1.1.1 空间向量的概念 学案（无答案）

空间向量
知识点一　空间向量的概念
1．与平面向量一样，在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的________或________．
2.空间向量用字母a，b，c，…表示．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作________.其模记为|a|或________．
3．特殊向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0
单位向量 ________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向________且模________的向量叫做相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
[微练]　1.下列命题中，假命题是(　　)
同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，则>
D．相等向量其方向必相同
3.(多选题)下列说法中正确的有(　　)
A．两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，必有＝
D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
知识点二　空间向量的加法、减法及数乘运算
1．空间向量的加减运算
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
点拨：
(1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减)．
(2)空间向量线性运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同．
2．空间向量的数乘运算
定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，叫做空间向量的数乘．
(1)当λ>0时，λa＝λ＝(与a同向且|λa|＝|λ||a|)；
(2)当λ<0时，λa＝λ＝(与a反向且|λa|＝|λ||a|)；
(3)当λ＝0时，λa＝ 0．
[微练]　1.已知A，B，C，D为空间中的四个点，则＋－＝(　　)
A． B． C． D．
2.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的一个三等分点，且AF＝EF，则＝(　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
3．(多选题)已知平行六面体ABCD -A′B′C′D′，则下列四式中正确的有(　　)
A．－＝
B．＝＋＋
C．＝
D．＋＋＋＝
4.如图所示，在三棱锥A -BCD中，E是棱CD的中点，且＝，则＝(　　)
A．＋－ B．＋－
C．－5＋3＋3 D．＋＋
知识点三　共线向量
1．共线向量的充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．直线的方向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa．
我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
小提示：
(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立，因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线．
[微练]　1.已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D　　　　B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
[微练]
1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
2.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点．若由＝3－＋λ确定的点M与A，B，C共面，则λ的值为(　　)
A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2
3．(多选题)下列命题中，正确的命题是(　　)
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若a与b共线，则a与b所在的直线平行
D．空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若
p＝x a＋y b，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，
且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
知识点五　空间向量的夹角与数量积
1.空间向量的夹角
定义与范围 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，范围[0，π]
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，
即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉
3.数量积的性质
(1)零向量与任意向量的数量积为0. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2．
(4)若a与b同向，则a·b＝|a||b|．若反向，则a·b＝－|a||b|．
(5)若θ为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝．
[微练] 1. 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的空间单位向量，则a·b＝(　　)
A．1　　 B．2　 　 C．3　 　 D．4
2.空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．30° C．135° D．45°
4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)
A． B． C．－ D．0
5.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　)
A．30°　 B．60°　 C．120°　 D．150°
6．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12 B．8＋ C．4 D．13
7．在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠AOC＝，则·的值是(　　)
A． B． C．－ D．0
知识点六 空间向量的投影向量
在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|·cosθ·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
[微练]1.已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，向量a在向量e上的投影向量为________.
2.已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A．6 B．6 C．12 D．144
3.已知空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3,0,1)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　)
A. B. C. D.
知识点七 空间向量基本定理及有关概念
定理　如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
1.(多选题)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是(　　)
A．{a，2b，3c} B．{a＋b，b＋c，c＋a}
C．{a＋b＋c，b＋c，c} D．{a＋2b，2b＋3c，3a－9c}
2.在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
知识点八 空间向量的坐标
1.一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
3.空间向量的平行、垂直及模和夹角的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝
练习：
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
2．(多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　)
A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b|
3.已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝________.
4.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　)
A．(5，－1,4) B．(5,1，－4) C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4)
7.已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24)
知识点九 空间点的对称问题
例：在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
2.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　)
A．点B1的坐标为(4,5,3)
B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
知识点十 空间中点、直线的向量表示
点的位置向量如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量．
2．空间中直线的向量表示
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta　①，将＝a代入①式，得＝＋t　②，①和②都称为空间中直线的向量表示式．
知识点十一 空间中平面的向量表示
1.平面的法向量
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
练习：1.若A(2,1,1)，B(1,2,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(2,1,1) B．(－2,2,2) C．(－3,2,1) D．(2,1，－1)
2．已知A(0,1,1)，B(－1,1,1)，C(1,0,0)，则平面ABC的一个法向量为(　　)
A．(0,1，－1) B．(－1,0,1) C．(1,1,1) D．(－1,0,0)
3．已知直线l上的两点A(2，－1,7)，B(4，x，y)和方向向量a＝(1，－1,2)，则||＝________.