贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：一元二次不等式（3）

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课 题：1.5一元二次不等式（3）
含参一元二次不等式
教学目的：
1．掌握含参一元二次不等式的解决办法；
2．培养数形结合的能力，分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神
教学重点：含参一元二次不等式的解决办法
教学难点：对参数正确的分类讨论
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
教学过程：
一、复习引入：
1．函数、方程、不等式的关系
2．一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项
二、讲解新课：
例1解关于x的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
(2) 当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
(3) 当无实根
所以不等式解集为.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.
小结：讨论，即讨论方程根的情况
例2．解关于x的不等式：(x-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +12)(x+a)<0.
解：①将二次项系数化“+”为：(HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -x-12)(x+a)>0，
②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？
③讨论：
ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )∴原不等式的解集为{x| -3-a}.
ⅱ当-3<-a<4，即-4( http: / / www.21cnjy.com / )∴原不等式的解集为{x| -34}.
ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )∴原不等式的解集为{x| -a4}.
ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )∴原不等式的解集为{x| x>-3}.
ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )∴原不等式的解集为{x| x>4}.
小结：讨论方程根之间的大小情况
例3若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.
解：∵HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (∵4x2+6x+3恒正)，
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立.
∴=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0k2-4k+3<01∴k的取值范围是（1，3）.
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分
例4 已知关于x的二次不等式：aHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +(a-1)x+a-1<0的解集为R，求a的取值范围.
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= aHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0.
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，
即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"a<-. ∴a的取值范围是a∈(-,-).
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？）
练习：已知(HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -1) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解：若HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x<}；
若HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 -10，即aHYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"1时，要使原不等式的解集为R，
必须.
∴实数a的取值范围是(-,1)∪{1}=(-,1).
三、小结 含参一元二次不等式的解决办法
四、布置作业
1．如果不等式x2－2ax＋1≥(x－1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是 （0≤a≤1）
2．如果对于任何实数x，不等式kx2－kx＋1>0 (k>0)都成立，那么k的取值范围是 （03．对于任意实数x，代数式 (5－4a－HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 )HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 －2(a－1)x－3的值恒为负值，求a的取值范围（a≥1或a<－8）
4．设α、β是关于方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 －2(k －1)x＋k＋1=0的两个实根，求 y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＋HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 关于k的解析式，并求y的取值范围
(y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＋HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 =4(k－)2 －, k≥3或k≤0, 得y≥2.)
五、板书设计（略）
六、课后记：
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