3.1.1方程的根与函数的零点
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文档简介
“方程的根与函数的零点”的说课稿
“方程的根与函数的零点”是《普通高中数学课程标准（实验）》中函数的应用的第一课时，它既承前着第二章的基本初等函数，又后启着方程的近似解，是一节举足轻重的课；同时加强函数与方程的联系，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的根等同起来；既而从代数与几何角度，来加深对数形结合思想的应用与认识；更能体验数学中转化的思想的意义和价值，以及从系统的角度去思考局部问题的思想，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。
本节的教学难点是：准确认识零点的概念，能利用适当的方法判断零点的存在和确定零点。
我对这节课的教学设计流程如下：
〔本章概况〕→〔问题探究〕→〔类比归纳〕→〔要点提炼〕→〔尝试练习〕→〔动手实践〕→〔归纳小结〕→〔作业回馈〕→〔教学反思〕
教学过程的内容设置：
〔本章概况〕 ： 这一章主要研究函数的应用，它包括了三节：方程的根函数的零点；用二分法求方程的近似解；函数模型及其应用。
简介中外历史上方程的问题，在古代，代数学科就是解方程的学问。由未知数和常数进有限次的加减、乘、除、乘方、开方等代数运算所组成的代数方程是最主要的方程。
代数方程包括有理方程和无理方程，与代数方程相对的是超越方程。一元一次方程、一元二次方程既是最简单的代数方程，是初中数学课程的主要内容。中外数学们联想到三次，四次方程的一般解问题，又投向五次或更高次的方程的一般解问题，以及超越方程的解的转化。 之所以做的目的，让学生们对本章有一个总的了解，又讲方程的历史过程中，有利用拓宽数学视野，有利于深化数学知识，有利于数学文化熏陶。
〔问题探究〕：1、解下列方程
①＝0
②
2、作下列函数的图象
①
②
3、观察1、2可得到什么？
⑴所解方程是相应函数的函数值为0
⑵所解出方程的根是相应函数的图象与X轴的交点的横坐标。
⑶方程与函数是可联系、可变通的。
〔类比归纳〕1.一元一次方程与相应的一次函数的关系。
2.一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？
3．小结：方程的根，就是使得相应函数的函数值为0时的自变量取值，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，三者有着内在的统一，但其外部表现形式又不同。扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色“命名”使得函数值为0时的自就量的值称其为函数的零点。
思考：函数的零点是个点吗？
〔要点提炼〕
函数的零点：对于函数，使实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与X轴交点的横坐标。
即：方程有实数根
函数的图象与X轴有交点
函数有零点
函数零点的求法：求函数的零点：
①代数法：求方程实数根
②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（这种方法后面补充）
〔尝试练习〕 1.求下列函数的零点 ① ②
2.求下列函数的零点，并指出 函数值在哪些区间上大于零， 哪些区间上小于零
① ②
上述研究了函数与其相应方程的关系，由于遇到更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合的解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间是否存在零点的问题。
〔动手实践〕：
给学生一条直线和一条细线，并记细线的两个端点为A和B，让学生动手，观察在什么情况下一定能够保证这条细线 和给定的直线有交点？
1、 发现：当占A和B在直线的两侧时一定能满足题意，而当点A和B位于直线的同侧时，可能有交点也可能没交点，故不一定有交点。
2、 变式：在刚才的情况下（A和B在直线的两侧时细线与给定的直线已经有交点了，能设计方案使得他们没有交点吗？
3、 方案：①将点A和B移到直线的同侧
②只要把细线剪断（说明图象必须是连续的）
4、 结论：
①零点存在性的判定：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c使得，这个c也就是方程的根。
②函数的图象在区间上的连续不断的前提下
若，则函数在区间上至少存在一个零点；
若，则函数在区间上也可能有零点
函数在区间上有零点不一定有
5、 练习：求函数的零点的个数。
问题：(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．
(2)函数f(x)有几个零点 为什么
（可以借助计算机或计算器解决．）
（3）判断方程 ㏑x+2x=6有几个实根 写出它的根所在的区间
6、补充求函数零点的几何法
〔归纳小结〕
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程根的存在性以及个数的判断
〔作业回馈〕
1．方程 的解所在的区间是
A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）
2、设函数
⑴利用计算机探求a=2和a=3时函数f（x）的零点个数
⑵当aR时，函数f（x）的零点是怎样分布的？
〔教学反思〕
这节课的设计，目的想培养学生的类比能力，归纳能力，能把学到的知识运用到实际问题中，逐渐培养学生的分析问题和解决问题的能力；体现知识的相互联系，相互变通，会把知识运用自如，得心应手。
“方程的根与函数的零点”是《普通高中数学课程标准（实验）》中函数的应用的第一课时，它既承前着第二章的基本初等函数，又后启着方程的近似解，是一节举足轻重的课；同时加强函数与方程的联系，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的根等同起来；既而从代数与几何角度，来加深对数形结合思想的应用与认识；更能体验数学中转化的思想的意义和价值，以及从系统的角度去思考局部问题的思想，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。
本节的教学难点是：准确认识零点的概念，能利用适当的方法判断零点的存在和确定零点。
我对这节课的教学设计流程如下：
〔本章概况〕→〔问题探究〕→〔类比归纳〕→〔要点提炼〕→〔尝试练习〕→〔动手实践〕→〔归纳小结〕→〔作业回馈〕→〔教学反思〕
教学过程的内容设置：
〔本章概况〕 ： 这一章主要研究函数的应用，它包括了三节：方程的根函数的零点；用二分法求方程的近似解；函数模型及其应用。
简介中外历史上方程的问题，在古代，代数学科就是解方程的学问。由未知数和常数进有限次的加减、乘、除、乘方、开方等代数运算所组成的代数方程是最主要的方程。
代数方程包括有理方程和无理方程，与代数方程相对的是超越方程。一元一次方程、一元二次方程既是最简单的代数方程，是初中数学课程的主要内容。中外数学们联想到三次，四次方程的一般解问题，又投向五次或更高次的方程的一般解问题，以及超越方程的解的转化。 之所以做的目的，让学生们对本章有一个总的了解，又讲方程的历史过程中，有利用拓宽数学视野，有利于深化数学知识，有利于数学文化熏陶。
〔问题探究〕：1、解下列方程
①＝0
②
2、作下列函数的图象
①
②
3、观察1、2可得到什么？
⑴所解方程是相应函数的函数值为0
⑵所解出方程的根是相应函数的图象与X轴的交点的横坐标。
⑶方程与函数是可联系、可变通的。
〔类比归纳〕1.一元一次方程与相应的一次函数的关系。
2.一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？
3．小结：方程的根，就是使得相应函数的函数值为0时的自变量取值，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，三者有着内在的统一，但其外部表现形式又不同。扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色“命名”使得函数值为0时的自就量的值称其为函数的零点。
思考：函数的零点是个点吗？
〔要点提炼〕
函数的零点：对于函数，使实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与X轴交点的横坐标。
即：方程有实数根
函数的图象与X轴有交点
函数有零点
函数零点的求法：求函数的零点：
①代数法：求方程实数根
②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（这种方法后面补充）
〔尝试练习〕 1.求下列函数的零点 ① ②
2.求下列函数的零点，并指出 函数值在哪些区间上大于零， 哪些区间上小于零
① ②
上述研究了函数与其相应方程的关系，由于遇到更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合的解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间是否存在零点的问题。
〔动手实践〕：
给学生一条直线和一条细线，并记细线的两个端点为A和B，让学生动手，观察在什么情况下一定能够保证这条细线 和给定的直线有交点？
1、 发现：当占A和B在直线的两侧时一定能满足题意，而当点A和B位于直线的同侧时，可能有交点也可能没交点，故不一定有交点。
2、 变式：在刚才的情况下（A和B在直线的两侧时细线与给定的直线已经有交点了，能设计方案使得他们没有交点吗？
3、 方案：①将点A和B移到直线的同侧
②只要把细线剪断（说明图象必须是连续的）
4、 结论：
①零点存在性的判定：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c使得，这个c也就是方程的根。
②函数的图象在区间上的连续不断的前提下
若，则函数在区间上至少存在一个零点；
若，则函数在区间上也可能有零点
函数在区间上有零点不一定有
5、 练习：求函数的零点的个数。
问题：(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．
(2)函数f(x)有几个零点 为什么
（可以借助计算机或计算器解决．）
（3）判断方程 ㏑x+2x=6有几个实根 写出它的根所在的区间
6、补充求函数零点的几何法
〔归纳小结〕
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程根的存在性以及个数的判断
〔作业回馈〕
1．方程 的解所在的区间是
A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）
2、设函数
⑴利用计算机探求a=2和a=3时函数f（x）的零点个数
⑵当aR时，函数f（x）的零点是怎样分布的？
〔教学反思〕
这节课的设计，目的想培养学生的类比能力，归纳能力，能把学到的知识运用到实际问题中，逐渐培养学生的分析问题和解决问题的能力；体现知识的相互联系，相互变通，会把知识运用自如，得心应手。