离散型随机变量的均值
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文档简介
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离散型随机变量的均值
一、基本说明
1、教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修2－3》
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4、所属的章节：第二章《随机变量及其分布》
2.3《随机变量的均值与方差》
5、学时数：45分钟
二、教学设计
1、教学目标：
知识与技能：了解加权平均的意义，理解离散型随机变量的均值（期望）的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值（期望）。
过程与方法：经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
情感、态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，在学生分析问题，解决问题的过程中培养其积极探索的精神，并感悟数学与生活的和谐之美 ，体现数学的文化功能与人文价值。
2、内容分析：
本节内容是离散型随机变量的均值（期望），是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行研究的，同时又为下一节要研究的离散型随机变量的方差奠定基础，在知识上起到了承前启后的作用.本节课学习过程中，注意要培养学生总结归纳两种求均值的方法：定义法和公式法（两点分布和二项分布），并会简单的应用，体会由特殊到一般的思想方法。
教学重点：
（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解及其计算；
（2）两点分布及二项分布的均值计算公式及其应用。
教学难点：
（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解；
（2）二项分布均值公式的证明。
3、学情分析：
学生在《数学必修3》，已熟知了一组数据的平均数的求法及意义，还会根据频率分布直方图估计样本数据的平均值。有了这些知识做铺垫，学生要理解离散型随机变量的均值还是不难的。教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例，引出了离散型随机变量的均值的定义，其中涉及到了“加权平均”，根据我的学生的知识水平，对于加权平均数理解存在问题，故在教学中应该加以注意。
4、设计思路：
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上借助学生已有的认知结构类比、猜想数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，培养创新意识，感悟数学思想。然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
三、教学过程设计
教 学环 节 教 师活 动 学 生活 动 设 计意 图
一、创设问题情 ，引出新知（3分钟） 问题1、某班一组有6个人，他们在某次数学考试中的成绩依次为，82，85，85，90，90，90。那么他们的平均成绩是多少？教师：该算式还可以写成（1）回忆一下，这种结构的算式以前见过没有？（2）能否利用统计知识重新解释一下上面算式的意义？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 1、学生： （1）必修3中利用样本的频率分布直方图估计总体的平均值就是这种结构。2、 从学生最熟悉的平均值入手，让学生更容易体会均值的意义与产生的价值。
二、概念的形成 1、分析：权数：即比重，如；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。2、提出问题3、如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1kg的糖果，其中各种糖果所占的比例应该约为各个权数；如果我们任取一颗糖，这时各个权数对于这颗糖而言含义是什么？问题4、用X表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，能写出它的分布列吗？教师：合理价格可以表示为=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)问题5：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：Xx1x2…xnPp1p2…pn该随机变量的平均取值应该怎样计算？3、概括：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望，记为：EX= x1p1+x2p2+…+xn pn。 它反映了Ｘ取值的平均水平。 3、学生：它是各个价位糖果的可能性，也就是说这颗糖是18元/kg的概率为3/6，为24元/kg的概率为2/6，为36元/kg的概率为1/6。4、X182436P学生：x1p1+x2p2+…+xn pn 从权数和加权平均引出均值的概念，既加强了知识之间的联系，又符合学生的认知水平通过具体实例让学生得到一般的概念，使学生体会由特殊到一般的数学思想，培养了他们思维能力。
三、应用与提高 例１：在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？教师：该随机变量X服从两点分布，对于任意一个满足两点分布的随机变量X来说，它的均值计算如下：X10Pp1-pEX=p例2：某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ678910P0.080.090.290.320.22求n次射击的平均环数。变题1：如果这次射击的环数与奖金挂钩，奖金变量η与射击环数ξ的关系如下：η=2ξ+1。问题（1）：奖金变量η的均值为多少？问题（2）：能不能根据Eξ ，直接求Ｅη？即已知两个离散型随机变量X、Y，Y=aX+b，能否用a、 b、EX表示EY？变题2：如果我们只关心他是否打中10环，因此设5次射击中打中10环的次数为变量X，则如何求X的均值？教师：运算量很大。该随机变量X的分布列有何特点？二项分布是我们很熟悉、很常见的分布，如果每次碰到这种分布都要进行计算量如此繁琐的步骤是我们最不愿看到的，能不能像两点分布那样总结出某种计算的规律呢？对于二项分布X～B(n, p)，EX = n p练习：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。解法2：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数，所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90， EY2=E(5X2)=5EX2=25。思考1：甲同学一定能得90分吗？思考2：那90代表什么呢？我们所计算出的均值（或数学期望）有什么意义呢？ 学生：根据已知我们可以得到该随机变量Ｘ的分布列：X01p0.30.7 因此EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7学生1：Eξ=6×0.08+7×0.09+8×0.29+9×0.32+10×0.22=8.12答：n次射击的平均环数为8.51。学生2： 由ξ的分布列和η和ξ的关系，可以将η的分布列写出，再求出Ｅη。学生探究：Y=aX+b，则：EY=aEX+b因此由η=2ξ+1，Eη=2Eξ+1=2×8.51+1=18.02学生3：解法1：每次射击时打中10环的概率均等为0.22，因此X的分布列如下：（略）可得EX=1.1学生分析推导，教师不时纠正。解法2：根据公式EX=5×0.22=1.1解法1：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数它们都满足二项分布： X1～B(20，0.9) X2～B(20，0.25)所以：EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5甲所得分数的均值为：18×5=90，乙所得分数的均值为： 5×5=25。分析：90是随机变量的均值，具体某次考试甲的成绩相当于我们取一个样本的平均值，因此随机变量的均值≠样本的均值。再例如刚上课时所举例的混合糖果问题：将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。 巩固新知，同时让学生体会反映随机变量取值平均水平的量是一个“常数”.通过例题分析和变式训练，既加深了对均值的理解，又很好的理解和掌握了本堂课几个重要的公式，培养了学生的探究意识和创新精神。
四、小结 1、离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；2、求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ的全部取值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 3、利用公式计算服从二点分布和二项分布的随机变量的均值（数学期望） 帮助学生深化对本节内容的理解，提升学生的认识水平，初步掌握两种求随机变量均值的方法.
五、作业 P64 2、3、4
四、教学反思
通过权数和加权平均引出离散型随机变量的均值是新教材的一个亮点，估计很多的教师不习惯这样引入。不管怎样引入，学生都能够很快的掌握具体均值的计算，但教材的设计能帮助学生更好的理解均值的意义，因此本教学设计中大体上没有改变教材的设计思路。而在例题教学中，把均值的计算公式和运算规律很好地融入实例的分析中，产生得自然，也提高了学生分析并解决问题的能力，不过二项分布均值公式的推导，是学生学习的难点，讲解时应放慢速度。
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离散型随机变量的均值
一、基本说明
1、教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修2－3》
2、年级：高二
3、所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4、所属的章节：第二章《随机变量及其分布》
2.3《随机变量的均值与方差》
5、学时数：45分钟
二、教学设计
1、教学目标：
知识与技能：了解加权平均的意义，理解离散型随机变量的均值（期望）的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值（期望）。
过程与方法：经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
情感、态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，在学生分析问题，解决问题的过程中培养其积极探索的精神，并感悟数学与生活的和谐之美 ，体现数学的文化功能与人文价值。
2、内容分析：
本节内容是离散型随机变量的均值（期望），是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行研究的，同时又为下一节要研究的离散型随机变量的方差奠定基础，在知识上起到了承前启后的作用.本节课学习过程中，注意要培养学生总结归纳两种求均值的方法：定义法和公式法（两点分布和二项分布），并会简单的应用，体会由特殊到一般的思想方法。
教学重点：
（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解及其计算；
（2）两点分布及二项分布的均值计算公式及其应用。
教学难点：
（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解；
（2）二项分布均值公式的证明。
3、学情分析：
学生在《数学必修3》，已熟知了一组数据的平均数的求法及意义，还会根据频率分布直方图估计样本数据的平均值。有了这些知识做铺垫，学生要理解离散型随机变量的均值还是不难的。教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例，引出了离散型随机变量的均值的定义，其中涉及到了“加权平均”，根据我的学生的知识水平，对于加权平均数理解存在问题，故在教学中应该加以注意。
4、设计思路：
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上借助学生已有的认知结构类比、猜想数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，培养创新意识，感悟数学思想。然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
三、教学过程设计
教 学环 节 教 师活 动 学 生活 动 设 计意 图
一、创设问题情 ，引出新知（3分钟） 问题1、某班一组有6个人，他们在某次数学考试中的成绩依次为，82，85，85，90，90，90。那么他们的平均成绩是多少？教师：该算式还可以写成（1）回忆一下，这种结构的算式以前见过没有？（2）能否利用统计知识重新解释一下上面算式的意义？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 1、学生： （1）必修3中利用样本的频率分布直方图估计总体的平均值就是这种结构。2、 从学生最熟悉的平均值入手，让学生更容易体会均值的意义与产生的价值。
二、概念的形成 1、分析：权数：即比重，如；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。2、提出问题3、如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1kg的糖果，其中各种糖果所占的比例应该约为各个权数；如果我们任取一颗糖，这时各个权数对于这颗糖而言含义是什么？问题4、用X表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，能写出它的分布列吗？教师：合理价格可以表示为=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)问题5：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：Xx1x2…xnPp1p2…pn该随机变量的平均取值应该怎样计算？3、概括：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望，记为：EX= x1p1+x2p2+…+xn pn。 它反映了Ｘ取值的平均水平。 3、学生：它是各个价位糖果的可能性，也就是说这颗糖是18元/kg的概率为3/6，为24元/kg的概率为2/6，为36元/kg的概率为1/6。4、X182436P学生：x1p1+x2p2+…+xn pn 从权数和加权平均引出均值的概念，既加强了知识之间的联系，又符合学生的认知水平通过具体实例让学生得到一般的概念，使学生体会由特殊到一般的数学思想，培养了他们思维能力。
三、应用与提高 例１：在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？教师：该随机变量X服从两点分布，对于任意一个满足两点分布的随机变量X来说，它的均值计算如下：X10Pp1-pEX=p例2：某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ678910P0.080.090.290.320.22求n次射击的平均环数。变题1：如果这次射击的环数与奖金挂钩，奖金变量η与射击环数ξ的关系如下：η=2ξ+1。问题（1）：奖金变量η的均值为多少？问题（2）：能不能根据Eξ ，直接求Ｅη？即已知两个离散型随机变量X、Y，Y=aX+b，能否用a、 b、EX表示EY？变题2：如果我们只关心他是否打中10环，因此设5次射击中打中10环的次数为变量X，则如何求X的均值？教师：运算量很大。该随机变量X的分布列有何特点？二项分布是我们很熟悉、很常见的分布，如果每次碰到这种分布都要进行计算量如此繁琐的步骤是我们最不愿看到的，能不能像两点分布那样总结出某种计算的规律呢？对于二项分布X～B(n, p)，EX = n p练习：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。解法2：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数，所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90， EY2=E(5X2)=5EX2=25。思考1：甲同学一定能得90分吗？思考2：那90代表什么呢？我们所计算出的均值（或数学期望）有什么意义呢？ 学生：根据已知我们可以得到该随机变量Ｘ的分布列：X01p0.30.7 因此EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7学生1：Eξ=6×0.08+7×0.09+8×0.29+9×0.32+10×0.22=8.12答：n次射击的平均环数为8.51。学生2： 由ξ的分布列和η和ξ的关系，可以将η的分布列写出，再求出Ｅη。学生探究：Y=aX+b，则：EY=aEX+b因此由η=2ξ+1，Eη=2Eξ+1=2×8.51+1=18.02学生3：解法1：每次射击时打中10环的概率均等为0.22，因此X的分布列如下：（略）可得EX=1.1学生分析推导，教师不时纠正。解法2：根据公式EX=5×0.22=1.1解法1：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数它们都满足二项分布： X1～B(20，0.9) X2～B(20，0.25)所以：EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5甲所得分数的均值为：18×5=90，乙所得分数的均值为： 5×5=25。分析：90是随机变量的均值，具体某次考试甲的成绩相当于我们取一个样本的平均值，因此随机变量的均值≠样本的均值。再例如刚上课时所举例的混合糖果问题：将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。 巩固新知，同时让学生体会反映随机变量取值平均水平的量是一个“常数”.通过例题分析和变式训练，既加深了对均值的理解，又很好的理解和掌握了本堂课几个重要的公式，培养了学生的探究意识和创新精神。
四、小结 1、离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；2、求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ的全部取值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 3、利用公式计算服从二点分布和二项分布的随机变量的均值（数学期望） 帮助学生深化对本节内容的理解，提升学生的认识水平，初步掌握两种求随机变量均值的方法.
五、作业 P64 2、3、4
四、教学反思
通过权数和加权平均引出离散型随机变量的均值是新教材的一个亮点，估计很多的教师不习惯这样引入。不管怎样引入，学生都能够很快的掌握具体均值的计算，但教材的设计能帮助学生更好的理解均值的意义，因此本教学设计中大体上没有改变教材的设计思路。而在例题教学中，把均值的计算公式和运算规律很好地融入实例的分析中，产生得自然，也提高了学生分析并解决问题的能力，不过二项分布均值公式的推导，是学生学习的难点，讲解时应放慢速度。
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