贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：一元二次不等式（1）

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课 题：1.5一元二次不等式（1）
教学目的：
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
教学重点：图象法解一元二次不等式
教学难点：字母系数的讨论；一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
教学过程：
一、复习引入：
1．当x取什么值的时候，3x－15的值
（l）等于0；（2）大于0；（3）小于0
（这是初中作过的题目）
2．你可以用几种方法求解上题？
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系(课本第17页的例子)
4．像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法
(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根
②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0
(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解
注 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、讲解新课：
画出函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的图象，利用图象回答：
（1）方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＝0的解是什么；
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0
（这也是初中作过的题目）
结合二次函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＝0的解是x＝－2，或x＝3；
当x<-2，或x>3时，y>0，即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0；
当-2 经上结果表明，由一元二次方程数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＝0的解是x=-2，或 x=3，结合二次函数HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 图象，就可以知道一元二次不等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0的解集是{x|x<-2,或x>3}；一元二次不等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 <0的解集是{x|-2 一般地，怎样确定一元二次不等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0与HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 <0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =0的根的情况
(2)抛物线HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =0的判别式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0与HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 <0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)
二次函数（）的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、讲解范例：
例1 (课本第19页)解不等式
解：作出函数的图像
因为.
所以，原不等式的解集是.
例2 (课本第20页)解不等式.
解：整理得
因为.
所以，原不等式的解集是.
例3 (课本第20页)解不等式.
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
例4 (课本第20页)解不等式.
解：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.

三、课内练习
(课本第21页)练习1-3.
答案：1.⑴{x|2．⑴x=2-,或x=2+；⑵x<2-,或x>2+；⑶2-3．x-4，或x3.
四、小结：
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ⅱ.=0时，求根HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＝HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＝HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
五、作业:　
课本第21页 习题1.5 1. 3. 5
思考题：解关于x的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式：
(2) 当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
(3) 当无实根
所以不等式解集为.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.
六、板书设计（略）
七、课后记：
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