函数的单调性
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函数的单调性
教学目标
知识目标 理解增函数、减函数的概念；
能力目标 1.掌握判断和证明某些函数增、减性的方法；
2.培养学生观察、比较、分析的能力；
3.增强数形结合的意识与能力；
情感目标 熟悉从感性认识到理性认识，从具体到抽象的研究问题的方法。
教学重点 函数单调性的相关概念
教学难点 证明或判断函数的单调性
教法设想 为了解决难点，提高教学效果。教学过程中力争做到以下几点：
（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识
（2）注重运用对比的方法和及时利用反馈信息纠错与强化
（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明和帮助学生理解概念
（4）充分利用电脑与几何画板等辅助作用，增强教学效果。
教学用具 多媒体、实物投影仪、CAI课件、几何画板软件
教学过程
一.新课引入：
日常生活你知道2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日为什么会推迟到8月8日？
通过查阅历史资料可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
问题：观察图形，能得到什么信息？
(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．如水位高低、燃油价格、股票价格等．
用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
很多函数也具有类似性质。如：
y=3x+2 y=1/x (x>0)
图一 图二
图一从左往右看，函数的图象逐步上升，图二函数的图像逐步下降
二.新授课
1. 先由学生结合图象猜想函数的单调性的定义，然后纠错补充再让学生阅读课本相关内容
书上通过两个函数y=x3（图三） 、y=x2（图四）的图象（学生用电脑画出）
图三 图四
说明某些函数在定义域内的某些区间上的 y取值随着x的值增大而增大，进而抽象出增函数、减函数的定义（大屏幕显示）：增函数、减函数的定义
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2 )，那么就说函数 f ( x ) 在这个区间上是减函数。
让学生分析定义的特点：
（1） 自变量属于定义域
（2） 自变量x1、x2的任意性
（3） 都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )（4） 函数的单调性是函数在其某个区间上的局部性质
为了让学生更直观地看出增、减函数定义的内涵，用电脑演示动画。
用《几何画板》演示：在函数y=x2、y= x3的图象上，当x增大时，y的增、减情况。其中函数其中函数y= x3的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
从上述过程中概括出函数的单调性单调区间的概念：
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。这一区间叫做的单调区间。
学生阅读书上例1，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上例2、例3，然后与学生一起总结出解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形（因式分解、配方、有理化等方法）
（3） 定号
（4） 判断
分析各个步骤的含义，利用这个结论学生练习(用电脑给出)：
从上述过程中概括出单调性、单调区间的概念：
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间 。
2. 学生阅读课本，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
注意：我们生活中的很多实际问题的函数图象不象函数y=x2、y= x3的图象一样有规律地上升或下降，如我国的人口出生率变化曲线（如下图五，教材P.53），但是我们可以很方便地从图象观察函数在哪个区间是递增或递减，从而确定其单调区间。
图五
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上P59. 例2、例3，然后与学生一起总结出（大屏幕显示）：
（ⅰ）判断函数单调性的方法：
（1）用图象；（2）用定义；（3）其它（后面会学到）。
（ⅱ）证明函数单调性的方法：目前只能用定义，解题步骤如下
（1） 取值
（2） 作差变形（主要是配方或分解因式等）
（3） 定号
（4） 判断结论
分析各个步骤的含义，利用这个结论，学生练习（电脑给出）：
P60练习1、2题
3. 学生分组练习书上习题：
A组 P60.3
B组 P64.4(2)
C组 p65.6(1)
思考题（电脑给出）：判断函数f(x) =
在（－，０）（０，+）上的单调性。
(参考右图七）
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
图七
4. 单调性在生活中应用举例:
函数的单调性在生活中应用很广泛，如从前述图五的我国人口出生率曲线，我们可以直观的看到我国人口出生的变化情况；又如股票价格线性图（电脑给出图八：春兰股份线性图），使人对股票价格的涨落情况一目了然。
图八
三．小结：本节课重点要理解函数单调性及相关概念，掌握函数单调性的判断与证明方法与步骤；通过学习，增强数形结合的意识与能力，学会从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法。
四．作业：书Ｐ６４习题２.３中，第１、２、３、５题
五．板书设计：
单调性定义单调区间定义 1. 判断函数单调性的方法2. 证明函数单调性的解题步骤（１）（２）（３）（４） 例４的解题过程
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函数的单调性
教学目标
知识目标 理解增函数、减函数的概念；
能力目标 1.掌握判断和证明某些函数增、减性的方法；
2.培养学生观察、比较、分析的能力；
3.增强数形结合的意识与能力；
情感目标 熟悉从感性认识到理性认识，从具体到抽象的研究问题的方法。
教学重点 函数单调性的相关概念
教学难点 证明或判断函数的单调性
教法设想 为了解决难点，提高教学效果。教学过程中力争做到以下几点：
（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识
（2）注重运用对比的方法和及时利用反馈信息纠错与强化
（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明和帮助学生理解概念
（4）充分利用电脑与几何画板等辅助作用，增强教学效果。
教学用具 多媒体、实物投影仪、CAI课件、几何画板软件
教学过程
一.新课引入：
日常生活你知道2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日为什么会推迟到8月8日？
通过查阅历史资料可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
问题：观察图形，能得到什么信息？
(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．如水位高低、燃油价格、股票价格等．
用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
很多函数也具有类似性质。如：
y=3x+2 y=1/x (x>0)
图一 图二
图一从左往右看，函数的图象逐步上升，图二函数的图像逐步下降
二.新授课
1. 先由学生结合图象猜想函数的单调性的定义，然后纠错补充再让学生阅读课本相关内容
书上通过两个函数y=x3（图三） 、y=x2（图四）的图象（学生用电脑画出）
图三 图四
说明某些函数在定义域内的某些区间上的 y取值随着x的值增大而增大，进而抽象出增函数、减函数的定义（大屏幕显示）：增函数、减函数的定义
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
让学生分析定义的特点：
（1） 自变量属于定义域
（2） 自变量x1、x2的任意性
（3） 都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )
为了让学生更直观地看出增、减函数定义的内涵，用电脑演示动画。
用《几何画板》演示：在函数y=x2、y= x3的图象上，当x增大时，y的增、减情况。其中函数其中函数y= x3的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
从上述过程中概括出函数的单调性单调区间的概念：
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。这一区间叫做的单调区间。
学生阅读书上例1，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上例2、例3，然后与学生一起总结出解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形（因式分解、配方、有理化等方法）
（3） 定号
（4） 判断
分析各个步骤的含义，利用这个结论学生练习(用电脑给出)：
从上述过程中概括出单调性、单调区间的概念：
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间 。
2. 学生阅读课本，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
注意：我们生活中的很多实际问题的函数图象不象函数y=x2、y= x3的图象一样有规律地上升或下降，如我国的人口出生率变化曲线（如下图五，教材P.53），但是我们可以很方便地从图象观察函数在哪个区间是递增或递减，从而确定其单调区间。
图五
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上P59. 例2、例3，然后与学生一起总结出（大屏幕显示）：
（ⅰ）判断函数单调性的方法：
（1）用图象；（2）用定义；（3）其它（后面会学到）。
（ⅱ）证明函数单调性的方法：目前只能用定义，解题步骤如下
（1） 取值
（2） 作差变形（主要是配方或分解因式等）
（3） 定号
（4） 判断结论
分析各个步骤的含义，利用这个结论，学生练习（电脑给出）：
P60练习1、2题
3. 学生分组练习书上习题：
A组 P60.3
B组 P64.4(2)
C组 p65.6(1)
思考题（电脑给出）：判断函数f(x) =
在（－，０）（０，+）上的单调性。
(参考右图七）
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
图七
4. 单调性在生活中应用举例:
函数的单调性在生活中应用很广泛，如从前述图五的我国人口出生率曲线，我们可以直观的看到我国人口出生的变化情况；又如股票价格线性图（电脑给出图八：春兰股份线性图），使人对股票价格的涨落情况一目了然。
图八
三．小结：本节课重点要理解函数单调性及相关概念，掌握函数单调性的判断与证明方法与步骤；通过学习，增强数形结合的意识与能力，学会从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法。
四．作业：书Ｐ６４习题２.３中，第１、２、３、５题
五．板书设计：
单调性定义单调区间定义 1. 判断函数单调性的方法2. 证明函数单调性的解题步骤（１）（２）（３）（４） 例４的解题过程
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