导数在研究函数中的应用
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导数在研究函数中的应用（二）
一、基本说明
1教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修2-2》
2年级：高二
3所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4所属的章节：第一章《导数及其应用》1.3《导数在研究函数中的应用》
5学时数：45分钟
二、教学设计
1、教学目标：
知识与技能目标：
（1）理解函数的单调性与导数、函数的极值与导数、函数的最值与导数的关系；
（2）能够运用函数的导数求函数的单调性、极值、最值。
过程与方法目标：
（1）通过学生独立思考、相互交流探究出导数在研究函数中的应用，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；
（2）在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力。
情感态度与价值观目标：
（1）通过学生主动探究、合作学习，感受探究的乐趣和成功的喜悦，增强学生的求知欲和信心；
（2）培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，让学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
2、内容分析：
函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此《导数在研究函数中的应用》的复习非常重要。我认为本堂课的教学重点、难点如下：
教学重点：
掌握运用函数的导数求函数的单调性、极值、最值。
教学难点：
灵活地运用函数的导数求与函数的单调性、极值、最值相关的问题。
3、学情分析：
学生通过对《选修2-2》第一章《导数及其应用》1.3《导数在研究函数中的应用》的学习，对函数的单调性与导数、函数的极值与导数、函数的最值与导数的关系有了较深刻的了解；学生经过两年多的数学学习，已经具备了一定的观察、归纳、类比、概括、运算能力。这些为这节课的学习打下了良好的基础。
4、设计思路：
本堂课以“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”为指导思想，运用探究式教学与启发式教学的教学方法。教学中，以学生为主体，以一个基本问题为载体，唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾；然后通过对基本问题的3个方面进行变式设计，让学生在新的问题情景中进行探究、归纳、总结，让学生在问题的解决过程中获得新知；随着变式问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验数到学问题的紧密联系，从而进一步完善数学认知结构、提高数学思维能力、培养创新意识。
三、教学过程设计
教 学环 节 教 师活 动 学 生活 动 设 计意 图
一、呈现基本问题，创设情景 （3分钟）教 学环 节 1、提出问题1：已知函数，利用导数研究下列问题;（1）求的单调区间；（2）求的极值；（3）求在上的最大值与最小值。2、巡视学生解题情况，并适当引导。3、针对学生黑板上的板书，进行订正。教 师活 动 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题2、其他学生补充学 生活 动 在解决问题时唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾；让学生体验成功的喜悦。 设 计意 图
二、基础知识回顾 （3分钟） 1、提出问题：问题1说明了利用函数的导数可以研究函数的哪些性质？如何研究2、补充并强调关键点。 1、学生回答 加深对基础知识、基本方法的理解、记忆。
三、变式练习 （24分钟） 1、（1）提出问题：变式1（针对问题1（1）单调性的变式）已知函数在上为减函数，求实数的取值范围。（2）鼓励、引导学生大胆地寻找解决问题的方法。 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题。2、订正，完善。3、由变式1归纳出已知含参数的函数的单调区间求参数的范围的解题方法。 培养学生逆向思维能力；培养学生观察、归纳、概括能力；让学生进一步理解函数的导数与单调性的关系。
2、（1）提出问题：变式2（针对问题1（2）极值的变式）已知函数在处有极小值，求的值。（2）补充、完善知识方法，强调易错点。 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题。2、订正，完善。3、由变式2概括出已知含参数的函数的极值点求参数的问题的解题方法。 培养学生逆向思维能力；培养学生观察、归纳、概括能力；让学生进一步理解函数的导数与极值的关系。
3、(1)提出问题：变式3（针对问题1（3）最值的变式）设函数，是否存在实数，对任意不等式恒成立，若存在，求出的值或取值范围。(2)、板书解题过程，并适当总结此题。 1、学生思考后，一位学生口答解题思路和过程。 培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生不怕困难的精神，让学体会转化的思想。
四、编题大挑战（10分钟）教 学环 节 1、提出问题：同学们能不能改变问题1的条件或结论，类比老师的3道变式题，编一道题目呢？教 师活 动 学生编题，解答所编题学 生活 动 激发学生的创造潜能，加强对所学知识的理解、应用，激发学生学习 兴趣。设 计意 图
五、归纳小结（5分钟） 1、提出问题：通过这节课的学习，你对哪些知识和方法有了更深刻的认识？ 归纳、总结 培养学生归纳、总结、概括的能力；加深学生对所学知识、方法的整理和记忆；逐步培养学生良好的学习习惯，形成良好的学习个性品质。
六、作业 展示作业：1、（08全国19）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间函数内是减函数，求的取值范围。2、（08四川22）已知是函数的一个极值点（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 巩固学生所学知识和方法，了解导数在研究函数中的应用在近几年高考数学中的命题情况。
四、教学总结与反思
这堂课先后在3个不同的高三理科选修班授出，学生们都能积极地参与，教学效果较好。学生通过这堂课的学习，对平时容易出现的错误都有了较深刻的认识，如“是非常数函数，且为可导函数，在区间上单调递减在区间上恒成立”，“已知含参数的函数的极大值点或极小值点求参数时，利用导数等于0得到关于参数的方程，然后解出方程，但是没有检验”。
这堂课在进入第四个环节“编题大挑战”时，从学生的表情上观察到学生都很想编出一道题，但是3个班中只有1个班中的2个同学编了两道题，我认为难以达到“激发学生的创造潜能，激发学生的学习兴趣”的设计意图。我觉得有如下几个原因：一、临近下课，时间仓促；二、平时缺乏这方面的教学活动，学生信心不足；三、学生对所学的知识掌握不够深刻。
附：学生学习过程成果
学生在编题大挑战中所编的题：
1、已知函数在上为减函数，求实数的取值范围。
2、已知函数，是否存在实数，对任意不等式恒成立，若存在，求出的值或取值范围
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导数在研究函数中的应用（二）
一、基本说明
1教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修2-2》
2年级：高二
3所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)
4所属的章节：第一章《导数及其应用》1.3《导数在研究函数中的应用》
5学时数：45分钟
二、教学设计
1、教学目标：
知识与技能目标：
（1）理解函数的单调性与导数、函数的极值与导数、函数的最值与导数的关系；
（2）能够运用函数的导数求函数的单调性、极值、最值。
过程与方法目标：
（1）通过学生独立思考、相互交流探究出导数在研究函数中的应用，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；
（2）在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力。
情感态度与价值观目标：
（1）通过学生主动探究、合作学习，感受探究的乐趣和成功的喜悦，增强学生的求知欲和信心；
（2）培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，让学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
2、内容分析：
函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此《导数在研究函数中的应用》的复习非常重要。我认为本堂课的教学重点、难点如下：
教学重点：
掌握运用函数的导数求函数的单调性、极值、最值。
教学难点：
灵活地运用函数的导数求与函数的单调性、极值、最值相关的问题。
3、学情分析：
学生通过对《选修2-2》第一章《导数及其应用》1.3《导数在研究函数中的应用》的学习，对函数的单调性与导数、函数的极值与导数、函数的最值与导数的关系有了较深刻的了解；学生经过两年多的数学学习，已经具备了一定的观察、归纳、类比、概括、运算能力。这些为这节课的学习打下了良好的基础。
4、设计思路：
本堂课以“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”为指导思想，运用探究式教学与启发式教学的教学方法。教学中，以学生为主体，以一个基本问题为载体，唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾；然后通过对基本问题的3个方面进行变式设计，让学生在新的问题情景中进行探究、归纳、总结，让学生在问题的解决过程中获得新知；随着变式问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验数到学问题的紧密联系，从而进一步完善数学认知结构、提高数学思维能力、培养创新意识。
三、教学过程设计
教 学环 节 教 师活 动 学 生活 动 设 计意 图
一、呈现基本问题，创设情景 （3分钟）教 学环 节 1、提出问题1：已知函数，利用导数研究下列问题;（1）求的单调区间；（2）求的极值；（3）求在上的最大值与最小值。2、巡视学生解题情况，并适当引导。3、针对学生黑板上的板书，进行订正。教 师活 动 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题2、其他学生补充学 生活 动 在解决问题时唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾；让学生体验成功的喜悦。 设 计意 图
二、基础知识回顾 （3分钟） 1、提出问题：问题1说明了利用函数的导数可以研究函数的哪些性质？如何研究2、补充并强调关键点。 1、学生回答 加深对基础知识、基本方法的理解、记忆。
三、变式练习 （24分钟） 1、（1）提出问题：变式1（针对问题1（1）单调性的变式）已知函数在上为减函数，求实数的取值范围。（2）鼓励、引导学生大胆地寻找解决问题的方法。 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题。2、订正，完善。3、由变式1归纳出已知含参数的函数的单调区间求参数的范围的解题方法。 培养学生逆向思维能力；培养学生观察、归纳、概括能力；让学生进一步理解函数的导数与单调性的关系。
2、（1）提出问题：变式2（针对问题1（2）极值的变式）已知函数在处有极小值，求的值。（2）补充、完善知识方法，强调易错点。 1、一位学生上台板演，其他学生在练习本上解题。2、订正，完善。3、由变式2概括出已知含参数的函数的极值点求参数的问题的解题方法。 培养学生逆向思维能力；培养学生观察、归纳、概括能力；让学生进一步理解函数的导数与极值的关系。
3、(1)提出问题：变式3（针对问题1（3）最值的变式）设函数，是否存在实数，对任意不等式恒成立，若存在，求出的值或取值范围。(2)、板书解题过程，并适当总结此题。 1、学生思考后，一位学生口答解题思路和过程。 培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生不怕困难的精神，让学体会转化的思想。
四、编题大挑战（10分钟）教 学环 节 1、提出问题：同学们能不能改变问题1的条件或结论，类比老师的3道变式题，编一道题目呢？教 师活 动 学生编题，解答所编题学 生活 动 激发学生的创造潜能，加强对所学知识的理解、应用，激发学生学习 兴趣。设 计意 图
五、归纳小结（5分钟） 1、提出问题：通过这节课的学习，你对哪些知识和方法有了更深刻的认识？ 归纳、总结 培养学生归纳、总结、概括的能力；加深学生对所学知识、方法的整理和记忆；逐步培养学生良好的学习习惯，形成良好的学习个性品质。
六、作业 展示作业：1、（08全国19）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间函数内是减函数，求的取值范围。2、（08四川22）已知是函数的一个极值点（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 巩固学生所学知识和方法，了解导数在研究函数中的应用在近几年高考数学中的命题情况。
四、教学总结与反思
这堂课先后在3个不同的高三理科选修班授出，学生们都能积极地参与，教学效果较好。学生通过这堂课的学习，对平时容易出现的错误都有了较深刻的认识，如“是非常数函数，且为可导函数，在区间上单调递减在区间上恒成立”，“已知含参数的函数的极大值点或极小值点求参数时，利用导数等于0得到关于参数的方程，然后解出方程，但是没有检验”。
这堂课在进入第四个环节“编题大挑战”时，从学生的表情上观察到学生都很想编出一道题，但是3个班中只有1个班中的2个同学编了两道题，我认为难以达到“激发学生的创造潜能，激发学生的学习兴趣”的设计意图。我觉得有如下几个原因：一、临近下课，时间仓促；二、平时缺乏这方面的教学活动，学生信心不足；三、学生对所学的知识掌握不够深刻。
附：学生学习过程成果
学生在编题大挑战中所编的题：
1、已知函数在上为减函数，求实数的取值范围。
2、已知函数，是否存在实数，对任意不等式恒成立，若存在，求出的值或取值范围
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