贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：反函数（2）

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课 题：2.4.2 反函数（2）
教学目的：
⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.
⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.
教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；
教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；
2．互为反函数的两个函数与间的关系：
----定义域、值域相反，对应法则互逆；
3．反函数的求法：一解、二换、三注明
4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (x,-y);
②点A(x,y)关于y轴的对称点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ( ,？);
5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.
①的反函数是
②的反函数是
二、讲解新课：
1．探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.
2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）
证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，
则当x=a时，有唯一的值.
∵有反函数，
∴当x=b时，有唯一的值，
即点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (b,a)在反函数的图象上.
若a=b，则M，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.
若aHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 b，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，PHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，MHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
由两点间的距离公式得：
PM=,PHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =，
∴PM=PHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 . ∴直线y=x是线段MHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的垂直平分线，
∴点M, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 关于直线y=x对称.
∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，
∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，
∴函数与的图象关于直线y=x对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.
3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域；
⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同
三、讲解例题：
例1．求函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.
解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,
∴由y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 解出HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,
∴函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的反函数是HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,
作 y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的图象（如图）.
例2．求函数的值域．
分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.
解：∵ ∴ ∴ y≠
∴函数的值域为{y|y≠}
例3 已知=(x<-1)，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ；
解法1：⑴令=y=，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0;
⑶∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 = -(x<0)；⑷HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =-2.
分析：由y=与y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 中,当x=b时y=a，本题要求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，设其为u，说明在函数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.
解法2：令=，变形得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.
说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.
四、练习：课本P63－64练习：5，6，7
补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.
解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 , ∴x=-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，∴y=的反函数为y=-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
又∵= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,∴y=的反函数为y=-.
五、小结 本节课学习了以下内容：
1.互为反函数的函数图象间关系，
2.求一个函数的反函数图象的方法，
3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性
六、课后作业：课本P64习题2.4：2
答案与提示：2.y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =,x∈[0,5];
补充：⒈求下列函数的反函数：
⑴；⑵y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -6x+12(x≤3);⑶y=(x≤-2).
⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值.
答案：⒈ ⑴y=-(x≥0); ⑵y=3-(x≥0);
⑶y=-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -2(x≥0). ⒉a=,b=-6;.
七、板书设计（略）
八、课后记：
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