第八章分式小结

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第八章分式小结
一、本章知识结构精要
　　　　　　　　　　约分
　　　分式的性质
　　　　　　　　　　通分
分　　　　　　　　　乘除法
式　　分式的运算
　　　　　　　　　　加减法
　　　　　　　　　　解法
　　　分式方程
　　　　　　　　　　应用
二、本章知识精讲
　　1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做＿＿＿＿.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.
　　2、分式的基本性质
　　分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
　　用式子表示为：＿＿＿＿＿。
　　3、约分和通分
　　分式的约分：把一个分式的＿＿＿＿叫约分.
　　分式的通分：把几个异分母的分式＿＿＿＿分式叫通分.
　　4、分式运算
　　分式乘法法则：＿＿＿＿；（）n=＿＿。
　　除法法则：＿＿＿＝＿＿＿＿。
　　分式的加减法则：＿＿＿，＿＿＿＿＿。
　　5、解分式方程的基本思想是把它化为＿＿＿方程。在分式方程的求解的过程当中有可能产生＿＿＿＿，所以解分式方程必须＿＿＿＿＿。
例1　在分式中，a为常数，当x为何值时，该分式有意义？当x为何值时，该分式的值为零？
　　解析　由x+x－2=0，得(x－1)(x +2)=0，∴x =1或x =－2．
　　∴当x≠1且x≠－2时，该分式有意义．
　　由x+ax =0，得x(x+a)=0，即x =0或x=－a．
　　当a≠1且a≠－2时，则x =0或x=－a时，该分式的值为零．
　　当a =2或a =－1时，则x=0时，该分式的值为零．
　　点评　在解题中用了两个字“或”与“且”，它们所表达的含义完全不同，请认真体会．
例2　已知。试求当x＝2009，y＝2010时的值。
　　分析　对原分式进行化简后代入x,y的值计算。
　　解　∵
　　＝
　　＝
　　＝＝1.
　　所以，不论x为何值，y的值都是1。
　　点评　这是一道“无关型”型试题，不论x为何值，y的值不变，那么可此分式化简后与x的值无关。这时应从分式的化简入手，不可一开始就代入数值。
例3　（2009年连云港中考题）若关于x 的方程 = ＋2 无解，则m 的值是﹍﹍
　　解析　原方程可化为：ｘ＝４－ｍ．
　　当原分式方程无解时，则增根ｘ＝３， 故代入一次方程有ｍ＝１．
　　所以，当ｍ＝１时，原分式方程无解。
　　点评　解分式方程最基本的数学思想是化分式方程为整式方程，最常用的方法是去分母法．这样未知数的取值范围就有可能扩大，所以解出来的未知数的值就必须检验，防止出现增根现象．
例4　如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
　　
　　解析　设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；
　　王老师现在骑车所用的时间－原来步行所用时间＝20min；
　　根据题意，得
　　　；
　　解这个方程：去分母，得3+3+0.5－1.5＝x，即x＝5；
　　经检验x＝5是原方程的解，所以3x＝15；
　　答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.
　　点评　列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.
三、掌握基本解题方法
1、分式基本性质的应用
例5　计算：－.
　　错解　－＝－＝.
　　剖析　分式的加减运算的关键是通分，而通分的依据是分式的基本性质，本题中的错解在于违背了分式的基本性质，只把分式的分母乘以一个整式，而分子乘.这样所得的分式就与原分式不等值了，所以通分时要注意对分式基本性质的理解和应用.
　　正解　－＝－＝.
2、乘除运算转化为乘法运算
例6　化简.
　　分析　本题是一道分式的除法运算试题，根据运算法则，将除法运算转化为乘法运算．注意将其结果约分．
　　解　=。
　　点评　分式的乘法，就是用分式的分子乘以分子，分母乘以分母，然后约分．分式的除法运算，将除式的分子、分母颠倒位置，转化为乘法运算．
3、逐步通分法在加减中的应用
例7　计算。
　　分析　此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存
在着平方差关系，可逐步通分达到目的．
　　解　原式==
　　点评　若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
四、掌握类比和转化数学思想方法
　　分式是分数的拓展,学习分式要遵循从特殊到一般的认知规律.无论是从它们的概念形式.基本性质以及四则运算,都具有相同的属性.所以在概念的引入,性质,法则的得出,都采用了类比手段.我们可以通过对分数知识的回忆,能比较自然地过渡到对分式的相应知识的研究.从中探究出它们相似的结论和差异性的一面.这对我们透彻理解和掌握很有帮助.如异分母分式的加减要转化成同分母分式的加减,分式方程的求解要转化成整式方程来求解.这种把新问题转化为已经解决了的已知问题求解的方法,不断地有意识地渗透.因为 转化思想是数学中一个重要思想方法,它在今后进一步学习数学将起到重要作用,也是提高数学能力的重要渠道,务必引起我们的高度重视.
例8 已知a+x2=2009,b+x2=2010,c+x2=2011,且abc=1，求代数式的值。
　　分析　将所求分式通分后再配方，使所求代数式含有，将问题转化到求的值上来，再把已知的三个等式作差，易得出的值。
　　解　消去已知条件中的，得
　　=
　　点评　利用转化思想把所求的代数式的值分解成与已知条件相关联的代数式，这个代数式是探究的难点，希望同学们能好好掌握。
五、中考命题链接
　　纵观近几年的全国各省、市的中考试题中，分式部分常见题型主要有三大类：
　　1．有关分式的概念与性质，如分式有意义或分式的值为零的条件，常以填空题、选择题形式出现．
2．分式的运算及化简求值，如括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，以计算题居多，值得指出的是，分式的中考题难度不大，但涉及所学习的基础知识较多，解题方法灵活多变，容易产生符号和运算方面的错误．因此，本章考点题目“易做又易错”，既是“送分题”，又是“丢分题”．
　　3.分式方程的应用是历年中考的热点之一，命题常以生活中的热点问题为背景，通过分式方程的应用，考查分析问题和解决问题的能力。
　　1、考查分式的意义
例1（2009年清远、漳州）当 时，分式无意义．
　　解析　当分式的分母x-2=0时，分式无意义，即x=2。
　　点评　根据分式的定义，分母中字母所取的值应使分式有意义。
　　2、考查分式的基本性质
例2（2009湖北省荆门市）计算的结果是
（　　）
A．a　　B．b　　C．1　　D．－b
　　解析　 ，故选B．
　　点评　本题考查积的乘方运算与分式的性质的化简。
　　3、考查分式的计算（化简）
例3（2009年甘肃白银）计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
　　解析　 ( http: / / www.21cnjy.com / )
　　＝。
　　点评　本题是括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，解答时，应对括号内的分式进行通分，讲除法转化为乘法，分解因式后，化简。
例4（2009年桂林市、百色市）先化简，再求值：，
其中．
　　解析　原式
　　
　　
　　。
　　把。
　　点评　本题实质上是考查分式的计算，有括号，先算括号里面的，再做除法，根据化简的最后结果，再代入计算。
　　4、考查分式方程的解法
例5（2009漳州）．分式方程的解是（　　）
A．1　　B．　　C．　　D．
　　解析　去分母得2x=x+x,
　　移项合并得x=1。
　　经检验x=1是方程的解。
　　点评　解分式方程的基本思想是去分母，化分式方程为整式方程。这里的最简公分母是(x+1)x。还需注意在解方程的过程中不要漏乘，最后要检验。
　　5、考查分式方程的应用
例5（2009年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：
项目家电种类 购买数量（台） 原价购买总额（元） 政府补贴返还比例 补贴返还总金额（元） 每台补贴返还金额（元）
冰箱 40 000 13%
电视机 15 000 13%
（2）列出方程（组）并解答．
解析：
（1）
40 000 13% 或5200 或或
15 000 13% 15 000×13%或1950 或
　　（2）解:依题意得-
　　解得
　　经检验是原分式方程的解
　　
　　答:冰箱、电视机分别购买20台、10台
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