高中数学人教A版（2019）必修第一册 2.2基本不等式 学案（含答案）

2.2基本不等式 学习案
一、基础梳理
【1】概念填空 基本不等式
（1）基本不等式________ 应用条件：一正、二定、三相等．
【答案】
（2）几个重要的不等式
①（）． ②（a，b同号）．
③（）． ④（）．
（3）利用基本不等式求最值问题
已知，，则
①如果积xy是定值p，那么有最小值，当且仅当时取得．（简记：积定和最小）
②如果和是定值p，那么xy有最大值，当且仅当时取得.（简记：和定积最大）
【2】思考1：分别用符号语言、文字语言叙述并证明基本不等式．
【答案】符号语言：
,（当且仅当时取到等号）.
文字语言：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两正数相等时两者相等.
证明：因为
当且仅当 ，即时取到等号，
所以 .
【3】思考2：在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？
【答案】在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．
【4】思考3：试着将平均值不等式进行推广．
【答案】由于，，进行推广.
若均为正数，则，
当且仅当时等号成立．
考点归纳
①基本不等式的内容及辨析；②由基本不等式求积的最大值；③由基本不等式求和的最小值；④二次与二次（一次）的分式型问题；⑤“1”的妙用求最值（式）的大小；⑥基本不等式的实际应用；⑦条件等式求最值；⑧基本不等式恒成立问题；⑨由基本不等式比较大小.
巩固训练
一、单选题
1．下列结论正确的是（　　）
A．当且时，
B．当时，
C．当，的最小值为2
D．当时，的最小值为2
2．已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知、都是正数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
5．已知，则的最大值是（ ）．
A． B． C．5 D．8
6．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
8．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正数满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为4
10．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
11．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为14 D．的最小值为
三、填空题
12．已知正实数，满足，则的最小值为____．
13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____.
14．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________.
四、解答题
15．（1）已知，，证明：；
（2）已知，，且，求的最小值.
16．求最值
(1)已知正实数满足，求的最小值．
(2)已知，求的最小值．
(3)已知，求的最小值．
17．已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围.
18．求下列代数式的最值：
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，，且满足.求的最小值；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值.
19．已知证明：
(1)
(2)
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C A A D A A AB ABC BC
1．B
【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可.
【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确；
选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确；
选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确；
选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确.
故选：B
2．B
【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误，
对于B,由于，则，故，B正确，
对于C, 由于，则，故，C错误，
对于D, ，由于，则，故
，故，D 错误，
3．C
【详解】因、都是正数，，
则由，可得.
当且仅当，即，时取等号.
所以的最大值为.
4．A
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3．
5．A
【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．
【详解】易知．
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故，则的最大值是．
故选：A
6．D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
7．A
【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得.
【详解】当时，，，
则 ，
当且仅当，即时等号成立，
即恒成立，则，故，
故实数的最大值为.
故选：A.
8．A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.
【详解】因为，，且，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
即，得，因为，所以.
由代入，解得，
因此当，的最小值为.
9．AB
【详解】选项A，因为，当且仅当时等号成立，所以.
选项B，因为，所以.当且仅当时等号成立，
选项C，，当且仅当时等号成立，
选项D，，当且仅当时等号成立，解得，与条件矛盾，因此最小值取不到.
10．ABC
【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确；
对于B，，由基本不等式，
故，当且仅当时等号成立，
所以最小值为，故B正确；
对于C，，由选项A知，
故，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确；
对于D，，由选项A知，故，
则，
即最小值为，不是，故D错误.
11．BC
【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B.
【详解】由，可得，
对于A，令，，则，且，可得，
则，
当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误；
对于B，由，可得，则，
当且仅当时，取得最小值，所以B正确；
对于C，由，当且仅当时，
即，，即，时，等号成立，所以C正确；
对于D，由，可得，当且仅当时，
即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误．
12．8
【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解.
【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：，
所以，
则，当且仅当即时等号成立，
代入得，即的最小值为.
13．
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，，且，则，
所以
，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值.
【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则，
纸的面积，
当时等号成立，
所以小李所用纸的面积的最小值为.
故答案为：
15．（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立.
从而，当且仅当时，等号成立.
（2）
【分析】（1）结合基本不等式证明即可.
（2）根据基本不等式及求解即可.
【详解】（1）略
（2）因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
16．(1)
(2)5
(3)7
【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
（2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案.
（3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）由，得，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为5
（3）当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为7
17．
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可.
【详解】正数，且，则，
当且仅当时取等号，又恒成立，则，
所以m的取值范围是.
18．(1)最小值为5
(2)最小值为18
(3)最大值为9.
【分析】（1）利用基本不等式求最值；
（2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值；
（3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为，则，由基本不等式得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为5.
（2）因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为18.
（3）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
,
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为9.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解；
（2）将整理为，利用基本不等式求解；
【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立．
故，当且仅当时，等号成立．
（2）因为，所以．
，
当且仅当时，等号成立．试卷第1页，共3页
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