生活中的优化问题举例
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生活中的优化问题举例（1）
一、教学目标：
学 习 目 标：会利用导数解决生活中的优化问题
知识能力目标：通过感受导数在研究函数以及实际问题中的作用，体会导数的
思想及其内涵，并培养利用所学知识解决问题的能力。 。
情 感 目 标：通过具体的情境感知研究导数，形成学习数学知识的积极态度.
体会导数在解决实际问题中的应用。
二、教学重点与难点：
教学重点：通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学过程：
（一）创设情景
提出问题：
问题（1）：一块正三角形的铁板的三个角
上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一
个正三棱柱，尺寸如图1所示．当为
时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．
问题（2）：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
（二）新课讲授
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（三）典例分析
例1． 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,
此时四周空白面积为
。
求导数，得
。令，
解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
（四）师生互议、小组讨论
（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
①与几何有关的最值问题；
②与物理学有关的最值问题；
③与利润及其成本有关的最值问题；
④效率最值问题。
（2）“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题中的最大（小）值，，其主要步骤如下：（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程=0；（3）比较函数在区间端点和使=0的点的取值大小，最大（小）者为最大（小）值.
（五）课堂练习
完成问题1、问题2
问题1：答案略
问题2：【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝．
y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700，
y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，
令y′＝0，解得x ＝．
答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
【点评】
当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）
（六）课堂小结
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
七、课后作业
1、上超市调查饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
2、上网查询磁盘是如何存储数据的？磁盘的存储量与什么有关？
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
建立数学模型
解决数学模型
作答
优化问题
优化问题的答案
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生活中的优化问题举例（1）
一、教学目标：
学 习 目 标：会利用导数解决生活中的优化问题
知识能力目标：通过感受导数在研究函数以及实际问题中的作用，体会导数的
思想及其内涵，并培养利用所学知识解决问题的能力。 。
情 感 目 标：通过具体的情境感知研究导数，形成学习数学知识的积极态度.
体会导数在解决实际问题中的应用。
二、教学重点与难点：
教学重点：通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学过程：
（一）创设情景
提出问题：
问题（1）：一块正三角形的铁板的三个角
上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一
个正三棱柱，尺寸如图1所示．当为
时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．
问题（2）：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
（二）新课讲授
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（三）典例分析
例1． 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,
此时四周空白面积为
。
求导数，得
。令，
解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
（四）师生互议、小组讨论
（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
①与几何有关的最值问题；
②与物理学有关的最值问题；
③与利润及其成本有关的最值问题；
④效率最值问题。
（2）“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题中的最大（小）值，，其主要步骤如下：（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程=0；（3）比较函数在区间端点和使=0的点的取值大小，最大（小）者为最大（小）值.
（五）课堂练习
完成问题1、问题2
问题1：答案略
问题2：【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝．
y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700，
y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，
令y′＝0，解得x ＝．
答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
【点评】
当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）
（六）课堂小结
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
七、课后作业
1、上超市调查饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
2、上网查询磁盘是如何存储数据的？磁盘的存储量与什么有关？
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
建立数学模型
解决数学模型
作答
优化问题
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