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必修5 第一章小结与复习 2 第 8 课时
一、学习目标能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．；二、综合应用例1.（2009浙江理）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值．【随堂记录】：解 （1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 例2（2007山东）甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=， A1A2=，∴A1A2=A2B2， 又∠A1A2B2=180°-120°=60° ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2=A1A2=. 由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理， =+-·A1B2·cos45° =202+()2-2×20××=200. ∴B1B2=. 因此，乙船的速度的大小为 ×60=（海里/小时）. 例3（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QE·sin=所以船会进入警戒水域.三、巩固训练1.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 四、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断还应熟练掌握二倍角公式，降幂公式等。
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必修5 第一章小结与复习 2 第 8 课时
一、学习目标能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．；二、综合应用例1.（2009浙江理）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值．【随堂记录】：例2（2007山东）甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里 例3（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.三、巩固训练（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 四、反思总结正余弦定理解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清楚有关术语的准确含义，如仰角，方位角等。
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必修5 §1.1 正弦定理（2） 第 2 课时
一、学习目标 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用探究三角形的面积公式能根据条件判断三角形的形状能根据条件判断某些三角形解的个数二、学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。三、课前预习1.正弦定理=________2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________.3.在解三角形时，常用的结论（1）在中，A>B______________________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式：______________________________________________ 四、课堂探究1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；（2）正弦定理的变形形式：1）————————————————————；2）————————————————————；3）————————————————————．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）____________________________________________________2）____________________________________________________一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．条件： 解的个数：__________ 条件： 解的个数：_____解 解的个数：_____条件： 解的个数：_____条件： 解的个数：_____五、数学运用例1（材例4）中，已知，试判断三角形的形状.例2 （教材例5）在中，是的平分线，用正弦定理证明：．例3 （教材例3）某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度。例4 判断下列三角形解的情况：（1）已知（2）已知（3）已知 【随堂记录】：六、巩固训练（一）当堂练习1. 在中，若那么的外接圆的周长为________2. 在中,3.在中，若，则4. 中，，那么一定是_______5.中，为锐角，，则形状为_____6中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____（二）课后作业课课练七、反思总结1理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 2.判断三角形的形状的方法。3.判断三角形解的个数的方法。
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必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时
一、学习目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；二、课前预习三角形中的定理1.正弦定理： ，其中为 . 正弦定理的作用：⑴ ⑵ 正弦定理的变形：①， ， ；②， ， ；③ .2.余弦定理：， 余弦定理的作用：⑴ ⑵ ⑶ .⑷ .余弦定理的变形：① 等；② 等.3.三角形面积公式： = 4. 在已知两边a,b及角A解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有 ①a>b时有 解； ②a≤b时 解. （2）若Ａ＜９０°时，则有 ①若a＜bsinA，则 解； ②若a＝bsinA，则 解；③若bsinA＜a＜b，则有 解；④若a≥b，则有 解.课前热身：1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则_______2.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________. 3.（2007湖南）在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角所对边的长分别设向量,，若，则角的大小为_____三、综合应用例1.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 【随堂记录】：例2. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若的值.【随堂记录】： 解：（I） 例3.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 【随堂记录】：四、巩固训练（2009北京理） 在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.五、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断还应熟练掌握二倍角公式，降幂公式等。
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必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时
一、学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．二、课前预习三角形中的定理1.正弦定理： ，其中为 . 正弦定理的作用：⑴ ⑵ 正弦定理的变形：①， ， ；②， ， ；③ .2.余弦定理：， 余弦定理的作用：⑴ ⑵ ⑶ .⑷ .余弦定理的变形：① 等；② 等.3.三角形面积公式： = 4. 在已知两边a,b及角A解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有 ①a>b时有 解； ②a≤b时 解. （2）若Ａ＜９０°时，则有 ①若a＜bsinA，则 解； ②若a＝bsinA，则 解；③若bsinA＜a＜b，则有 解；④若a≥b，则有 解.预习题：1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则_______可知,,所以,由正弦定理得2.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________. 3.（2007湖南）在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．答案 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为_____三、数学运用例1.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 例2. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若的值. 解：（I）即为等腰三角形.（II） 由（I）知例3.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 【随堂记录】：解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，四、巩固训练1.（2009北京理） 在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积.五、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断
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§1.2 余弦定理（2） 第 4 课时
一、学习目标 1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；3. 通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性二、学法指导 1.斜三角形有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理。2.判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的三边关系；二是考虑三角形的内角关系，有时可以将边角巧妙结合，同时考虑。3.注意正、余弦定理得联合运用与变形运用，与三角形有关问题常用正、余弦定理进行边角互化。三、课前预习（1）：正弦定理： 正弦定理的变形： （2）余弦定理（3）余弦定理的推论：（4）三角形面积公式：三、课堂探究例1 （教材例6）在中，是边上的中线，求证：例2 （教材例5）在中，已知，试判断三角形的形状例3（教材例4）应用题（略）四、巩固训练（一）当堂练习 1．在中，，那么这个三角形的最大角是_____2. 在中，已知, ,试证明此三角形为锐角三角形（二）课后作业1.已知圆内接四边形中，,求四边形的面积2．已知锐角三角形的边长分别是、、，则的取值范围是_______3．已知三角形一个内角为，周长为20，面积为，求三角形的三边长。五、反思总结
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§1.2 余弦定理（1） 第 3 课时
一、学习目标 1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。，2.掌握并熟记余弦定理3.能运用余弦定理及其推论解三角形二、学法指导 1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解3.余弦定理适用于判断三角形的形状。三、课前预习（1）余弦定理：（2）余弦定理的推论：（3）用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求 已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。三、课堂探究1．余弦定理的证明及理解：2．例题讲解例1 （教材例1）在中，（1）已知，求；（2）已知，求例2（教材例2应用题）略例3 （教材例3）用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，四、巩固训练（一）当堂练习1. 在中，（1）已知,，求；（2）已知，求2．在中，已知，求的大小.（二）课后作业1． 在中，，则______2. 在中，已知，则最大角的余弦值是______五、反思总结
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§1.3正弦定理和余弦定理的应用 （1） 第 5 课时
一、学习目标 1．掌握用正弦定理，余弦定理解任意三角形的方法。2．会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题二、学法指导1．了解常用的测量相关术语2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。三、课前预习1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫 _____,在水平线下方的角叫_______.2．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的角方位角的其他表示：（1）正南方向（2）东南方向（3）北偏东（4）南偏西3．坡角：坡面与水平面的二面角的度数。三、课堂探究例1 （教材例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）. 例2 （教材例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.四、巩固训练（一）当堂练习 1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30度和60度，则塔高为______________.2．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60度，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15度，这时船与灯塔的距离为________km。3.教材练习34．教材练习4 （二）课后作业练习册：第六课时五、反思总结
图1-3-11-3-1
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§1.3正弦定理和余弦定理的应用 （2） 第 6 课时
一、学习目标 1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题3.掌握利用数学建模解决实际问题的一般步骤。 二、学法指导能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。三、课前预习1．力的平衡2．的面积公式：（1）（2）（3）四、课堂探究例1（教材例3）作用在同一点的三个力平衡.已知， ，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）. 例2 （教材例4）如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.五、巩固训练（一）当堂练习 1。教材第2题。2．把一根长为的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，如何锯断木条，才能使第三边最短？3．（教材第7题）如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？（二）课后作业练习册：第7课时六、反思总结
图1-3-3
图1-3-4
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必修5 §1.1 正弦定理 (1) 第 1 课时
一、学习目标 1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。二、学法指导1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习1.在所对的边，则2.正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即=_______( )3.一般的，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____.4.正弦定理的证明方法有哪些 四、课堂探究探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则sinA=_______, sinB=________, sinC=_______即：探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？证法1 若为锐角（图（1）），过点作于，此时有，，所以，即．同理可得，所以．若为钝角（图（2）），过点作，交的延长线于，此时也有，且．同样可得．综上可知，结论成立．证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有．设为最大角，过点作于（图（3）），于是．设与的夹角为，则，其中，当为锐角或直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此得证。五、数学应用题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1 已知在【随堂记录】：题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例2 在【随堂记录】：例3 【随堂记录】：六、巩固训练（一）当堂练习1.在中，,则此三角形的最大边长为_____3.已知，则.4..5.（二）课后作业 课课练第一课时七、反思总结1．用三种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法2．理论上正弦定理可解决两类问题： （1）_____________________________________________________（2）_____________________________________________________．
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