等差数列的 前n项和
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等 差 数 列 的 前 n 项 和
一、基本说明
1教学内容所属模块：必修5
2年级：高二
3所用教材出版单位：人民教育出版社
4所属的章节：第二章第三节
5学时数：40分钟
二、教学设计
1、教学目标：等差数列前n项和，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课要推导的等差数列的前n项和的数学本质是寻求与n的一个函数关系式，如果这个关系式能够用解析式来表达，那么我们就完全把握了这个求和公式。依据新课标的教学要求，我结合学情分析，从知识与技能、过程与方法、和情感与价值三个方面设定目标。
（1）知识与技能目标：
(1)理解等差数列前n项和的概念意义与公式意义的区别与联系；
(2)掌握等差数列的前n项和公式的推导过程；
(3)会灵活运用等差数列的前n项和公式。
（2）过程与方法目标：
(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想；
(2)通过公式的运用体会方程的思想.；
(3)通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
（3）情感态度目标：
将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
2、内容分析：本节课是等差数列的前n项和的第一课时，对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列及通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
从知识点来说，掌握求和公式对学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中渗透倒序相加求和的思想方法，因此，依据新课标的教学要求和学生的实际情况，确定本节的重点和难点如下。
（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。
（2）难点： 等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
（3）重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
3、学情分析：
（1） 知识基础：高二年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识。
（2） 认知水平与能力：高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
（3）任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
4、设计思路：根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。
三、教学过程描述
教学环节 设 计意 图
创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：孙老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2010年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2010年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2029年12月最后一次还款为止，孙老师连本带利一共还款多少万元？ 现实模型： 图片欣赏② 生活实例 模 型直 观从实际生活引入新课。
议练活动5分钟认识公式4 分钟认识公式议练活动9 分钟课 堂总结2 分钟 首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？设等差数列{}前n项和为 ,则 问题1老师：利用高斯算法如何得等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？n为偶数时： n为奇数时：老师：那么该如何解决落单的呢？同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ 问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生代入等差数列的通项公式，换掉 整理得到公式2。例1：计算 （1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给(1)、(2)问一个直观的解释。变式练习：课前提出的房贷问题。解:由已知每月还款数成等差数列,设为：问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 n剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？ 解：设题中的等差数列是，前n项和为： 则＝－10，d＝－6－（－10）＝4 令＝54，由等差数列前n项和公式，得： 解得 ＝9，＝－3（舍去）因此,等差数列的前9项和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．2、课后作业：教材46页A组：1、2、3、4、5、6、 3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。” 学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于 。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。 当n为奇数时，中间的一项落单了。（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）学生：观察的脚标与 脚标的关系，即： 学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。 （由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。） 学生：利用倒序相加求和法。将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式的。 观察多媒体课件演示。学生：求总还款额实际就是对一个等差数列求和。 学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。．学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。 学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 了解我国古代研究等差数列求和的情况。 高斯求和众所周知，学生能快速解答。 这里用到了等差数列脚标和性质 从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项的解决的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数字的研究。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程。通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活利用数形结合思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
板书设计：
四、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本节课有如下四点反思：
（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本节课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。
（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。
（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。
（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
教 师 活 动
学 生 活 动
新课引入（2分钟）
探 索 公 式（18分钟）
探 索 公 式
§3.3 等差数列前n项和 和和
一、等差数列前n项和
二、公式的推导
方法1：
方法2：
方法3：
三、剖析公式：
公式1：
公式2：
(主板书)
四、例题及解答
(副板书)
议练活动
(辅助性板书)
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等 差 数 列 的 前 n 项 和
一、基本说明
1教学内容所属模块：必修5
2年级：高二
3所用教材出版单位：人民教育出版社
4所属的章节：第二章第三节
5学时数：40分钟
二、教学设计
1、教学目标：等差数列前n项和，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课要推导的等差数列的前n项和的数学本质是寻求与n的一个函数关系式，如果这个关系式能够用解析式来表达，那么我们就完全把握了这个求和公式。依据新课标的教学要求，我结合学情分析，从知识与技能、过程与方法、和情感与价值三个方面设定目标。
（1）知识与技能目标：
(1)理解等差数列前n项和的概念意义与公式意义的区别与联系；
(2)掌握等差数列的前n项和公式的推导过程；
(3)会灵活运用等差数列的前n项和公式。
（2）过程与方法目标：
(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想；
(2)通过公式的运用体会方程的思想.；
(3)通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
（3）情感态度目标：
将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
2、内容分析：本节课是等差数列的前n项和的第一课时，对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列及通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
从知识点来说，掌握求和公式对学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中渗透倒序相加求和的思想方法，因此，依据新课标的教学要求和学生的实际情况，确定本节的重点和难点如下。
（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。
（2）难点： 等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
（3）重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
3、学情分析：
（1） 知识基础：高二年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识。
（2） 认知水平与能力：高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
（3）任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
4、设计思路：根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。
三、教学过程描述
教学环节 设 计意 图
创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：孙老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2010年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2010年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2029年12月最后一次还款为止，孙老师连本带利一共还款多少万元？ 现实模型： 图片欣赏② 生活实例 模 型直 观从实际生活引入新课。
议练活动5分钟认识公式4 分钟认识公式议练活动9 分钟课 堂总结2 分钟 首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？设等差数列{}前n项和为 ,则 问题1老师：利用高斯算法如何得等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？n为偶数时： n为奇数时：老师：那么该如何解决落单的呢？同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ 问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生代入等差数列的通项公式，换掉 整理得到公式2。例1：计算 （1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给(1)、(2)问一个直观的解释。变式练习：课前提出的房贷问题。解:由已知每月还款数成等差数列,设为：问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 n剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？ 解：设题中的等差数列是，前n项和为： 则＝－10，d＝－6－（－10）＝4 令＝54，由等差数列前n项和公式，得： 解得 ＝9，＝－3（舍去）因此,等差数列的前9项和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．2、课后作业：教材46页A组：1、2、3、4、5、6、 3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。” 学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于 。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。 当n为奇数时，中间的一项落单了。（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）学生：观察的脚标与 脚标的关系，即： 学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。 （由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。） 学生：利用倒序相加求和法。将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式的。 观察多媒体课件演示。学生：求总还款额实际就是对一个等差数列求和。 学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。．学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。 学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 了解我国古代研究等差数列求和的情况。 高斯求和众所周知，学生能快速解答。 这里用到了等差数列脚标和性质 从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项的解决的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数字的研究。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程。通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活利用数形结合思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
板书设计：
四、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本节课有如下四点反思：
（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本节课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。
（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。
（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。
（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
教 师 活 动
学 生 活 动
新课引入（2分钟）
探 索 公 式（18分钟）
探 索 公 式
§3.3 等差数列前n项和 和和
一、等差数列前n项和
二、公式的推导
方法1：
方法2：
方法3：
三、剖析公式：
公式1：
公式2：
(主板书)
四、例题及解答
(副板书)
议练活动
(辅助性板书)
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