第四章 数列 等差数列和等比数列 学案（无答案）

等差数列和等比数列
知识点一　数列的概念
数列的概念
(1)按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，其中第1项也叫做首项．
(2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是序号．
2．函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点二　数列的分类
1．按项数分类：项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列．
2．按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
练习：(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)
A．1，3，1，3，…是常数列
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列1，2，3，…可以表示为数列{n}
D．数列的图象是一群孤立的点
2.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　B．(－∞，2) C．(－∞，3] D．(－∞，3)
知识点三　数列的通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．数列是特殊的函数，还常用列表法和图象法表示数列．用图象法表示数列时，其图象是一些离散的点．
练习：1.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，该数列从第________项开始递增，数列的最小值为________．
知识点四 数列的前n项和
数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝an＝
练习：1.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则数列{an}的通项公式为________．
知识点五 等差数列的定义
1．(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，且n∈N*)．
练习：1.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)
2.(多选)下列关于等差数列{an}：－5，－9，－13，…的叙述正确的是(　　)
A．公差为4 B．an<0 C．a100＝－401 D．通项公式为an＝－4n－1
知识点六 等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A．
点拨：(1)任意两个实数都有等差中项．
(2)应用等差中项法可证明一个数列为等差数列.2an＝an－1＋an＋1(n≥2) {an}为等差数列．
知识点七 等差数列的性质
设{an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对于有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
练习：1.已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　　 B．27　　 C．24　　 D．16
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
知识点八 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．
★等差数列通项公式的推广：等差数列{an}中，设公差为d.
(1)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (2)d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
练习：1.已知等差数列{an}中，a4＝7，a10＝25，试求数列{an}的通项公式，并判断100是否是数列{an}中的项？
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an.
知识点九 等差数列与一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，其函数值增加d；
(3)若d>0，则数列{an}是递增数列；若d<0，则数列{an}是递减数列；若d＝0，则an＝a1，数列{an}是常数列．
练习：1.已知等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点十 由等差数列衍生的新数列
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
练习：1.已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．
2.已知数列{an}是等差数列，公差d＝2，则数列{a3n}的公差为________．
3.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}．
(1)求数列{cn}的通项公式cn； (2)若数列{an}和{bn}的项数均为100，求数列{cn}的项数．
4.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)
A．15.5尺　　　　B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺
5.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
6.已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等的实根 C．有两个不等的实 D．不能确定有无实根
7.(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
知识点十一 等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝
练习：1.设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2021，S6－2S3＝18，则S2023＝(　　)
A．－2021 B．2021 C．2022 D．2023
2.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
知识点十二 等差数列前n项和的常用性质
1．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
3．(1)若等差数列{an}有(2n－1)项，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
(2)若等差数列{an}有2n项，则S偶－S奇＝nd，＝.
练习：1.等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
2.在等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．
3.有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若＝，则等于___________．
4.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于________．
5.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
6.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
7.(多选)等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝15，S5＝S11，则以下正确的是(　　)
A．d＝－1 B．|a4|＝|a13| C．Sn的最大值为S8 D．使得Sn>0的最大整数n＝15
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝－3，a5＝1.
(1)求{an}的通项公式与Sn； (2)若bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
9.Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9.
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
知识点十三 等差数列的前n项和Sn的函数特征
等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n.
(1)当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)，是n的二次函数，其中常数项为0.等差数列前n项和对应的点(n，Sn)的集合是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的离散分布的孤立的点集．
(2)当d＝0，且a1≠0时，Sn＝na1是关于n的一次函数形式．
练习：1.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.
(1)求证：{an}为等差数列； (2)若Sn≤75恒成立，试求n的最大值．
2.(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)
A．a5＝1 B．Sn的最小值仅有S3 C．S1＝S6 D．Sn存在最大值
知识点十四 等比数列
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．符号表示：＝q (q为常数，q≠0，n∈N*)
知识点十五 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab
在等比数列{an}中，设{an}的公比为q.
(1)若m＋n＝s＋t(m，n，s，t∈N*)，则am·an＝as·at．
①如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，则am·an＝
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．
特别地，若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk．
练习：1.等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于________．
2.等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．
知识点十六 等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．
等比数列通项公式的变形推广：
(1)an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
(2)等比数列{an}的图象是指数型函数f(x)＝·qx的图象上的孤立点．
练习：1.已知数列{an}中，a1＝1，＝2an＋n－1.
(1)求证：数列{an＋n}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
2.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
3.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
知识点十七 等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
练习：1.已知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于(　　)
A．n2＋n　　　　　B．n2－n C．2n＋1－2 D．2n－1
2.在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于(　　)
A．21 B．42 C．135 D．170
知识点十八 等比数列前n项和的性质
1.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
(1)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，公比为qn．
(2)Sn＋m＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn．(m，n∈N*)
2．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，S偶∶S奇＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇＝a1＋qS偶．
练习：1.已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于________．
2.已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则S6＝________．
3.等比数列的项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，数列的公比为________．
知识点十九 求通项公式
类型一　形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________．
类型二.形如＝f(n)的数列，利用累乘法
练：1.已知在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________．
2.　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
类型三. 形如对于an＋1＝pan＋q型，当p≠1，q≠0时，可以构造an＋1＋r＝p(an＋r)，转化为等比数列求通项公式，这里运用了待定系数法，其中r＝，p≠1，数列是等比数列．
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
练：1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则an＝(　　)
A．　　　　　　B． C． D．
2.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1.求{an}的通项公式；
知识点二十 求前n项和
1.分组转化求和（等差+等比）
练习：在等差数列{an}中，已知a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
2.倒序相加法求和
3.裂项相消(1)＝－. (2)＝.
(3)＝. (4)＝－.
(5)＝.
错位相减（等差×等比）
练习：1.已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列满足：，求数列的前项和.
2.已知数列满足．
（1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和．
3.已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和.
4.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.