方程的根与函数的零点
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《方程的根与函数的零点》教学设计
湖南省 衡南县第五中学 王海艳
【课题】 方程的根与函数的零点
【教材】 普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1
【授课教师】 王海艳
一、教材分析
1．教学内容
《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1第三章《函数的应用》的第一节“3.1.1 方程的根与函数的零点”，本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理及应用．
2．地位与作用
本节安排在《集合与函数》以及《基本初等函数() 》之后,位于《函数的应用》的第一节,就是要教会学生怎样用函数的思想来解决相关问题,所以这节内容在这里起到了承上启下的作用.
３．教学重点、难点
【重点】函数零点的概念，函数零点的存在性定理的推断和运用。
【难点】函数零点的存在性定理的推断和运用。
二、学情分析
我校高一年级学生已掌握了《集合与函数概念》、《基本初等函数（I）》的相关知识，我班学生对函数及其图象已具备了初步认识，但是对于“函数与方程的思想”、“数形结合思想”以及对抽象问题的思维能力还有待提高。
三、教学目标
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．
【知识目标】理解函数零点的概念;
理解方程的根与函数的零点之间的关系;
掌握函数零点的存在性定理的推断及应用.
【能力目标】抽象思维能力、观察能力、作图能力;
函数与方程的思想、数形结合的思想；
提高学生解决问题的能力。
【情感目标】激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦．同时融入集体荣誉感教育。
四、教学方法
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式，诱导启发、自主探究的互动式教学方法。
在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练．
五、课件设计思想
本节课内容含量较大，设计了不少的探究性问题，所涉及的函数图象又比较复杂，所以采用多媒体辅助教学，利用几何画板画函数图象。
既增加课堂容量，提高课堂效率，又直观、准确地展示出函数的图象，让学生轻松观察出结果．
六、教学过程设计
环节1：引入课题
问题引入：求方程的实数根.
你能求出的实数根吗？
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。开门见山的提出函数思想解决方程实数根的问题，点明本节课的目标。
师生活动：
师生——交流归纳：一元二次方程可用求根公式求解，而科学家研究发现五次及五次以上的方程都没有求根公式，那怎么来求解呢？我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。
环节2、新知探究
1、零点的概念
探究：求方程的实数根，并画出函数的图象。
方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。
设计意图：由具体的一元二次方程与相应的一元二次函数引出函数零点的概念，并归纳出方程的根与函数零点的关系。
师生活动：
教师——从形式上看方程和函数有什么联系？
学生——函数时的表达式就是方程。
师生——交流，归纳：方程的实数根就是函数的图象与轴交点的横坐标。
教师——既是方程的实数根，又是函数在时的值，也是函数图象与轴的交点的横坐标。在方程中称为实数根，在函数中我们称之为零点。
课堂练习：你能找出下列函数的零点吗？
设计意图：应用函数零点的定义，加深对概念的理解，培养学生的应用能力。让学生明白不是所有函数都有零点。
师生活动：
学生——回答问题。
教师——及时点评。
函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（zero point）。
2、函数零点的判定
探究：观察下面两个图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：哪个图象一定与横轴有交点？为什么？（假设气温是连续变化的）
（） （）
设计意图：由跨学科问题，让学生体会系统与局部的关系，领会从具体到抽象的思维方式。
师生活动：
学生——第一个图象与横轴一定有交点，第二个图象与横轴可能没有交点，也可能有几个交点。
教师——在黑板上将图象补充完整，画出几个可能的图象：
教师——把上面的横轴抽象为轴，纵轴抽象为轴，从0点到12点气温变化图可为作为函数在上的图象，那么函数的图象在上满足什么条件时，函数的图象一定与轴有交点，即函数有零点？
学生——连续，。
函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
问题探究：
问题1：不是连续的函数，结论还成立吗？请举例说明。
问题2：若，函数在区间在上一定没有零点吗？
问题3：若，函数在区间在上只有一个零点吗？
问题4：时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？
设计意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。培养学生数形结合的思想，提高学生探究问题的能力。
师生活动：
学生——思考并回答问题。
师生——互动交流,引导学生结合函数图象解决上面四个问题：
问题1：结合反比例函数的图象说明；
问题2-4：可结合前面画出的三个图象说明。
环节3、新知应用与深化
例题1、 观察下表，分析函数在[-2，2]上是否存在零点？
－2 －1 0 1 2
-1.75 -0.5 1 3 6
分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（-1，0）上必存在零点。
设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作 函数的图象分析零点问题。从而对函数有一个零点形成直观认识．
师生活动：
学生——回答问题。
教师——及时点评，归纳出判断函数零点是否存在的方法之一——作对应值表。
例题2、求函数的零点的个数。
分析：方法1：用计算器或计算机作出的对应值表和图象。
0 1 2
-4 -1 32
由表可知，，则函数在区间（1，2）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点只有唯一一个．
方法2：寻找函数值符号的变化规律。
0 1 2
- - +
设计意图：先由学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。然后鼓励学生一题多解的。
师生活动：
师生——交流，共同完成。
教师——归纳判断函数零点是否存在的两种基本方法。
环节4、课堂练习
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？
1 2 3 4 6 10
20 -5.5 - 2 6 18 -3
2、求函数的零点的个数。
设计意图：让学生学以至用，提高学生的动手能力。检验课堂的效率。
师生活动：
学生——独立完成。
教师——及时点评。
环节5、课堂小结
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容：函数零点的概念，方程的根与函数的零点关系，函数零点的存在性定理的理解及应用；所涉及的数学思想有：“函数与方程思想”，“数形结合思想”。
作业：习题3.1 A组 题2
设计意图：使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法．
环节6、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下三点反思：
1、从处理方式上看，对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一是给出零点的定义以及零点的判定定理，直接应用而不讲概念的引入和定理的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，强调对定理的探寻过程，加深学生对知识的理解深度，提高学生的数学思维能力。
2、 从数学思想上看，本节课采取“从具体到抽象”的思维方式，有助于学生抽象思维能力的形成，本节中方程的实数根与函数零点的关系，使学生树立了“函数与方程思想”和“数形结合思想”。
3、 从解题方法上看，鼓励学生一题多解，引导学生从另一角度理解问题。
是方程的实数根
是函数与轴的交点
是函数的零点
气温
8
气温
8
0
0
3
时间
12
12
-3
时间
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《方程的根与函数的零点》教学设计
湖南省 衡南县第五中学 王海艳
【课题】 方程的根与函数的零点
【教材】 普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1
【授课教师】 王海艳
一、教材分析
1．教学内容
《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书（A版）必修1第三章《函数的应用》的第一节“3.1.1 方程的根与函数的零点”，本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理及应用．
2．地位与作用
本节安排在《集合与函数》以及《基本初等函数() 》之后,位于《函数的应用》的第一节,就是要教会学生怎样用函数的思想来解决相关问题,所以这节内容在这里起到了承上启下的作用.
３．教学重点、难点
【重点】函数零点的概念，函数零点的存在性定理的推断和运用。
【难点】函数零点的存在性定理的推断和运用。
二、学情分析
我校高一年级学生已掌握了《集合与函数概念》、《基本初等函数（I）》的相关知识，我班学生对函数及其图象已具备了初步认识，但是对于“函数与方程的思想”、“数形结合思想”以及对抽象问题的思维能力还有待提高。
三、教学目标
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．
【知识目标】理解函数零点的概念;
理解方程的根与函数的零点之间的关系;
掌握函数零点的存在性定理的推断及应用.
【能力目标】抽象思维能力、观察能力、作图能力;
函数与方程的思想、数形结合的思想；
提高学生解决问题的能力。
【情感目标】激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦．同时融入集体荣誉感教育。
四、教学方法
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式，诱导启发、自主探究的互动式教学方法。
在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练．
五、课件设计思想
本节课内容含量较大，设计了不少的探究性问题，所涉及的函数图象又比较复杂，所以采用多媒体辅助教学，利用几何画板画函数图象。
既增加课堂容量，提高课堂效率，又直观、准确地展示出函数的图象，让学生轻松观察出结果．
六、教学过程设计
环节1：引入课题
问题引入：求方程的实数根.
你能求出的实数根吗？
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。开门见山的提出函数思想解决方程实数根的问题，点明本节课的目标。
师生活动：
师生——交流归纳：一元二次方程可用求根公式求解，而科学家研究发现五次及五次以上的方程都没有求根公式，那怎么来求解呢？我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。
环节2、新知探究
1、零点的概念
探究：求方程的实数根，并画出函数的图象。
方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。
设计意图：由具体的一元二次方程与相应的一元二次函数引出函数零点的概念，并归纳出方程的根与函数零点的关系。
师生活动：
教师——从形式上看方程和函数有什么联系？
学生——函数时的表达式就是方程。
师生——交流，归纳：方程的实数根就是函数的图象与轴交点的横坐标。
教师——既是方程的实数根，又是函数在时的值，也是函数图象与轴的交点的横坐标。在方程中称为实数根，在函数中我们称之为零点。
课堂练习：你能找出下列函数的零点吗？
设计意图：应用函数零点的定义，加深对概念的理解，培养学生的应用能力。让学生明白不是所有函数都有零点。
师生活动：
学生——回答问题。
教师——及时点评。
函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（zero point）。
2、函数零点的判定
探究：观察下面两个图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：哪个图象一定与横轴有交点？为什么？（假设气温是连续变化的）
（） （）
设计意图：由跨学科问题，让学生体会系统与局部的关系，领会从具体到抽象的思维方式。
师生活动：
学生——第一个图象与横轴一定有交点，第二个图象与横轴可能没有交点，也可能有几个交点。
教师——在黑板上将图象补充完整，画出几个可能的图象：
教师——把上面的横轴抽象为轴，纵轴抽象为轴，从0点到12点气温变化图可为作为函数在上的图象，那么函数的图象在上满足什么条件时，函数的图象一定与轴有交点，即函数有零点？
学生——连续，。
函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
问题探究：
问题1：不是连续的函数，结论还成立吗？请举例说明。
问题2：若，函数在区间在上一定没有零点吗？
问题3：若，函数在区间在上只有一个零点吗？
问题4：时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？
设计意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。培养学生数形结合的思想，提高学生探究问题的能力。
师生活动：
学生——思考并回答问题。
师生——互动交流,引导学生结合函数图象解决上面四个问题：
问题1：结合反比例函数的图象说明；
问题2-4：可结合前面画出的三个图象说明。
环节3、新知应用与深化
例题1、 观察下表，分析函数在[-2，2]上是否存在零点？
－2 －1 0 1 2
-1.75 -0.5 1 3 6
分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（-1，0）上必存在零点。
设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作 函数的图象分析零点问题。从而对函数有一个零点形成直观认识．
师生活动：
学生——回答问题。
教师——及时点评，归纳出判断函数零点是否存在的方法之一——作对应值表。
例题2、求函数的零点的个数。
分析：方法1：用计算器或计算机作出的对应值表和图象。
0 1 2
-4 -1 32
由表可知，，则函数在区间（1，2）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点只有唯一一个．
方法2：寻找函数值符号的变化规律。
0 1 2
- - +
设计意图：先由学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。然后鼓励学生一题多解的。
师生活动：
师生——交流，共同完成。
教师——归纳判断函数零点是否存在的两种基本方法。
环节4、课堂练习
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？
1 2 3 4 6 10
20 -5.5 - 2 6 18 -3
2、求函数的零点的个数。
设计意图：让学生学以至用，提高学生的动手能力。检验课堂的效率。
师生活动：
学生——独立完成。
教师——及时点评。
环节5、课堂小结
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容：函数零点的概念，方程的根与函数的零点关系，函数零点的存在性定理的理解及应用；所涉及的数学思想有：“函数与方程思想”，“数形结合思想”。
作业：习题3.1 A组 题2
设计意图：使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法．
环节6、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下三点反思：
1、从处理方式上看，对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一是给出零点的定义以及零点的判定定理，直接应用而不讲概念的引入和定理的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，强调对定理的探寻过程，加深学生对知识的理解深度，提高学生的数学思维能力。
2、 从数学思想上看，本节课采取“从具体到抽象”的思维方式，有助于学生抽象思维能力的形成，本节中方程的实数根与函数零点的关系，使学生树立了“函数与方程思想”和“数形结合思想”。
3、 从解题方法上看，鼓励学生一题多解，引导学生从另一角度理解问题。
是方程的实数根
是函数与轴的交点
是函数的零点
气温
8
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