函数模型
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课件16张PPT。函数模型的应用实例一、新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图3.2-7所示。（1） 求图3.2-7中阴影部分的
面积，并说明所求面积的
实际含义；解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路
程为360km图3.2-7（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前
的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表
读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。解：根据图3.2-7，有S =50t+2004 80(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5这个函数的图象如图3.2-8所示图3.2-8ts解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题第二步：引进数学符号，建立数学模型第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题
（即数学模型）予以解答，求得结果第四步：再转移成具体问题作出解答例4 人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人
口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依
据。早在1798年，英国经济学家马尔莎斯就提出了
自然状态下的人口增长模型：表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：其中t表示经过的时间，y0表示 t=0 时的人口数，r表示
人口的年平均增长率。（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口
增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在
这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据
是否相符；解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.
由55196 (1+r1) =56300可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为根据表3-8中的数据作出散点图，
并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与
1951～1959年的实际人口数据
基本吻合。t（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的
人口达到13亿？解：将 y=130000代入所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年
后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。
由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口
自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？
`解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y
元，则有日均销售量为 （桶） 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？ 思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？ 思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男生的体重是否正常？ 思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？ 思考4:如何检验函数 的拟合程度？ 思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？ 收集数据用函数模型解释实际问题No
间的关系如图3.2-7所示。（1） 求图3.2-7中阴影部分的
面积，并说明所求面积的
实际含义；解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路
程为360km图3.2-7（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前
的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表
读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。解：根据图3.2-7，有S =50t+2004 80(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5这个函数的图象如图3.2-8所示图3.2-8ts解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题第二步：引进数学符号，建立数学模型第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题
（即数学模型）予以解答，求得结果第四步：再转移成具体问题作出解答例4 人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人
口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依
据。早在1798年，英国经济学家马尔莎斯就提出了
自然状态下的人口增长模型：表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：其中t表示经过的时间，y0表示 t=0 时的人口数，r表示
人口的年平均增长率。（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口
增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在
这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据
是否相符；解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.
由55196 (1+r1) =56300可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为根据表3-8中的数据作出散点图，
并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与
1951～1959年的实际人口数据
基本吻合。t（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的
人口达到13亿？解：将 y=130000代入所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年
后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。
由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口
自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？
`解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y
元，则有日均销售量为 （桶） 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？ 思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？ 思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男生的体重是否正常？ 思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？ 思考4:如何检验函数 的拟合程度？ 思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？ 收集数据用函数模型解释实际问题No