两角和与差的三角函数
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课件18张PPT。
两角和与差的三角函数
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．两角和与差的正弦．
2．两角和与差的余弦．
3．两角和与差的正切．
(二)能力训练点
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
2．通过这些公式的推导，使学生了解它们的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力．
3．能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力．
(三)德育渗透点
1．公式的推导过程，是利用它们内在联系的过程．教学过程要注意培养学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题．
2．通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
2．教学难点：应用公式进行化简、计算和证明．
3．教学疑点：在应用公式时要首先保证公式中各个量都要有意义．
三、课时安排
建议3课时．
四、教与学的过程设计
第一课时 两角和与差的余弦
(一)引入
师：上一章我们介绍的是同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，如cos(α+β)，sin(α+β)，tg(α+β)等等的各种关系和计算公式．
现在请大家考虑，如果已知cosα，cosβ，怎样求cos(α+β)？
有人认为cos(α+β)=cosα+cosβ，对不对？
师：很好．把cos(α+β)写成cosα+cosβ是想应用乘法对加法的分配解．可是cosα是角α的余弦值，并不是“cos”乘以α，不能应用分配律．
一个反例已经足够否定上述等式．当然我们还可以举出更多的例子．现在我说如果α、β都是锐角，那么总有
cos(α+β)≠cosα+cosβ．
这是为什么？
所以cos(α+β)＜cosα，cos(α+β)＜cosβ当然有cos(α+β)＜cosα+cosβ；如果α+β是钝角，那么式子左边是负数，右边是正数，当然也不相等．
师：分析的很有条理，完全正确．现在退一步提个问题：如果cosα，cosβ已给定，cos(α+β)是否能确定？
师：(板书)考虑两组数据
师：从这组数字中，你能得到什么结论？
生：我们不能从cosα和cosβ直接求出cos(α+β)．
师：如果我们再算出sinα和sinβ，试试看能否找到什么关系．
由(1)可以得到cos(α+β)cosα·cosβ-sinα·sinβ，并且这个关系式对(2)也适合．
师：刚才我们用具体的例子得到一个关系式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．但是我们还是不能认可它，只有通过严格的证明才行．下面请同学们看图3-1，其中，O是单位圆．
(二)推导两角和的余弦公式
问题1，请同学们把坐标系中P1、P2、P3、P4各点的坐标用三角函数表示出来．
生：P1(1，0)，P2(cosα,sinα)，P3(cos(α+β)，sin(α+β))P4(cos(-β)，sin(-β))．
问题2，线段|P1P3|与|P2P4|有什么关系？为什么？
生：因为△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|．
师：请学生用两点间的距离公式把|P1P3|=|P2P4|表示出来并加以整理．
生：(板书)
cos2(α+β)-2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β-2sinα·cosβ+cos2α+sin2β-2sinαsinβ+sin2α．
2-2cos(α+β)=2-2(cosα·cosβ-sinα·sinβ)．
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．(记为Cα+β)
师：刚才的整个过程，我们已经证明了公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，它对任意的α，β均成立．如果我们把公式中的β都换成-β又会得到什么？即：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：通过刚才的讨论我们又得到两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．(记为Cα-β)
(三)应用举例
例1 不查表．求cos105°及cos15°的值．
师：因为题目要求不能查表，所以要想办法用特殊角计算．为此把105°变为45°+60°，把15°变为45°-30°．请同学们利用公式进行计算．
求cos(α-β)的值．
思考题：根据公式Cα-β分析，要算cos(α-β)应先求什么？
生：cosα及sinβ．
师：请同学们自行计算．
例3 证明：公式
证明：利用公式Cα-β，可得：
=0·cosα+1·sinα
=sinα．
师：利用例3的结论我们很快又得到
若将α换成-α(由于α是任意角，可以这样换)，我们又得到以下四个公式：
(四)练习
．
(五)总结
这节课我们从cos(α+β)等什么出发通过猜测，特例分析得到cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．然后在直角坐标系中，利用两点间
觉中角的变换在今天这节课中唱了主角，在今天的作业中大家要灵活地应用这种方法．
五、作业
六、板书设计
两角和与差的余弦
1．两角和余弦公式及推导
P1(1，0)P2(cosα，sinα)
P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β))
∵△P3OP1≌△P2OP4∴|P1P3|=|P2P4|
根据两点间距离公式得：
二边平方，展开并整理得cos(α+β)＝cosα·cosβ-sinα·sinβ视为Cα+β
2．两角差的余弦公式在Cα+β中把β换成-β得：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
3．应用举例
①例1
②例2
③例3及证明
第二课时 两角和与差的正弦
一、教与学过程设计
(一)复习引入
师：上一节课我们学习了两角和与差的余弦，推导了公式Cα+β、Cα-β，请同学们回忆这两个公式(请一位同学来回答)．
生： cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα·sinβ，
cos(α-β)＝cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：今天我们要继续学习两角和与差的正弦公式．
(二)两角和与差的正弦公式
师：请同学们想一想我们能不能把sin(α+β)改成用余弦函数来表示？
师：请同学们注意上式的右边能否用sinα·cosα，sinβ·cosβ来表示？
生：(板书)
＝sinα·cosβ+cosα·sinβ．
师：这样我们就得到公式sin(α+β)＝sinα·cosβ+cosα·sinβ， 记为Sα+β．再请同学们考虑sin(α-β)＝？
生：把公式Sα+β中的β换成-β，可得：
(学生口述，教师板书)
sin(α-β)= sin[α+(-β)]
=sinα·cos(-β)+cosα·sin(-β)
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
师：这样我们又得到公式sin(α-β)＝sinα·cosβ-cosα·sinβ，记为Sα-β．下面我们一起分析两个公式的结构特点．1°公式是用单角的正余弦来表示两角和、差的正弦；2°右边积中两个函数的名称不同(Cα+β和Cα-β中积是同名函数之积)；3°两积之间的运算符号和前面括号中角的运算符号一致(而Cα+β、Cα-β中则相反)．
(三)应用举例
例4 不查表，求sin75°的值．
生：(板书)
解：sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°·cos30°+cos45°·sin30°
(待学生完成后，布置以下思考题)
种情况，所以此时答案有二个(学生回答有困难时由教师给出解答)．
分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角，所以思路很明确，就是要把复角变单角
∴ 原式成立．
师：本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正、余切函数．故可考虑把正、余切化为正、余弦．
生：(板书)
∴ 原式成立．
师：恒等式证明的方法很多，但是也很有规律，我们可以考虑角的表示形式，也可以考虑函数的名称．大家要注意这些方法的掌握．
师：本题我们可以从角的形式来分析：左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用公式)；如果从左边证右边则
证明一
两角和与差的三角函数
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．两角和与差的正弦．
2．两角和与差的余弦．
3．两角和与差的正切．
(二)能力训练点
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
2．通过这些公式的推导，使学生了解它们的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力．
3．能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力．
(三)德育渗透点
1．公式的推导过程，是利用它们内在联系的过程．教学过程要注意培养学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题．
2．通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
2．教学难点：应用公式进行化简、计算和证明．
3．教学疑点：在应用公式时要首先保证公式中各个量都要有意义．
三、课时安排
建议3课时．
四、教与学的过程设计
第一课时 两角和与差的余弦
(一)引入
师：上一章我们介绍的是同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，如cos(α+β)，sin(α+β)，tg(α+β)等等的各种关系和计算公式．
现在请大家考虑，如果已知cosα，cosβ，怎样求cos(α+β)？
有人认为cos(α+β)=cosα+cosβ，对不对？
师：很好．把cos(α+β)写成cosα+cosβ是想应用乘法对加法的分配解．可是cosα是角α的余弦值，并不是“cos”乘以α，不能应用分配律．
一个反例已经足够否定上述等式．当然我们还可以举出更多的例子．现在我说如果α、β都是锐角，那么总有
cos(α+β)≠cosα+cosβ．
这是为什么？
所以cos(α+β)＜cosα，cos(α+β)＜cosβ当然有cos(α+β)＜cosα+cosβ；如果α+β是钝角，那么式子左边是负数，右边是正数，当然也不相等．
师：分析的很有条理，完全正确．现在退一步提个问题：如果cosα，cosβ已给定，cos(α+β)是否能确定？
师：(板书)考虑两组数据
师：从这组数字中，你能得到什么结论？
生：我们不能从cosα和cosβ直接求出cos(α+β)．
师：如果我们再算出sinα和sinβ，试试看能否找到什么关系．
由(1)可以得到cos(α+β)cosα·cosβ-sinα·sinβ，并且这个关系式对(2)也适合．
师：刚才我们用具体的例子得到一个关系式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．但是我们还是不能认可它，只有通过严格的证明才行．下面请同学们看图3-1，其中，O是单位圆．
(二)推导两角和的余弦公式
问题1，请同学们把坐标系中P1、P2、P3、P4各点的坐标用三角函数表示出来．
生：P1(1，0)，P2(cosα,sinα)，P3(cos(α+β)，sin(α+β))P4(cos(-β)，sin(-β))．
问题2，线段|P1P3|与|P2P4|有什么关系？为什么？
生：因为△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|．
师：请学生用两点间的距离公式把|P1P3|=|P2P4|表示出来并加以整理．
生：(板书)
cos2(α+β)-2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β-2sinα·cosβ+cos2α+sin2β-2sinαsinβ+sin2α．
2-2cos(α+β)=2-2(cosα·cosβ-sinα·sinβ)．
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．(记为Cα+β)
师：刚才的整个过程，我们已经证明了公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，它对任意的α，β均成立．如果我们把公式中的β都换成-β又会得到什么？即：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：通过刚才的讨论我们又得到两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ．(记为Cα-β)
(三)应用举例
例1 不查表．求cos105°及cos15°的值．
师：因为题目要求不能查表，所以要想办法用特殊角计算．为此把105°变为45°+60°，把15°变为45°-30°．请同学们利用公式进行计算．
求cos(α-β)的值．
思考题：根据公式Cα-β分析，要算cos(α-β)应先求什么？
生：cosα及sinβ．
师：请同学们自行计算．
例3 证明：公式
证明：利用公式Cα-β，可得：
=0·cosα+1·sinα
=sinα．
师：利用例3的结论我们很快又得到
若将α换成-α(由于α是任意角，可以这样换)，我们又得到以下四个公式：
(四)练习
．
(五)总结
这节课我们从cos(α+β)等什么出发通过猜测，特例分析得到cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ．然后在直角坐标系中，利用两点间
觉中角的变换在今天这节课中唱了主角，在今天的作业中大家要灵活地应用这种方法．
五、作业
六、板书设计
两角和与差的余弦
1．两角和余弦公式及推导
P1(1，0)P2(cosα，sinα)
P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β))
∵△P3OP1≌△P2OP4∴|P1P3|=|P2P4|
根据两点间距离公式得：
二边平方，展开并整理得cos(α+β)＝cosα·cosβ-sinα·sinβ视为Cα+β
2．两角差的余弦公式在Cα+β中把β换成-β得：cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
3．应用举例
①例1
②例2
③例3及证明
第二课时 两角和与差的正弦
一、教与学过程设计
(一)复习引入
师：上一节课我们学习了两角和与差的余弦，推导了公式Cα+β、Cα-β，请同学们回忆这两个公式(请一位同学来回答)．
生： cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα·sinβ，
cos(α-β)＝cosα·cosβ+sinα·sinβ．
师：今天我们要继续学习两角和与差的正弦公式．
(二)两角和与差的正弦公式
师：请同学们想一想我们能不能把sin(α+β)改成用余弦函数来表示？
师：请同学们注意上式的右边能否用sinα·cosα，sinβ·cosβ来表示？
生：(板书)
＝sinα·cosβ+cosα·sinβ．
师：这样我们就得到公式sin(α+β)＝sinα·cosβ+cosα·sinβ， 记为Sα+β．再请同学们考虑sin(α-β)＝？
生：把公式Sα+β中的β换成-β，可得：
(学生口述，教师板书)
sin(α-β)= sin[α+(-β)]
=sinα·cos(-β)+cosα·sin(-β)
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
师：这样我们又得到公式sin(α-β)＝sinα·cosβ-cosα·sinβ，记为Sα-β．下面我们一起分析两个公式的结构特点．1°公式是用单角的正余弦来表示两角和、差的正弦；2°右边积中两个函数的名称不同(Cα+β和Cα-β中积是同名函数之积)；3°两积之间的运算符号和前面括号中角的运算符号一致(而Cα+β、Cα-β中则相反)．
(三)应用举例
例4 不查表，求sin75°的值．
生：(板书)
解：sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°·cos30°+cos45°·sin30°
(待学生完成后，布置以下思考题)
种情况，所以此时答案有二个(学生回答有困难时由教师给出解答)．
分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角，所以思路很明确，就是要把复角变单角
∴ 原式成立．
师：本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正、余切函数．故可考虑把正、余切化为正、余弦．
生：(板书)
∴ 原式成立．
师：恒等式证明的方法很多，但是也很有规律，我们可以考虑角的表示形式，也可以考虑函数的名称．大家要注意这些方法的掌握．
师：本题我们可以从角的形式来分析：左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用公式)；如果从左边证右边则
证明一