2.1等式性质与不等式性质 学习案--高中数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2.1等式性质与不等式性质 学习案
一、基础梳理
【1】概念填空
1．不等式的性质
性质 别名 性质内容
1 对称性 _______
2 传递性 ____
3 可加性 ____推论1：； 推论2：
4 可乘性 ____ ； 推论3：； 推论4：____（，）； 推论5：
5 取倒数 ____
【答案】 ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜
2．含有绝对值的不等式基本性质
（1）若___________ ;
（2）若____________;
（3）
【答案】 或
3．比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
__________；
__________ ；
____________
另外，若，则有；；.
【答案】
【2】 概念即时应用 判断正误．
（1）任意两个实数都能比较大小．( )
（2）不等式的含义是指x不小于2．( )
（3）若或之中有一个正确，则正确．( )
【答案】 正确 正确 正确
【详解】（1）任意两个实数的差都可以和0比大小，所以任意两个实数都能比较大小，故该结论正确．
（2）不等式是“或” 含义，即含义是指x不小于2，故该结论正确．
（3）或，这是一个“或”命题，由“或命题”的真假判断规律即可判断正确．
考点归纳
①用不等式表示不等关系；②作差法比较代数式的大小；③作商法比较代数式的大小；④有已知条件判断所给不等式是否正确；⑤由不等式的性质比较数（式）的大小；⑥由不等式的性质证明不等式；⑦绝对值不等式.
巩固训练
一、单选题
1．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
4．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．若满足，则下列结论正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
7．已知a、b都是非零实数，那么“”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
8．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．设，，若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则使得成立的充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，，则的取值范围是________．
13．不等式解集为_________ ．
14．已知，则的取值范围为______
四、解答题
15．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来．
16．已知，
(1)求的取值范围；
(2)比较两个代数式的大小：与．
17．（1）比较大小：与；
（2）设，比较与的大小.
18．已知，证明：．
19．已知均为正实数，且，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C A C C A AC ABD AD
1．D
【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解.
【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，
即．
故选：D．
2．B
【详解】因为，
对于A，，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，则，所以，故D正确．
3．C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
4．C
【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.
【详解】对A：若，，则有，，此时，错误.
对B：若，，则有，，
此时，错误.
对C：，
由，故，，，故，
即，正确.
对D：若，，则，，
此时，错误.
5．A
【分析】利用完全平方公式结合已知等式，先求出的取值范围，再代入各结论进行判断即可.
【详解】因为，即，代入，
得，即，故③正确，
因为，即，代入，
得，即，
，
结合得，
则，且,故①正确②错误，
，故④错误.
6．C
【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解.
【详解】对于A：由，所以，故A正确；
对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
7．C
【分析】利用作差法，然后判断是否能推出，进而由充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由，
如果满足，此时，不能推出，
如果满足，此时，也不能推出，
所以是的既不充分也不必要条件.
8．A
【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可.
【详解】当，
又，∴，充分性成立，
反过来，不妨取，，，，则，
但且不成立，故必要性不成立．
故选：A.
9．AC
【分析】使用不等式的性质进行分析.
【详解】对于选项，，因为，所以，
当或时，，则，即，
当时，，，则，选项正确
对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误；
对于选项，若，，则，所以，选项正确；
对于D选项，若，，当时，，选项错误.
10．ABD
【分析】利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A， ，即 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
所以，即 ，故B正确；
对于C，当 时，得 ，
所以 ，即 ，
所以 ；当 时， ；
当 时，得 ，所以 .
综上可得， ，故C错误；
对于D，当 时，得 ，所以 ，
即 ，所以 ；当 时， ；
当 时，得 ，所以 .
综上可得， ，故D正确.
11．AD
【分析】利用充分条件的定义结合不等式的性质求解即可.
【详解】由，可得，
由，得，即，
则，即，即，故A，D正确；B，C错误.
故选：AD.
12．
【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围.
【详解】，，又因为，
，即．
13．
【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可.
【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去；
当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此；
综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为.
14．
【分析】利用不等式待定系数配凑求解
【详解】设
展开得
对比系数列方程得，解得
所以
因为，
所以，即
，两不等式相加得，即
15．答案见解析
【分析】由题意列不等式组即可．
【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个，
由题意得
16．(1)
(2)
【详解】（1） ，，
，
；
（2） ，
．
17．（1）.
（2）.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用作商法比较大小.
【详解】（1）
，
因为，所以，
即.
（2）由，得，，，
因此，
所以.
18．证明见解析
【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证.
【详解】因为，所以，
所以，即，
因为，所以．
19．证明见解析
【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论．
【详解】 ，，
，
又 ，
，故，
，，，
，即．
试卷第1页，共3页
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