等差数列的前n项和
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《等 差 数 列 前 n 项 和》教案
湖南省 衡南县第五中学 王海艳
【教材与学情分析】
《等差数列的前n项和》位于人教A版必修5，本节课的主要内容是等差数列的前n项和公式的推导及公式的应用。
本节等差数列的前n项和公式的推导，从高斯算法到倒序相加，从特殊到一般，其学习平台是学生已掌握了等差数列的基本性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则。本节公式的推导也为以后求非特殊数列的前n项和奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
【教学目标】
一、知识与技能
1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。
2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。
二、过程与方法
1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。
2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。
三、情感态度与价值观
1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。
【教学重点、难点】
重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。
【教学媒体】 使用多媒体教学
【教学过程】
教学环节 活 动说 明
创设情境：1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即: 1+2+3+······+100=？少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？2、假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。有什么启发？想一想：1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？ 2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？ 首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101， · · · · · ·第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，所求的和是： 101×50＝5050。1+2+3+…+100=101×50= 50501 + 2 + 3 + …+98+99 +100100+ 99 + 98 + …+ 3 + 2 + 11+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050首尾配对倒序相加 讲述学生熟悉的印度泰姬陵，并提出高斯算法，引发学习好奇心和研究兴趣．
探究1：求1到n的正整数之和 即：sn =1＋2＋3＋……＋n方法1：高斯算法（首尾配对）教师：从1到n首尾可以配成几对呢？教师：配对时要分项数是奇数和偶数讨论.方法2：倒序相加教师：请同学们比较一下这两种方法，并说出其巧妙之处。探究2：对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和呢？ 即： =a1+a2+a3+……+an教师：同学们，你们能用上面的方法解决这个问题吗？3、等差数列求和公式：（）4、认识公式：（1）用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式.（2）公式特点： （1）相同点：都需知道a1与n（2）不同点： 第一个还需知道，第二个还需知道d. 学生：方法1：高斯算法（首尾配对）当n为偶数时，可配成对，此时sn =(n+1) ;当n为奇数时，不能完全配对，首尾配成，对还单中间一项，此时sn =(n+1)+=(n+1)方法2：倒序相加方法1：利用定义可得：两式相加可得： 即方法2： ∴（1）+（2）可得：2∴ 两种方法进行对比让学生理解得更加透彻，体会到不同方法的优越性。数形结合有利于公式的记忆。分析公式的特点，使学生能明确的进行公式的应用。
5、公式应用：例1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn（1）a１=5,an=95,n=10（2）a1=100，d=－2，n=50（3）a1=14.5，d=0.7，an=32分析：（1）已知a１,an和n，直接用公式求解（2）已知，d和n直接用公式求解（3）不管用哪个公式求和都得求出n，先用通项公式求出n，是本题的关键。例2：等差数列中, d=4,求的值。归纳：在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素，如果已知其中（三个） ，联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）例3：（提高题）（1）已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12 （2）已知一等差数列中a5=10，求s9（3）已知一等差数列中a3+a6+a9=－6，求s11教师：在没有和d的情况下，怎么来求等差数列的和呢？归纳：1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于 首末两项的和 2、等差数列有奇数项，那么前n项和等于 中间项乘以项数 公式的变式： 例1、解：（1）；（2）（3）由得32=14.5+(n-1)0.7n=26例2、解:由得：解得： 或 例3、（教师引导学生共同完成：） 例题1是公式的直接简单的应用，可由学生自主完成，然后由教师点拨、升华。由例题1、2共同归纳出五个元素中“知三求二”例题3是提高题，直接利用公式无法解决的问题，但是只要把公式利用等差数列的性质变形就可以迎刃而解了，从而提高学生的思维能力。
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．布置作业：1、预习新课2、书面作业：课本 46页，习题 2.3 A组 第2、3题（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法．） 学生归纳总结本课主要学习了以下内容：（1）等差数列求和公式的推导过程中的数学方法：倒序相加法；（2）等差数列的求和公式：（3）在等差数列的求和公式、通项公式中可“知三求二”；（4）等差数列求和公式的变式：
【板书设计】
课题：等差数列前n项的和
1、等差数列求和公式的推导：方法1：方法2： 2、典型例题：例1；例2；例3；3、课堂练习4、课堂小结5、课后作业
【教学反思】
以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。
在探究过程中，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。
也加深了倒序法的感性认识。公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。
在例题的选取中，从例1到例3体现了一定的梯度，例1、例2是基本运用，例3是公式的灵活运用，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的，能很好地让学生的能力得到逐步提升。
整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。
教 师 活 动
学 生 活 动
新 课 引 入
探 索 思 考
探 索 思 考
知 识 运 用
知 识 运 用
课 堂 小 结
等差数列前n项和公式
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《等 差 数 列 前 n 项 和》教案
湖南省 衡南县第五中学 王海艳
【教材与学情分析】
《等差数列的前n项和》位于人教A版必修5，本节课的主要内容是等差数列的前n项和公式的推导及公式的应用。
本节等差数列的前n项和公式的推导，从高斯算法到倒序相加，从特殊到一般，其学习平台是学生已掌握了等差数列的基本性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则。本节公式的推导也为以后求非特殊数列的前n项和奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
【教学目标】
一、知识与技能
1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。
2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。
二、过程与方法
1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。
2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。
三、情感态度与价值观
1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。
【教学重点、难点】
重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。
【教学媒体】 使用多媒体教学
【教学过程】
教学环节 活 动说 明
创设情境：1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即: 1+2+3+······+100=？少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？2、假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。有什么启发？想一想：1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？ 2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？ 首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101， · · · · · ·第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，所求的和是： 101×50＝5050。1+2+3+…+100=101×50= 50501 + 2 + 3 + …+98+99 +100100+ 99 + 98 + …+ 3 + 2 + 11+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050首尾配对倒序相加 讲述学生熟悉的印度泰姬陵，并提出高斯算法，引发学习好奇心和研究兴趣．
探究1：求1到n的正整数之和 即：sn =1＋2＋3＋……＋n方法1：高斯算法（首尾配对）教师：从1到n首尾可以配成几对呢？教师：配对时要分项数是奇数和偶数讨论.方法2：倒序相加教师：请同学们比较一下这两种方法，并说出其巧妙之处。探究2：对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和呢？ 即： =a1+a2+a3+……+an教师：同学们，你们能用上面的方法解决这个问题吗？3、等差数列求和公式：（）4、认识公式：（1）用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式.（2）公式特点： （1）相同点：都需知道a1与n（2）不同点： 第一个还需知道，第二个还需知道d. 学生：方法1：高斯算法（首尾配对）当n为偶数时，可配成对，此时sn =(n+1) ;当n为奇数时，不能完全配对，首尾配成，对还单中间一项，此时sn =(n+1)+=(n+1)方法2：倒序相加方法1：利用定义可得：两式相加可得： 即方法2： ∴（1）+（2）可得：2∴ 两种方法进行对比让学生理解得更加透彻，体会到不同方法的优越性。数形结合有利于公式的记忆。分析公式的特点，使学生能明确的进行公式的应用。
5、公式应用：例1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn（1）a１=5,an=95,n=10（2）a1=100，d=－2，n=50（3）a1=14.5，d=0.7，an=32分析：（1）已知a１,an和n，直接用公式求解（2）已知，d和n直接用公式求解（3）不管用哪个公式求和都得求出n，先用通项公式求出n，是本题的关键。例2：等差数列中, d=4,求的值。归纳：在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素，如果已知其中（三个） ，联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）例3：（提高题）（1）已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12 （2）已知一等差数列中a5=10，求s9（3）已知一等差数列中a3+a6+a9=－6，求s11教师：在没有和d的情况下，怎么来求等差数列的和呢？归纳：1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于 首末两项的和 2、等差数列有奇数项，那么前n项和等于 中间项乘以项数 公式的变式： 例1、解：（1）；（2）（3）由得32=14.5+(n-1)0.7n=26例2、解:由得：解得： 或 例3、（教师引导学生共同完成：） 例题1是公式的直接简单的应用，可由学生自主完成，然后由教师点拨、升华。由例题1、2共同归纳出五个元素中“知三求二”例题3是提高题，直接利用公式无法解决的问题，但是只要把公式利用等差数列的性质变形就可以迎刃而解了，从而提高学生的思维能力。
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．布置作业：1、预习新课2、书面作业：课本 46页，习题 2.3 A组 第2、3题（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法．） 学生归纳总结本课主要学习了以下内容：（1）等差数列求和公式的推导过程中的数学方法：倒序相加法；（2）等差数列的求和公式：（3）在等差数列的求和公式、通项公式中可“知三求二”；（4）等差数列求和公式的变式：
【板书设计】
课题：等差数列前n项的和
1、等差数列求和公式的推导：方法1：方法2： 2、典型例题：例1；例2；例3；3、课堂练习4、课堂小结5、课后作业
【教学反思】
以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。
在探究过程中，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。
也加深了倒序法的感性认识。公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。
在例题的选取中，从例1到例3体现了一定的梯度，例1、例2是基本运用，例3是公式的灵活运用，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的，能很好地让学生的能力得到逐步提升。
整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。
教 师 活 动
学 生 活 动
新 课 引 入
探 索 思 考
探 索 思 考
知 识 运 用
知 识 运 用
课 堂 小 结
等差数列前n项和公式
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