贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：反函数（3）

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课 题：2.4.3 反函数（3）
教学目的：
1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；
3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点
教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.
授课类型：练习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明
互为反函数的两个函数有什么关系：
函数与的图象关于直线对称.
反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
2．函数、、、间的关系：
与、与互为反函数；
与、与为同一函数
二、讲解例题：
例1 求函数y=(x≥0，x≠1)的反函数.
解：⑴由原函数变形为y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①,
∵≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1,
⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,
⑶∴原函数的反函数是HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 = [(x-1)/(x+1)]HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （x<-1或x≥1）；
说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.
例2 设函数y==，求它的反函数.
分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.
解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);
⑵当x≥0时，y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，由y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (x≥0)得x=,又y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (x≥0)的值域为y≥0，∴y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (x≥0)的反函数是y=(x≥0).
⑶由⑴⑵可得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =.
例3 已知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.
解：⑴由(x≠2)解出x=，
∵原函数的值域是y≠3,
∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R).
⑵由互为反函数的函数关系知，与是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.
例4 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.
分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？
①A(1,2)在图象上，这是很容易看出来的.
②如何用它也在的反函数的图象上呢？
其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？
其二，A(1,2)在反函数图象上，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=，则(b,a)应满足y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，反之亦然.
解：由A(1,2)在=上，则有--①；
由A(1,2)在其反函数图象上，可知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，
解联立①②的方程组得a=-3,b=7.
例5．若，试求反函数．
分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．
解：令，则，，
代入所给表达式，得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"+2=，
，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"，即原来函数是．
易求函数的反函数是
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"．
注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．
三、练习：
1．求函数y=的反函数.
解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x= ( y≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y对换得y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =.
说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.
的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.
2． 已知函数=1+有反函数，且点(a,b)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b的值.
解：∵点(a,b)在函数的图象上，∴b=1+---①,
又点(a,b)在其反函数的图象上，
∴点(b,a)在原函数的图象上，
∴有a=1+---②，联立①②解得a=b=2.
四、小结 本节课学习了以下内容：
分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题
五、课后作业：
1．课本P64习题2.4：3，4.
答案：3.⑴y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =x/2，
它的定义域为[0,+∞);
⑵HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
及其反函数
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
的图象如右图所示.
4.∵y=x/5+b的反函数为y=5x-5b，
由已知y=ax+3是y=x/5+b的反函数，
∴函数y=x/5+b与函数y=ax+3为同一个函数，
由此得a=5且-5b=3.
∴a=5,b=-3/5.
2．求函数=x|x|+2x的反函数. (提示：讨论x≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)
答案：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =
六、板书设计（略）
七、课后记：
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