1.3.2函数的奇偶性
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1.3.2函数的奇偶性
一、基本说明
1教学内容所属模块：必修1
2年级：高一
3所用教材出版单位：人民教育出版社
4所属的章节：第一章第三节
5学时数：40分钟
二、教学设计
1、教学目标
（1）知识与技能目标：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
（2）过程与方法目标：通过设置问题情境培养学生判断、推理的能力。
（3）情感与价值目标：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操；通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
2、教学重点 难点
重点：函数奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
3、设计思路
本节课采用观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法，运用多媒体教学手段进行教学，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面体验和理解，对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对概念的理解。
三、教学过程描述
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习引入 提出问题：在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义 学生回答 为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备
概念形成 １．要求学生画出函数f(x)=与的图像并回答具有怎么样的对称性？2. 学生作完图后教师提问：观察大屏幕上的９个函数图像和我们画的两个函数的图像，分别具有怎么样的对称性？①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 1.学生作图后回答：f(x)=关于原点成中心对称图形；关于轴成轴对称图形。2.学生：①②③④⑤的图像关于原点成中心对称；⑥⑦⑧⑨的函数图像关于轴成轴对称图形。 １．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下步问题的提出做好准备，并通过问题的提出来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征。2.通过更多的例子让学生知道函数图像的对称性，即关于原点成中心对称，以及关于轴成轴对称，锻炼学生的观察能力。
概念形成 3．老师在黑板上画出函数f(x)=与的图象，并让学生分别求出时的函数值同时让学生在两个函数图象上标明对应的点。让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有特性：然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个都成立。4.启发学生得出奇函数和偶函数的定义：5.老师：根据定义，哪位同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？ 3.老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律。然后要求学生给出证明，学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性：4.教师引导学生归纳，称像这样的函数为奇函数，像这样的函数为偶函数，并请同学们根据奇函数和偶函数的初步认识来加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义。学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善，在并在黑板上板书奇函数和偶函数的定义。5.学生；等 3.通过特殊值让学生认识两个函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等这两种关系。4.通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识,此时再让学生给奇函数和偶函数下个定义应该是水到渠成.5.从实例引出定义，再通过实例深化对定义的理解。
概念深化 教师设计以下问题组织学生讨论思考回答:问题1：奇函数和偶函数的定义中有任意二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？问题２：结合函数f(x)=的图象回答以下问题：1.对于任意一个奇函数f(x)，图象上的点关于原点的对称点的坐标是什么？点是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论。2.如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？3.教师让学生自己研究偶函数图象的性质 1.理解定义中任意二字的含义。说明函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。它不同于函数的单调性。奇函数和偶函数的定义域的特征是关于原点对称。2.奇函数和偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。3.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 通过对两个问题的探讨，引导学生认识以下两点：（1）函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。它不同于函数的单调性。 （2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件。教师层层深入地提出问题，学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答问题，加深对定义的理解。由于学生对函数f(x)=与的图象的对称性已有所认识，在此基础上加以推广得到奇函数和偶函数的图象性质是比较容易的，经过由形到数的过程，可使学生加深对本节内容的理解。
应用举例应用举例 例1 判断下列函数的奇偶性：(1) (2) (3) (4) (5) （6）选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。例2 研究函数的性质并作出它的图象。3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固，在学生练习过程中，教师做好巡视指导 1．让几个学生板演例1的其他小题，其余学生在下面自己完成，并做好总结归纳。2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较那种方案简单练习:教材第36页练习1、2 通过例1解决如下问题：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称,第二步判断还是（2）通过例1中的第(3)题说明有的函数既不是奇函数也不是偶函数.（3）例1中的第(4)小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.（4）既是奇函数又是偶函数,可进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数,前提是定义域关于原点对称（5）总结:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函但不是偶函数,是偶函数不是奇函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数2..对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便,在此问题的处理上要先求一下函数的定义域,这是研究函数性质的基础,然后判断函数的奇偶性,再根据奇偶函数图象的对称性，只研究函数在轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质
归纳小结 让学生谈本节课的收获，并进行反思 从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结 关注学生的自主体验，反思和发表本节课的体验和收获
布置作业 层次一:教材第39页习题1.3A第6题层次二:教材第39页习题1.3B第3题层次三:补充题,判断下列函数的奇偶性:(1) (2) 课后完成 通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。
四、教学反思
函数的奇偶性是继学习函数的单调性这一局部性质后，学习函数的又一个重要整体性质。数学理论的发生都是在图形上先发现函数的特征，进而用精确的符号语言加以表述——这一认识发生的图式下完成的；函数图象的对称性是函数图象给人以审美体验的几何特征，同时对称性的价值或作用也体现了认识的简约特性——知道一半便能预知整体。这些都是数学本质的思想方法和态度。
数学的学习就是在于不断的认识数学对象的特征和关系，数学能力的形成就是发现数学对象的特征和关系的能力的形成。数学的创造就是发现前人没有发现的数学对象的特征和关系或从现实的事物中构建数学的对象和关系。认识数学对象的过程是在不断发现数学对象的特征和关系的过程，在不断归纳概括、恰当表征、形成图式的过程中深入本质。
基于上述认识，围绕学生的学情，从直观到抽象进行教学设计，同时关注知识形成的过程与方法，兼顾学生的情感态度价值观的培养。
学习本节内容，针对数学表达能力的培养，也考虑到注重知识的发生就容易忽略数学语言表达能力的训练，因此对函数奇偶性与图像对称性的等价性，以教师主导的方式进行，这起到提高学生数学学科素养的作用。
从认识过程是整体与局部细节的相互作用中不断深入，本教学设计没有针对概念的辨析对奇（偶）函数的定义及中的的任意性进行挖掘，目的是给学生课后的反思留有余地，使学生有体验发现的机会，感受认识深入的标志是概念形成的认识和完善，体验基本理论价值和作用。对判定奇偶性和证明图像对称性中使用任意一个x和图像上任意一个点的必要性，希望学生能在课后反思中自己领悟。虽然学生可以类比前面单调性的学习中对、的任意性已给予了充分的探究，但仍可能发生个别学生没有意识到或产生疑惑，教师是本着以此来检查学生是否勤于思考而设计的，以往的教学不断的强化了我这样一种认识，那就是留有余地，让学生的认知在释疑解惑中前行，相对轻易被提醒或引导发现后得到更具有成长的体验，这犹如考古发现，缺失更能激发探求的精神。
另外在内容的安排上表达的内容多了一点，容量偏大，不排除学生解决不了，学生的思维毕竟有差异，消化的时间与学生的能力有关。在课后作业中对前面提到希望学生反思的内容是否明确值得再研究。
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1.3.2函数的奇偶性
一、基本说明
1教学内容所属模块：必修1
2年级：高一
3所用教材出版单位：人民教育出版社
4所属的章节：第一章第三节
5学时数：40分钟
二、教学设计
1、教学目标
（1）知识与技能目标：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
（2）过程与方法目标：通过设置问题情境培养学生判断、推理的能力。
（3）情感与价值目标：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操；通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
2、教学重点 难点
重点：函数奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
3、设计思路
本节课采用观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法，运用多媒体教学手段进行教学，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面体验和理解，对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对概念的理解。
三、教学过程描述
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习引入 提出问题：在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义 学生回答 为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备
概念形成 １．要求学生画出函数f(x)=与的图像并回答具有怎么样的对称性？2. 学生作完图后教师提问：观察大屏幕上的９个函数图像和我们画的两个函数的图像，分别具有怎么样的对称性？①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 1.学生作图后回答：f(x)=关于原点成中心对称图形；关于轴成轴对称图形。2.学生：①②③④⑤的图像关于原点成中心对称；⑥⑦⑧⑨的函数图像关于轴成轴对称图形。 １．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下步问题的提出做好准备，并通过问题的提出来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征。2.通过更多的例子让学生知道函数图像的对称性，即关于原点成中心对称，以及关于轴成轴对称，锻炼学生的观察能力。
概念形成 3．老师在黑板上画出函数f(x)=与的图象，并让学生分别求出时的函数值同时让学生在两个函数图象上标明对应的点。让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有特性：然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个都成立。4.启发学生得出奇函数和偶函数的定义：5.老师：根据定义，哪位同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？ 3.老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律。然后要求学生给出证明，学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性：4.教师引导学生归纳，称像这样的函数为奇函数，像这样的函数为偶函数，并请同学们根据奇函数和偶函数的初步认识来加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义。学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善，在并在黑板上板书奇函数和偶函数的定义。5.学生；等 3.通过特殊值让学生认识两个函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等这两种关系。4.通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识,此时再让学生给奇函数和偶函数下个定义应该是水到渠成.5.从实例引出定义，再通过实例深化对定义的理解。
概念深化 教师设计以下问题组织学生讨论思考回答:问题1：奇函数和偶函数的定义中有任意二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？问题２：结合函数f(x)=的图象回答以下问题：1.对于任意一个奇函数f(x)，图象上的点关于原点的对称点的坐标是什么？点是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论。2.如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？3.教师让学生自己研究偶函数图象的性质 1.理解定义中任意二字的含义。说明函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。它不同于函数的单调性。奇函数和偶函数的定义域的特征是关于原点对称。2.奇函数和偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。3.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 通过对两个问题的探讨，引导学生认识以下两点：（1）函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。它不同于函数的单调性。 （2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件。教师层层深入地提出问题，学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答问题，加深对定义的理解。由于学生对函数f(x)=与的图象的对称性已有所认识，在此基础上加以推广得到奇函数和偶函数的图象性质是比较容易的，经过由形到数的过程，可使学生加深对本节内容的理解。
应用举例应用举例 例1 判断下列函数的奇偶性：(1) (2) (3) (4) (5) （6）选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。例2 研究函数的性质并作出它的图象。3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固，在学生练习过程中，教师做好巡视指导 1．让几个学生板演例1的其他小题，其余学生在下面自己完成，并做好总结归纳。2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较那种方案简单练习:教材第36页练习1、2 通过例1解决如下问题：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称,第二步判断还是（2）通过例1中的第(3)题说明有的函数既不是奇函数也不是偶函数.（3）例1中的第(4)小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.（4）既是奇函数又是偶函数,可进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数,前提是定义域关于原点对称（5）总结:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函但不是偶函数,是偶函数不是奇函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数2..对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便,在此问题的处理上要先求一下函数的定义域,这是研究函数性质的基础,然后判断函数的奇偶性,再根据奇偶函数图象的对称性，只研究函数在轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质
归纳小结 让学生谈本节课的收获，并进行反思 从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结 关注学生的自主体验，反思和发表本节课的体验和收获
布置作业 层次一:教材第39页习题1.3A第6题层次二:教材第39页习题1.3B第3题层次三:补充题,判断下列函数的奇偶性:(1) (2) 课后完成 通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。
四、教学反思
函数的奇偶性是继学习函数的单调性这一局部性质后，学习函数的又一个重要整体性质。数学理论的发生都是在图形上先发现函数的特征，进而用精确的符号语言加以表述——这一认识发生的图式下完成的；函数图象的对称性是函数图象给人以审美体验的几何特征，同时对称性的价值或作用也体现了认识的简约特性——知道一半便能预知整体。这些都是数学本质的思想方法和态度。
数学的学习就是在于不断的认识数学对象的特征和关系，数学能力的形成就是发现数学对象的特征和关系的能力的形成。数学的创造就是发现前人没有发现的数学对象的特征和关系或从现实的事物中构建数学的对象和关系。认识数学对象的过程是在不断发现数学对象的特征和关系的过程，在不断归纳概括、恰当表征、形成图式的过程中深入本质。
基于上述认识，围绕学生的学情，从直观到抽象进行教学设计，同时关注知识形成的过程与方法，兼顾学生的情感态度价值观的培养。
学习本节内容，针对数学表达能力的培养，也考虑到注重知识的发生就容易忽略数学语言表达能力的训练，因此对函数奇偶性与图像对称性的等价性，以教师主导的方式进行，这起到提高学生数学学科素养的作用。
从认识过程是整体与局部细节的相互作用中不断深入，本教学设计没有针对概念的辨析对奇（偶）函数的定义及中的的任意性进行挖掘，目的是给学生课后的反思留有余地，使学生有体验发现的机会，感受认识深入的标志是概念形成的认识和完善，体验基本理论价值和作用。对判定奇偶性和证明图像对称性中使用任意一个x和图像上任意一个点的必要性，希望学生能在课后反思中自己领悟。虽然学生可以类比前面单调性的学习中对、的任意性已给予了充分的探究，但仍可能发生个别学生没有意识到或产生疑惑，教师是本着以此来检查学生是否勤于思考而设计的，以往的教学不断的强化了我这样一种认识，那就是留有余地，让学生的认知在释疑解惑中前行，相对轻易被提醒或引导发现后得到更具有成长的体验，这犹如考古发现，缺失更能激发探求的精神。
另外在内容的安排上表达的内容多了一点，容量偏大，不排除学生解决不了，学生的思维毕竟有差异，消化的时间与学生的能力有关。在课后作业中对前面提到希望学生反思的内容是否明确值得再研究。
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