等差数列
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文档简介
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《等差数列》教学设计
一、基本说明
1、教学内容所属模块：必修5
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社
4、所属的章节：第二章第二节
5、学时数：40分钟
二、教学目标：
（1）知识与技能目标
1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列。
2、正确认识等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。
3、明确、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图像性质认识等差数列的性质，能用图象与通项公式的关系解决某些问题。
（2）过程与方法目标
1、经历等差数列的简单产生过程，运用等差数列的基本知识解决某些问题。
2、通过等差数列的应用，进一步渗透数形结合思想和函数思想。
3、通过等差数列通项公式的运用，渗透函数、方程、化归的数学思想；
4、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。
（3）情感态度与价值观目标
1、将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣。
2、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生观察、分析信息的能力和积极思维、探求新知的创新意识。
3、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，进一步渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
三、内容分析：
本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一。数列与前面学习的函数等知识有密切的联系，同时也是培养学生观察、分析、归纳、猜想等数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的引领意义。其学习平台是学生已掌握数列的概念与数列表示法（通项公式法、递推公式法）。对本节的研究，为求数列的通项公式提供了三种重要的思想方法，具有承上启下的重要作用。从知识点来说，掌握求和公式对学生来说并不困难，而难点是在于如何从通项公式的推导过程中渗透归纳猜想、累加、递推公式法的思想方法，因此，依据新课标的教学要求和学生的实际情况，确定本节的重点和难点如下。
（1）重点：等差数列的概念，等差数列通项公式推导过程及运用。
（2）难点： 理解等差数列 “等差”的特点及前通项公式的含义，理解等差数列是一种函数模型。
四：教法与学法
1.教法
（1）诱导思维法：有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重、难点；有利于调动学生学习的主动性与积极性，彰显创造性。
（2）分组讨论法：有利于学生交流，及时发现问题、解决问题。
（3）讲练结合法：有利于学生及时巩固、提升。
2．学法
（1）诱导学生从密码问题概括出数组特征并抽象出等差数列的概念。
（2）点拨引导、诱导学生用多种方法对等差数列通项公式进行推导，此时要让学生联想、探索、合作交流直至分析、整理出推导公式的不同思路。
五：教学过程描述
（一） 设置问题，引导发现形成概念
问题1：一个小探险家在古墓中寻宝，到宝藏门外发现墓门上有四个从0-
9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开。门上四组
数字如下：
1）1，3，5，（ ），9 2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68 4）8，（ ），8，8，8
你能正确找出密码进入宝藏的大门吗？
追问1：你能发现这些数字的规律吗？（后一项与它前一项的差等于同一个常数）
追问2：1，2，5，8，15，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？
追问3：1，3，4，5，6，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？
追问4：你能不能用数学语言来描述刚才的特征？
教师课件演示等差数列定义，在重点词语下划线。
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
那么这个数列就叫等差数列，这个同一常数d为公差，为数列的首项。
追问5：大家能分别说出刚才问题中的那四个数列的公差吗？
追问6：请大家能自己举几个关于等差数列的例子，并指出它们的公差。
追问7：已知数列{an}的通项公式是：an = 3n-2
（1）求a1，a2，a3，a4；
（2）求a2-a1，a3-a2，a4-a3，并由这三个式的值，猜想对任意的正整数n，都有an+1-an 值是否为同一个常数？如果是给出证明；如果不是，说明理由。
追问8:由刚才的问题知若一个数列的通项公式是一个关于n的一次函数形式，则
该数列是否一定是一个等差数列？等差数列的通项公式是否一定是一个关于n
的一次函数形式？（目标暗示）
（二） 启发、引导推出等差数列的通项公式
把问题推广到一般情况：若数列 是等差数列，它的公差是d，那么 数列的通项公式是什么？
某组合作探究方法1：（不完全归纳法）
a2=a1＋d，a3=a2＋d=a1＋2d，a4=a3＋d=a1＋3d，…，an=a1＋(n－1)d
某组合作探究方法2：（累加法）
a2－a1=d
a3－a2=d
a4－a3= d
……
an－an－1=d （ ）
将这（n－1）个式子左、右分别相加得 an=a1＋(n－1)d
点评：从第二项开始归纳，故，当n=1时，an=a1＋(n－1)d也成立，因 而等差数列的通项公式 （n∈N*）
某组合作探究方法3（构造法）
由an－an－1=d （ ），则an-(n－1)d=an-1—（n-1）d=…=a1
故
总结1：通项公式的推导方法：递推归纳法、累加法、构造（常数列）法。
总结2：对通项公式进行分析，通项公式中含有 四个量，其中 为基本量，当 确定后，通项公式就确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。
（三）典例分析，提升思维（大屏幕给出例题，由学生代表讲解）
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项
解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得
a20=8+（20-1）×（-3）=-49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：由 ，得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。（方程思想的运用）
反馈调控，实现学生对知识的掌握1：
如果已知等差数列中任意两项，能不能求出an呢？
学生举例：在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求an 。
解： a1 +4d=10
a1 +11d=31
解得 a1=-2 ，d=3，则an=3n-5
点评：此法利用函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。
反馈调控，实现学生对知识的掌握2：
由a5=a1 +4d，a12=a1 +11d能够有什么启示？
学生合作探究得：a12=a1 +11d=a5+（12-5）d，于是有
an=am+（n-m）d (推导公式)
例2、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数
列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
学生分析：由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）
是不是一个与n无关的常数。（学生叙述，教师板书）
解：取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）。
由an-an-1= (pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p它是一个与n无关的常数，所以{ an}是等差数列，且公差为p。在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个
等差数列的首项是p+q，公差是p。
反馈调控，实现学生对知识的掌握3:
数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）
学生：与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例
的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。
追问9:本例题的逆命题，是否也成立？请同学们完成证明。它也可以作为证明数列{an}是等差数列的一种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出等差数列的图象？
反馈调控，实现学生对知识的掌握4：
通项公式的图象在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：
追问9:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
学生：公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）上的均匀公布的一群孤立点。
（在大屏幕上打出如下幻灯片：）
等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较
不同点 关连与相同点
等差数列an=pn+q p∈R，n∈N+，p是公差。 （1）p≠0时，数列an=pn+q图象所表示的点均匀分布在函数y=px+q图象上。（2）p＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；p＜0时，数列为递减数列，函数为减函数。
一次函数y=px+q p≠0，x∈R，p是斜率。
反馈调控，实现学生对知识的掌握5：
1,求下列等差数列的公差,通项公式以及第10项.
(1). -2, 1 ,4…… d=3 an = 3n - 5
(2). 30, 24, 18…… d=-6 an = 36 -6n
(3). -5, -8, -11…… d=-3 an = -3n-2
2.已知等差数列{an}的首项a1=-7,公差d=3.问：这个数列的第几项是32？
解：∵a1=-7, d=3.∴an =3n -10 有题意可得，3n-10=32
∴n=14
3．已知等差数列{an}的第7项是8，第11项是-20，求它的第15项？
解：设等差数列{an}的通项公式为：an= a1 + (n-1)d，由题意可得
a1 + 6d = 8 ① a1 + 10d = -20 ②
整理，解得 a1 = 50 d = -7
∴a15 = a1 +14d =50+14×(-7)= -48
4．课本“练习”第1、2题
（四）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完整课堂小结，实现对等差数列通项公式的再次深化。（教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来）
①等差数列定义：即 (n≥2) 或an+1- an=d （n∈N*）
②等差数列通项公式 或an=am+（n-m）d (推导公式)
③等差数列an=pn+q的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
(五)课后作业
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，反思等差数列的通项公式的三种求法；
（二）书面作业：课本40页习题2.2组A1，2，3，4，5题
（三）弹性作业1：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质.
弹性作业2： 是否成立？据此你可得出什么结论？
弹性作业3：已知等差数列{an}的公差d，求证：
六、教学反思
新课堂是活动的课堂，讨论合作交流的课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂。
本节课的设计采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起，充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到悟性的认识过程，培养了学生的观察、分析、归纳、推理的能力，使本节课的三维目标真正落到了实处。
学生课后的评价是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔，思维能力得到了提升。
最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。
课堂上就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。
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x
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《等差数列》教学设计
一、基本说明
1、教学内容所属模块：必修5
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社
4、所属的章节：第二章第二节
5、学时数：40分钟
二、教学目标：
（1）知识与技能目标
1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列。
2、正确认识等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。
3、明确、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图像性质认识等差数列的性质，能用图象与通项公式的关系解决某些问题。
（2）过程与方法目标
1、经历等差数列的简单产生过程，运用等差数列的基本知识解决某些问题。
2、通过等差数列的应用，进一步渗透数形结合思想和函数思想。
3、通过等差数列通项公式的运用，渗透函数、方程、化归的数学思想；
4、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。
（3）情感态度与价值观目标
1、将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣。
2、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生观察、分析信息的能力和积极思维、探求新知的创新意识。
3、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，进一步渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
三、内容分析：
本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一。数列与前面学习的函数等知识有密切的联系，同时也是培养学生观察、分析、归纳、猜想等数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的引领意义。其学习平台是学生已掌握数列的概念与数列表示法（通项公式法、递推公式法）。对本节的研究，为求数列的通项公式提供了三种重要的思想方法，具有承上启下的重要作用。从知识点来说，掌握求和公式对学生来说并不困难，而难点是在于如何从通项公式的推导过程中渗透归纳猜想、累加、递推公式法的思想方法，因此，依据新课标的教学要求和学生的实际情况，确定本节的重点和难点如下。
（1）重点：等差数列的概念，等差数列通项公式推导过程及运用。
（2）难点： 理解等差数列 “等差”的特点及前通项公式的含义，理解等差数列是一种函数模型。
四：教法与学法
1.教法
（1）诱导思维法：有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重、难点；有利于调动学生学习的主动性与积极性，彰显创造性。
（2）分组讨论法：有利于学生交流，及时发现问题、解决问题。
（3）讲练结合法：有利于学生及时巩固、提升。
2．学法
（1）诱导学生从密码问题概括出数组特征并抽象出等差数列的概念。
（2）点拨引导、诱导学生用多种方法对等差数列通项公式进行推导，此时要让学生联想、探索、合作交流直至分析、整理出推导公式的不同思路。
五：教学过程描述
（一） 设置问题，引导发现形成概念
问题1：一个小探险家在古墓中寻宝，到宝藏门外发现墓门上有四个从0-
9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开。门上四组
数字如下：
1）1，3，5，（ ），9 2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68 4）8，（ ），8，8，8
你能正确找出密码进入宝藏的大门吗？
追问1：你能发现这些数字的规律吗？（后一项与它前一项的差等于同一个常数）
追问2：1，2，5，8，15，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？
追问3：1，3，4，5，6，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？
追问4：你能不能用数学语言来描述刚才的特征？
教师课件演示等差数列定义，在重点词语下划线。
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
那么这个数列就叫等差数列，这个同一常数d为公差，为数列的首项。
追问5：大家能分别说出刚才问题中的那四个数列的公差吗？
追问6：请大家能自己举几个关于等差数列的例子，并指出它们的公差。
追问7：已知数列{an}的通项公式是：an = 3n-2
（1）求a1，a2，a3，a4；
（2）求a2-a1，a3-a2，a4-a3，并由这三个式的值，猜想对任意的正整数n，都有an+1-an 值是否为同一个常数？如果是给出证明；如果不是，说明理由。
追问8:由刚才的问题知若一个数列的通项公式是一个关于n的一次函数形式，则
该数列是否一定是一个等差数列？等差数列的通项公式是否一定是一个关于n
的一次函数形式？（目标暗示）
（二） 启发、引导推出等差数列的通项公式
把问题推广到一般情况：若数列 是等差数列，它的公差是d，那么 数列的通项公式是什么？
某组合作探究方法1：（不完全归纳法）
a2=a1＋d，a3=a2＋d=a1＋2d，a4=a3＋d=a1＋3d，…，an=a1＋(n－1)d
某组合作探究方法2：（累加法）
a2－a1=d
a3－a2=d
a4－a3= d
……
an－an－1=d （ ）
将这（n－1）个式子左、右分别相加得 an=a1＋(n－1)d
点评：从第二项开始归纳，故，当n=1时，an=a1＋(n－1)d也成立，因 而等差数列的通项公式 （n∈N*）
某组合作探究方法3（构造法）
由an－an－1=d （ ），则an-(n－1)d=an-1—（n-1）d=…=a1
故
总结1：通项公式的推导方法：递推归纳法、累加法、构造（常数列）法。
总结2：对通项公式进行分析，通项公式中含有 四个量，其中 为基本量，当 确定后，通项公式就确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。
（三）典例分析，提升思维（大屏幕给出例题，由学生代表讲解）
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项
解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得
a20=8+（20-1）×（-3）=-49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：由 ，得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。（方程思想的运用）
反馈调控，实现学生对知识的掌握1：
如果已知等差数列中任意两项，能不能求出an呢？
学生举例：在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求an 。
解： a1 +4d=10
a1 +11d=31
解得 a1=-2 ，d=3，则an=3n-5
点评：此法利用函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。
反馈调控，实现学生对知识的掌握2：
由a5=a1 +4d，a12=a1 +11d能够有什么启示？
学生合作探究得：a12=a1 +11d=a5+（12-5）d，于是有
an=am+（n-m）d (推导公式)
例2、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数
列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
学生分析：由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）
是不是一个与n无关的常数。（学生叙述，教师板书）
解：取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）。
由an-an-1= (pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p它是一个与n无关的常数，所以{ an}是等差数列，且公差为p。在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个
等差数列的首项是p+q，公差是p。
反馈调控，实现学生对知识的掌握3:
数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）
学生：与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例
的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。
追问9:本例题的逆命题，是否也成立？请同学们完成证明。它也可以作为证明数列{an}是等差数列的一种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出等差数列的图象？
反馈调控，实现学生对知识的掌握4：
通项公式的图象在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：
追问9:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
学生：公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）上的均匀公布的一群孤立点。
（在大屏幕上打出如下幻灯片：）
等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较
不同点 关连与相同点
等差数列an=pn+q p∈R，n∈N+，p是公差。 （1）p≠0时，数列an=pn+q图象所表示的点均匀分布在函数y=px+q图象上。（2）p＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；p＜0时，数列为递减数列，函数为减函数。
一次函数y=px+q p≠0，x∈R，p是斜率。
反馈调控，实现学生对知识的掌握5：
1,求下列等差数列的公差,通项公式以及第10项.
(1). -2, 1 ,4…… d=3 an = 3n - 5
(2). 30, 24, 18…… d=-6 an = 36 -6n
(3). -5, -8, -11…… d=-3 an = -3n-2
2.已知等差数列{an}的首项a1=-7,公差d=3.问：这个数列的第几项是32？
解：∵a1=-7, d=3.∴an =3n -10 有题意可得，3n-10=32
∴n=14
3．已知等差数列{an}的第7项是8，第11项是-20，求它的第15项？
解：设等差数列{an}的通项公式为：an= a1 + (n-1)d，由题意可得
a1 + 6d = 8 ① a1 + 10d = -20 ②
整理，解得 a1 = 50 d = -7
∴a15 = a1 +14d =50+14×(-7)= -48
4．课本“练习”第1、2题
（四）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完整课堂小结，实现对等差数列通项公式的再次深化。（教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来）
①等差数列定义：即 (n≥2) 或an+1- an=d （n∈N*）
②等差数列通项公式 或an=am+（n-m）d (推导公式)
③等差数列an=pn+q的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
(五)课后作业
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，反思等差数列的通项公式的三种求法；
（二）书面作业：课本40页习题2.2组A1，2，3，4，5题
（三）弹性作业1：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质.
弹性作业2： 是否成立？据此你可得出什么结论？
弹性作业3：已知等差数列{an}的公差d，求证：
六、教学反思
新课堂是活动的课堂，讨论合作交流的课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂。
本节课的设计采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起，充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到悟性的认识过程，培养了学生的观察、分析、归纳、推理的能力，使本节课的三维目标真正落到了实处。
学生课后的评价是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔，思维能力得到了提升。
最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。
课堂上就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。
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