值的运算转化到字母数值的运算上来，渗透由特殊到一般的数学思想方法，提高学生的运算能力。
新授：高台跳水问题13` 1.问题引入：刚才我们类比平均速度了解了平均膨胀率的计算，下面我们也具体地来看一个平均速度问题。2.引导学生看章头跳水图。3.信息技术演示：跳水动画。4.启发性问题预设：（1）相对水面高度和起跳后的时间, 你能指出问题所反应的函数模型吗？解析式如何？（2）根据解析式，你能计算和这两个时段里的平均速度吗？（3）平均速度与平均膨胀率一样还是变化率问题吗？（4）类比平均膨胀率，你能说出平均速度刻画了什么吗？5.引导学生探究教材第73页的“探究问题”。 （1）观察动画演示，发现问题所反应的函数模型。（2）计算相应时间段里的平均速度。（3）以小组讨论的形式探究教材第73页的“探究问题”。 （1）动画演示让学生对跳水运动有动态的直观感知，便于对物理知识进行迁移。（2）通过提问，引导学生把函数建模知识联系起来。（3）通过提问，引导学生注意到“平均速度”一词中虽然没有“率”字，但它仍反应的是变化率。（4）通过类比平均膨胀率，让学生明确：平均速度是刻画运动员某段时间内的运动状态。（5）利用教材上的探究问题，让学生自主探究，培养学生的探究能力；产生认知冲突，意识到平均速度不能反映每一时刻的运动状态，需要另寻找一个量来描述运动员的运动状态。这为下课瞬时速度的引入打下伏笔。（6）由于探究问题对学生有点难度，故采用小组计论的形式。同时，也可活跃后气氛，调动学生的积极性。
新授：平均变化率的概念及其几何意义6` 1.提问：你能根据前面的两个实际问题，归纳出“什么叫做函数的平均变化率”吗？2.从形式上讲解函数平均变化率的概念以及相关的一些符号表示。概念形式可浓缩为：差商（即）3.信息技术演示：平均变化率的几何意义动态图象演示。4.引导学生思考教材第74页的思考问题。 （1）根据教师的提问，尝试归纳函数的平均变化率概念。（2）听教师讲解，从形式上理解并识记概念。（3）根据演示动画，思考得出函数平均变化率的几何意义。 （1）提问的目的是培养学生的学习归纳能力，体会从实际问题中抽象出概念的过程。（2）教师对概念形式上的讲解，遵循了“提示概念本质，适度形式化”的课程理念，进一步促使学生对概念的理解掌握。（3）动画演示帮助学生从图形直观上发现概念的几何意义。
新授：例题5` 投影如下几个例题：（讲练结合，教师重在点评）例1.已知函数，试计算函数从到的平均变化率。例2.试计算函数从到的平均变化率。例3.试计算函数从 到的平均变化率。例4.已知某工厂在一年中A商品的产量(万个)与时间（月）存在函数关系式：，求该工厂一年中生产A商品的月平均增长率。 学生自主做完4个例题。 （1）考虑到学生第一次接触到平均变体率及其符号表示，故举了4个例题，以帮助学生通过计算巩固平均变化率的概念。（2）4个例题给出了不同形式的函数式，以及一个实际问题，从另一个角度帮助学生理解概念。
课堂小结5` 引导学生自主归纳小结本节课的内容。启发性问题预设：（1）导数的文化背景和全章的整体认识如何？（2）本节课用到了哪些数学思想方法？（3）平均变化率的概念形式和几何意义是什么？（4）平均变化率在描述一个物理现象时有什么缺陷？ 学生个别或一起归纳小结 （1）归纳小结本节课的内容，使知识认知条理化和结构化。（2）培养学生归纳知识的习惯和能力。（3）促使学生关注学习过程中应用的数学思想方法。（4）抓住本节课的重点：平均变化率的概念及其几何意义。（5）把学习的目的延伸到下节课。
四、教学反思
1、章头引言的学习可能略显枯燥，占用课堂的时间不能太长，应尽快转入到后面的实际问题上去，否则易封杀学生的学习兴趣和求知欲。
2、学生在学习过程中，表现出不想计算的态度，要么是因为懒惰，要么是觉得肯定会算而不算。因此，需要想法调动学生参与运算的积极性。
3、对于教材第73页的探究问题（1）运动员在这段时间里是静止的吗？个别学生虽然承认运动员在相应时间段里是运动的，但对于平均速度的计算值为零从物理学上总是不能接受。因此，课后有必要对这些学生做个别辅导，加强问题的理解，以免造成后面学习的心理障碍。
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