1.1集合的概念 讲义（扫描版，含解析）

1.1集合的概念
本节知识点
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。一般用 a、b、c、……表示
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。一般用 A、B、C、……表示
3.集合中元素的特征：
（1）确定性：元素必须是确定的
例：“个子高的同学”不能构成集合，标准模糊；“身高 170cm以上同学”可以
（2）互异性：任意两个元素是不同的
例：{1，1，2}正确写法是{1，2}，解方程含参数时常利用互异性舍根
（3）无序性：元素排列无顺序
例：{1，2}={2，1}
4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合是相等的
5.集合与元素的关系：
（1）属于：元素 a属于集合 A，记 a∈A
（2）不属于：元素 a不属于集合 A，记 a A
6.常用数集种类及记法：
名称 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或 N+ Z Q R
7.集合的表示方法：
（1）列举法：把所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示
（2）描述法：设 A是一个集合，把集合 A中所有具有共同特征 P(x)的元素 x所组成的
集合表示出来，{x∈A|P(x)}={x|P(x)，x∈A}
重难点分析
1.集合中元素的特征：属于必考基础题，理清各特征的概念；
2.描述法：高频考点；
3.数集种类及符号：识记常用数集的表示符号。
1
拓展知识
随堂练习
题型 1：判断元素能否构成集合
下列各对象可以组成集合的是（）
A.与 1非常接近的全体实数
B.新学期 2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.中国著名的数学家
【解析】根据集合元素的确定性判断：A选项“与 1非常接近”没有明确标准，不满足确定
性；B选项新学期高一学生是确定的，能构成集合；C选项“视力比较好”没有明确标准；D
选项“著名的数学家”没有明确标准。
【答案】B
以下四组对象，能构成集合的是（）
A.最大的正实数 B.最小的整数
C.平方等于 1的实数 D.最接近 1的实数
【解析】A 选项无法确定最大的正实数；B选项无法确定最小的整数；C选项平方等于 1的
实数为 1和-1，是确定的；D选项无法确定最接近 1的实数。
【答案】C
下列说法正确的是（）
2
A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C.数 1，2，2，3，4，5组成的集合中有 6个元素
D.由不大于 4的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3，4
【解析】A选项“很喜欢足球”没有明确标准；B选项联合国安理会常任理事国有明确标准，
能构成集合；C选项集合元素具有互异性，2重复了，只有 5个元素；D选项不大于 4的自
然数还包括 0。
【答案】B
给出下列说法中，其中正确的是（）
①所有接近于 0的数构成一个集合；
②2025年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于 3的自然数构成一个集合；
3 1
⑤1，0.5， ， 组成的集合含有 4个元素。
2 2
A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④
【解析】①“接近于 0”不确定；②高考题是确定的；③“高科技产品”不确定；④不大于
1
3的自然数为 0，1，2，3确定；⑤0.5= ，集合只有 3个元素。
2
【答案】D
在“①难解的题目；②方程x2 + 1 = 0 在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限
内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（）
A.②③ B.①③ C.②④ D.①②④
【解析】①“难解的题目”不确定；②方程x2 + 1 = 0 在实数集内无解，解集为 ，是集合；
③第四象限内的点是确定的；④“很多多项式”不确定。
【答案】A
下面四个说法中正确的是（）
A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B.由 1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2 2x + 1 = 0 的所有解组成的集合是{1，1}
D.0与{0}表示同一个集合
3
【解析】A选项 10以内的质数为 2，3，5，7，正确；B选项集合元素具有无序性，{1，2，
3}和{3，1，2}表示同一集合，正确；C选项集合元素具有互异性，不能有重复元素；D选项
0是元素，{0}是集合，不是同一个概念。
【答案】AB
题型 2：元素与集合的关系
下列关系中不正确的是（）
A.0∈N B.0∈ C. 2∈Q D.π∈R
【解析】空集 中没有任何元素，所以 0 ，B选项错误。
【答案】B
下列关系中正确的个数为（）
１
① 2∈R，② Q，③ 3 ∈N，④ 3 ∈Q
３
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
１ １
【解析】① 2是实数， 2∈R，正确；② 是有理数， ∈Q，错误；③ 3 =3是自然数， 3 ∈N，
３ ３
正确；④ 3 = 3是无理数， 3 Q，错误。正确的有 2个。
【答案】B
集合 A={x|-1A.-1∈A B.2∈A C.3∈A D.0 A
【解析】A={x|-1【答案】B
若集合 A={x|x -3x+2=0}，则（）
A.1 A B.2∈A C.-1∈A D.-2∈A
【解析】解方程 x -3x+2=0，得 x=1 或 x=2，所以 A={1，2}，因此 2∈A。
【答案】B
集合 M={x|x=2k+1，k∈Z}，则下列表示正确的是（）
A.3∈M B.4 M C.0∈M D.-1∈M
【解析】M={x|x=2k+1，k∈Z}表示所有奇数。3是奇数，4不是奇数，0不是奇数，-1是奇
数。
【答案】ABD
4
已知集合 A={a + 2，(a + 1)2，a2 + 3a + 3}，且 1∈A，则 a等于 。
【解析】因为 1∈A，所以：
若 a+2=1，则 a=-1，此时(a + 1)2=0，a2 + 3a + 3=1，不满足互异性；
若(a + 1)2=1，则 a=0或 a=-2，a=0时集合为{2，1，3}，符合；a=-2时集合为{0，1，1}，
不符合；
若a2 + 3a + 3=1，则 a=-1或 a=-2，都不符合。
【答案】0
题型 3：集合元素互异性的应用
若集合 A={1，a，b}，则应满足（）
A.a≠1且 b≠1 B.a≠b C.a≠1且 b≠1且 a≠b D.以上都不对
【解析】由集合元素的互异性可知，集合中的三个元素都互不相同，即 a≠1，b≠1，且 a≠b。
【答案】C
若 1∈{x，x2}，则 x的所有可能的取值构成的集合为（）
A.{1} B.{-1} C.{0，1} D.{-1，1}
【解析】若 1∈{x，x }，则 x=1或x2=1。
当 x=1时，集合为{1，1}，不满足互异性，舍去；
当x2=1时，x=1（舍去）或 x=-1，此时集合为{-1，1}，满足条件。
【答案】B
若 1∈{-1，a2 a 1，a}，则 a的值为（）
A.-1 B.2 C.-1或 2 D.1或 2
【解析】因为 1∈{-1，a2 a 1，a}，所以：
若a2 a 1 = 1，则a2 a 2 = 0，解得 a=2或 a=-1。
a=2时，集合为{-1，1，2}，满足；
a=-1时，集合为{-1，1，-1}，不满足互异性，舍去；
若 a=1，则集合为{1，-1，1}，不满足互异性，舍去。
【答案】B
已知集合 A={1，3，a}，B={1，a2 a + 1}，且 B A，则 a= 。
【解析】因为 B A，所以 a -a+1=3或 a -a+1=a。
若 a -a+1=3，则 a -a-2=0，解得 a=2或 a=-1。
5
a=2时，A={1，3，2}，B={1，3}，满足条件；
a=-1时，A={1，3，-1}，B={1，3}，满足条件。
若 a -a+1=a，则 a -2a+1=0，解得 a=1，此时 A={1，3，1}，不满足互异性，舍去。
【答案】-1或 2
b
已知集合 A={a， ，1}，B={a ，a+b，0}，若 A=B，则a2026 + b2026的值为 。
a
b
【解析】因为 A=B，且 0∈B，所以 0∈A，因此 a=0或 =0。
a
若 a=0，则 a =0，B={0，b，0}，不满足互异性，所以 a≠0。
b
因此 =0，即 b=0，此时 A={a，0，1}，B={a ，a，0}。
a
由 A=B 得 a =1，a=±1
当 a=1时，A={1，0，1}，B={1，1，0}，不符合互异性；
当 a=-1时，A={-1，0，1}，B={1，-1，0}，A=B。
故，a=-1，b=0时，满足条件；则a2026 + b2026 = 1
【答案】1
已知集合 A={x|ax2 2x + 1 = 0}。
(1)当 a=1时，若 A中只有一个元素，求 x的值；
(2)若 A中至多有一个元素，求 a的取值范围。
【解析】(1)当 a=1时，方程为x2 2x + 1 = 0，解得 x=1。
若 A中只有一个元素，说明方程有两个相等的实根；故 x=1
(2)A中至多有一个元素，即 A为空集或只有一个元素。
当 a=0时，A有一个元素；
当 a≠0时，Δ=4-4a≤0，a≥1。
综上，a的取值范围是 a=0或 a≥1。
【答案】见解析
题型 4：集合的表示方法
集合{x∈N|-1A.{0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{0，1，2，3，4} D.{1，2，3，4}
【解析】{x∈N|-1【答案】A
已知集合 A={x|x -3x+2=0}，则集合 A等于（）
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A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{-1，-2}
【解析】解方程 x -3x+2=0，得 x=1 或 x=2，所以 A={1，2}。
【答案】C
已知集合 M={x|x=3k，k∈Z}，P={x|x=3k+1，k∈Z}，Q={x|x=3k-1，k∈Z}，若 a∈M，
b∈P，则 a+b-c∈（）
A.M B.P
C.Q D.a+b不属于 M，Q，P中的任意一个
【解析】a∈M，可设 a=3 1；同理，可设 b=3 2 + 1，c=3 3 1。
a+b-c=3 1+3 2 + 1-(3 3 1)=3( 1 + 2 3) + 2
因为 1、 2、 3∈Z，所以 1 + 2 3∈Z
令 1 + 2 3=t，则 a+b-c=3t+2=3(t+1)-1，且 t+1∈Z
又集合 Q={x|x=3k-1，k∈Z}，所以 a+b-c∈Q
【答案】C
所有奇数构成的集合用描述法可以表示为 。
【解析】奇数的表述可以为 2k-1、2k+1，故用描述法表示为{x|x=2k+1，k∈Z}
【答案】{x|x=2k+1，k∈Z}（答案不唯一）
平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合用描述法表示为 。
【解析】点在第一象限内的表示为 x>0且 y>0，故用描述法表示为{(x，y)|x>0且 y>0}
【答案】{(x，y)|x>0且 y>0}
1
若集合 S满足：若 a∈S，则 ∈S。若 2∈S，求 S中其他元素；
1 a
(2) 1证明：若 a∈S，则 1 a∈S；
(3)集合 S中元素能否只有一个？请说明理由。
1
【解析】(1)因为 2∈S，所以 =-1∈S；
1 2
1
又因为-1∈S，所以 = 1∈S；
1 ( 1) 2
1 1
又因为 ∈S，所以 1=2∈S，循环了。2 1 2
1
所以 S中其他元素为-1和 。
2
1
(2)证明：若 a∈S，则 ∈S，
1 a
7
1 = 1 1 1所以
1 1 1 1
= = 1 ∈ S。

1 1
1
(3)假设 S中只有一个元素 a，则 a= ，
1 a
即 a(1-a)=1，a-a =1，a -a+1=0，
Δ=1-4=-3<0，方程无实根，矛盾。
所以集合 S中元素不能只有一个。
题型 5：集合相等与新定义问题
下列各组中表示不同集合的是（）
A.M={3，-1}，N={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，N={(1，3)}
C.M={y|y=x +1}，N={t|t=x +1}
D.M={y|y=x -1}，N={(x，y)|y=x -1}
【解析】A选项 M是数集，N是点集，不是同一集合；
B选项是不同的点，不是同一集合；
C选项都是函数的值域，是同一集合；
D选项 M是数集（值域），N是点集（图象），不是同一集合。
【答案】ABD
有两组集合：（1）{1，2，3}，{3，2，1}；（2）{(1，2)}，{(2，1)}，其中集合相等
的是第______组。
【解析】（1）中两个集合都是数集，元素相同（无序性），是相等集合；
（2）中两个集合都是点集，但(1，2)和(2，1)是不同的点，不是相等集合。
【答案】（1）
1
已知数集 A满足条件：当 a∈A时， ∈A，若 2∈A，则 A中所有元素组成的集合是______。
1 a
【解析】因为 2∈A 1，所以 = 1∈A；
1 2
因为-1∈A 1 1，所以 = ∈A；
1 ( 1) 2
1 1
因为 ∈A，所以
2 1 1
= 2∈A，循环。
2
所以 A={2，-1 1， }。
2
【答案】{2，-1 1， }
2
8
对于在平面直角坐标系第一象限内的两点 A(x ，y )，B(x ，y )作如下定义：若 x >x
且 y >y ，则称点 A领先于点 B。
(1)试判断点 A(3，4)是否领先于点 B(2，3)，并说明理由；
(2)若点 A领先于点 B，点 B领先于点 C，试证明：点 A领先于点 C；
(3)对 x，y∈N*，点 A(x，y)领先于点(2，1)，且点(4，5)领先于点 A，求符合条件的正整数(x，
y)组成的集合中元素的个数。
【解析】(1)点 A(3，4)领先于点 B(2，3)。
理由：因为 3>2且 4>3，根据定义，点 A领先于点 B。
(2)证明：设 A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )。
因为 A领先于 B，所以 x >x 且 y >y ；
因为 B领先于 C，所以 x >x 且 y >y 。
由不等式的传递性，x >x 且 y >y ，所以 A领先于 C。
(3)点 A(x，y)领先于(2，1)，所以 x>2且 y>1；
点(4，5)领先于点 A，所以 4>x且 5>y，即 x<4 且 y<5。
又 x，y∈N*，所以 x=3，y=2，3，4。
符合条件的点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，共 3个。
所以集合中元素的个数为 3。
【答案】见解析
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