数学归纳法
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数学归纳法（第一课时）
一、基本说明
1、教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-5》
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4、所属的章节：第四讲《数学归纳法证明不等式》一、数学归纳法
5、学时数：45分钟
二、教学设计
教学目标：
学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和质疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于质疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动质疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。
1.知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过质疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神
内容分析：
数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容，是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛。一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。上学期在《数学必修⑤》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的性质，其正确性还有待用数学归纳法加以证明。《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。重点是分析数学归纳法的实质，难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握，目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。
学情分析：
在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，而且在《数学必修⑤》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加上学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。
设计思路：
本节课我将借助多媒体展示多米诺骨牌的“倒牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。
根据本节课的教学内容和学生的实际，我将采用引导发现法和讲练结合的方法，紧密联系学生已经学过的数列知识和“倒牌”游戏，创设问题情境，运用类比推理引导学生积极思考、大胆探索，将“倒牌”游戏中所蕴含的数学归纳法逐步提炼出来，从而将书本的知识内化为自己的知识。为巩固教学效果，老师通过板书示范，学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。
三、教学过程设计
教学环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图
创设问题情景，引入课题 （5分钟） 情景1：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论．情景2： 教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” 这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？ 情景1：显然不对；情景2：逐一核实当然正确。 通过两个情景让学生了解：（1）是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．（2）是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．从而指出数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（引入课题）．
提出问题，引起思考(3分钟) 问题1： 通过计算下面的式子，你能猜想出－1＋3－5＋…（－1）n（2n－1）的结果吗？证明你的结论。－1＋3 ＝（ ）－1＋3－5 ＝（ ）－1＋3－5＋7 ＝（ ）－1＋3－5＋7－9 ＝（ ）上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，由此猜想：－1＋3－5＋…（－1）n（2n－1）＝（－1）nn （*）怎样证明它呢？ 学生一：可以验证n=1,2,3,4,5…时等式成立；学生二：那n还可取1000，10000等等，符合条件的正整数有无限多个，我们不可能对它们进行一一验证。 通过学生的思考回答暴露出问题，使学生明白要证明这个问题，必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。
探索解决问题的方法 （5分钟） 多媒体演示多米诺骨牌游戏当满足什么条件后，多米诺骨牌全部都倒下。让学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法。1）n取第一个值(例如 )时命题成立;2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。 学生互相讨论后归纳：（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。学生类比归纳，教师引导总结：证明有关正整数命题的方法。 借助多媒体展示多米诺骨牌的“倒牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。
方法尝试，归纳原理 （7分钟） 师生共同用探究出的方法尝试证明引例中等式（*）。归纳数学归纳法证明的步骤：1）证明当n=n0时命题成立;2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立。 假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。学生一：为什么步骤1）中n不是取1，而是n0。学生二：多米诺骨牌中前几张不倒下，而是从第５张倒下多米诺骨牌时，后面的骨牌也会全倒下。 教师板书证明过程强调证明格式。通过方法尝试让学生理解：第一步是奠基，第二步是推理与假设。
数学归纳法的应用（20分钟） 例 1 用数学归纳法证明：教师分析：①是由无数命题组成：②怎样验算时，等式成立？③如何实现到的过渡？④得到什么式子才能称时等式成立？练习：用数学归纳法证明：1. 2.首项是，公比为的等比数列的通项公式是 请学生上台板演注意强调书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式。 本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。
课堂小结（5分钟） 1、数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2、数学归纳法证明命题的两个步骤。3、用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4、证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。5、证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。 学生归纳、总结，一起来回顾本课重点内容 整理知识，归纳重点。
课后作业 教材50页2、3题 巩固学生所学知识和方法。
四、教学总结与反思
本人在设计及教学完数学归纳法这一课时有如处三点反思：
1．基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点。
（1）通过两个情景有效的引起学生的学习兴趣，引入课题。
（2）通过问题一让学生质疑，明确本节课要解决的问题。
（3）通过学生熟悉的多米诺骨牌游戏，让学生用类比的方法自己归纳出数学归纳法证
明的方法。
2．强化数学归纳法思想的形成过程，使其既有灵魂又有血肉．
(1)注意用典型例子来支撑抽象的原理：多米诺骨牌游戏．
(2)增强学习的探究性。除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分。
(3)突破学生对归纳假设理解上的难点。阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法。
(4)强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系。
3．注意把握教师引导与学生自主探究的“度”。一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”。
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数学归纳法（第一课时）
一、基本说明
1、教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-5》
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4、所属的章节：第四讲《数学归纳法证明不等式》一、数学归纳法
5、学时数：45分钟
二、教学设计
教学目标：
学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和质疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于质疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动质疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。
1.知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过质疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神
内容分析：
数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容，是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛。一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。上学期在《数学必修⑤》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的性质，其正确性还有待用数学归纳法加以证明。《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。重点是分析数学归纳法的实质，难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握，目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。
学情分析：
在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，而且在《数学必修⑤》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加上学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。
设计思路：
本节课我将借助多媒体展示多米诺骨牌的“倒牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。
根据本节课的教学内容和学生的实际，我将采用引导发现法和讲练结合的方法，紧密联系学生已经学过的数列知识和“倒牌”游戏，创设问题情境，运用类比推理引导学生积极思考、大胆探索，将“倒牌”游戏中所蕴含的数学归纳法逐步提炼出来，从而将书本的知识内化为自己的知识。为巩固教学效果，老师通过板书示范，学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。
三、教学过程设计
教学环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图
创设问题情景，引入课题 （5分钟） 情景1：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论．情景2： 教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” 这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？ 情景1：显然不对；情景2：逐一核实当然正确。 通过两个情景让学生了解：（1）是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．（2）是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．从而指出数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（引入课题）．
提出问题，引起思考(3分钟) 问题1： 通过计算下面的式子，你能猜想出－1＋3－5＋…（－1）n（2n－1）的结果吗？证明你的结论。－1＋3 ＝（ ）－1＋3－5 ＝（ ）－1＋3－5＋7 ＝（ ）－1＋3－5＋7－9 ＝（ ）上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，由此猜想：－1＋3－5＋…（－1）n（2n－1）＝（－1）nn （*）怎样证明它呢？ 学生一：可以验证n=1,2,3,4,5…时等式成立；学生二：那n还可取1000，10000等等，符合条件的正整数有无限多个，我们不可能对它们进行一一验证。 通过学生的思考回答暴露出问题，使学生明白要证明这个问题，必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。
探索解决问题的方法 （5分钟） 多媒体演示多米诺骨牌游戏当满足什么条件后，多米诺骨牌全部都倒下。让学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法。1）n取第一个值(例如 )时命题成立;2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。 学生互相讨论后归纳：（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。学生类比归纳，教师引导总结：证明有关正整数命题的方法。 借助多媒体展示多米诺骨牌的“倒牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。
方法尝试，归纳原理 （7分钟） 师生共同用探究出的方法尝试证明引例中等式（*）。归纳数学归纳法证明的步骤：1）证明当n=n0时命题成立;2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立。 假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。学生一：为什么步骤1）中n不是取1，而是n0。学生二：多米诺骨牌中前几张不倒下，而是从第５张倒下多米诺骨牌时，后面的骨牌也会全倒下。 教师板书证明过程强调证明格式。通过方法尝试让学生理解：第一步是奠基，第二步是推理与假设。
数学归纳法的应用（20分钟） 例 1 用数学归纳法证明：教师分析：①是由无数命题组成：②怎样验算时，等式成立？③如何实现到的过渡？④得到什么式子才能称时等式成立？练习：用数学归纳法证明：1. 2.首项是，公比为的等比数列的通项公式是 请学生上台板演注意强调书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式。 本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。
课堂小结（5分钟） 1、数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2、数学归纳法证明命题的两个步骤。3、用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4、证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。5、证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。 学生归纳、总结，一起来回顾本课重点内容 整理知识，归纳重点。
课后作业 教材50页2、3题 巩固学生所学知识和方法。
四、教学总结与反思
本人在设计及教学完数学归纳法这一课时有如处三点反思：
1．基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点。
（1）通过两个情景有效的引起学生的学习兴趣，引入课题。
（2）通过问题一让学生质疑，明确本节课要解决的问题。
（3）通过学生熟悉的多米诺骨牌游戏，让学生用类比的方法自己归纳出数学归纳法证
明的方法。
2．强化数学归纳法思想的形成过程，使其既有灵魂又有血肉．
(1)注意用典型例子来支撑抽象的原理：多米诺骨牌游戏．
(2)增强学习的探究性。除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分。
(3)突破学生对归纳假设理解上的难点。阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法。
(4)强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系。
3．注意把握教师引导与学生自主探究的“度”。一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”。
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