1.4.2充要条件 学习案--高中数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

1.4.2充要条件 学习案
一、概念填空
充要条件
①如果且，则称是的____________条件；
②如果且，则称是的____________条件；
③如果且，则称是的________条件，简称______条件，记作______.
④如果且，那么称是的__________________条件.
【答案】 充分不必要 必要不充分 充分必要 充要 既不充分又不必要
【思考】（1）如果p是q的充要条件，那么p与q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
（3）p是q的条件判断还有什么情况？
【答案】（1）由等价命题、充要条件的定义即可判断该说法正确．
（2）p是q的充要条件说明：p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明：q是条件，p是结论．
（3）若，但qp，则称p是q的充分不必要条件．若，但pq，则称p是q的必要不充分条件．若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
考点归纳
①判断命题的充分不必要条件；②根据充分不必要条求参数；③判断命题的必要不充分条件；④根据命题的必要不充分条件求参数；⑤根据命题的充要条件求参数；⑥既不充分也不必要条件；⑦充要条件的证明；⑧探求命题为真的充要条件.
巩固训练
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（ ）
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
8．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
10．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．下列命题为真命题的是（　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
12．其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件.
13．“且”是“”的__________条件.（填“充要”“充分非必要” “必要非充分”或“既非充分又非必要”）
14．：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件．
四、解答题
15．在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)，；
(2)是无理数；是无理数；
(3)若，，，；
(4)，．
16．已知集合，集合或．
(1)若， ，求实数的取值范围；
(2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
17．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18．已知集合，集合．
(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是成立的充要条件，求实数的值．
19．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
四、参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C C A D D C BD BCD AC
1．A
【详解】若，则，故充分性成立；
若，则或，故必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
2．B
【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围.
【详解】非空集合，
是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以，
即实数的取值范围为.
3．C
【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性，
“不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”，
其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性，
故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件．
4．C
【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解.
【详解】由，得或，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
当时，，符合题意；
当时，，
因为是的真子集，所以，解得；
当时，，
因为是的真子集，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
5．A
【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值．
【详解】，解得，
，
又，，
，
故选：A．
6．D
【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可.
【详解】当，时，满足，但，故推不出，
当，时，满足，但，故不能推出，
所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
7．D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件；
当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的充要条件；
故选：D.
8．C
【分析】根据充要条件的概念求解即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，
故选：C
9．BD
【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断.
【详解】因为集合和均是集合的真子集，
可知和均是的充分不必要条件，故BD正确；
又因为集合是集合的真子集，
可知是的必要不充分条件，故A错误；
且集合与集合之间不存在包含关系，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
故选：BD.
10．BCD
【分析】令依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围.
【详解】令
∵“”是“”的必要不充分条件，∴真包含于，
∴，即
故选：BCD.
11．AC
【分析】根据充分必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，故充分性成立；
若，取，则，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，若，但时，，故充分性不成立；
若，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，若，
等式变形为，所以，故充分性成立；
若，则，故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，若，例如，，则，“”不成立，故充分性不成立；
若，则当时，，故必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：AC
12．充要
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件.
故答案为：充要
13．充要
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】若且，显然有，即且可以推出，
若，又，所以，即，则可以推出且，
所以“且”是“”的充要条件，
故答案为：充要.
14．充要条件
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理即可作出判断.
【详解】根据边边边全等三角形的判定定理可知，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等，
又根据全等三角形的性质定理可知，如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等，
由此可推断是的充要条件.
故答案为：充要条件.
15．(1)充分不必要条件
(2)充要条件
(3)充要条件
(4)充要条件
【分析】（1）举反例可得答案；
（2）根据充要条件的定义判断可得答案；
（3）根据充要条件的定义判断可得答案；
（4）根据充要条件的定义判断可得答案．
【详解】（1）因为，而，时，，
但是，所以是的充分不必要条件；
（2）因为是无理数是无理数，并且是无理数是无理数，
所以是的充要条件；
（3）因为，并且，所以是的充要条件；
（4）因为，并且，所以是的充要条件．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可得，解出即可得；
（2）由题意可得 ，再分及计算即可得.
【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组，
解得 ，即m的取值范围为；
（2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B，
①，此时 ，解得；
②，此时，解得；
综上，的取值范围是或．
17．
【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，
当时，，解得；
当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18．(1)． (2)2
【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解；
（2）由题意得到，进而可求解.
【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（2）因为是成立的充要条件，所以,
所以，即．即实数的值为2．
19．①充分性，当时，，
代入方程，得，
满足此方程，充分性成立，
②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立，
综上，是方程的实数根的充要条件是．
【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性．
答案第1页，共2页
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