贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：对数形式的复合函数

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课 题：2.8.3 对数形式的复合函数
教学目的：
1．掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法；
2．渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：函数单调性证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：假设—作差—变形—判断
2．对数函数的性质：
a>1 0图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时 时 时 时
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
二、新授内容：
例1 ⑴证明函数在上是增函数
⑵函数在上是减函数还是增函数？
⑴证明：设，且
则
又在上是增函数
∴ 即
∴函数在上是增函数
⑵解：是减函数，证明如下：
设，且
则
又在上是增函数
∴ 即
∴函数在上是减函数
小结：复合函数的单调性
的单调相同，为增函数，否则为减函数
例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是 设 则
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"=
∵ ∴
∴> 又底数
∴ 即
∴在上是减函数
同理可证：在上是增函数
三、练习：
1.求y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -2x)的单调递减区间
解：先求定义域：由HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -2x＞0,得x(x-2)＞0
∴x＜0或x＞2
∵函数y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 t是减函数
故所求单调减区间即t=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -2x在定义域内的增区间
又t=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -2x的对称轴为x=1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -4x＞0得x(x-4)＞0
∴x＜0或x＞4
又函数y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 t是增函数
故所求单调递增区间为t=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -4x在定义域内的单调递增区间
∵t=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -4x的对称轴为x=2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3.已知y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 )在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0是减函数
由y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 )在［0，1］上x的减函数，知y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 t是增函数，
∴a＞1
由xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ［0，1］时，2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当00是增函数
由y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 )在［0，1］上x的减函数，知y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 t是减函数，
∴0由xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ［0，1］时，2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 2-1＞0, ∴0综上述，0四、小结 本节课学习了以下内容：对数复合函数单调性的判断
五、课后作业：
（1）证明函数y= (HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y=（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1)在（-∞,0）上是增减性.
∴函数在上是增函数
证明：（1）设，且,则
又在上是减函数
∴ 即
∴函数y= (HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1)在（0，+∞）上是减函数?
（2）设，且,则
又在上是减函数
∴ 即
∴y= (HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1)在（-∞，0）上是增函数
六、板书设计（略）
七、课后记：
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