2025-2026学年广东仲元中学高一下学期6月月考数学试题(1)（含答案）

2025-2026学年广东仲元中学高一下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．5 D．或5
2．在中，，点在上，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ）
A． B．或 C．或 D．
4．如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知复数，则复数z的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
6．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．若，， ，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为.
10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
11．如图，在棱长为的正方体中（ ）
A．与的夹角为
B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______．
13．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双．
14．已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________．
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
18．矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题：
(1)证明：面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知函数，其中，.
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，、、分别是角、、的对边，且.
（i）求的值；
（ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
《广东仲元中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A D C C D CD BC
题号 11
答案 BCD
1．C
2．A
3．C
4．A
5．D
6．C
7．C
8．D
9．CD
10．BC
11．BCD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
16．(1)
由菱形可得，
平面平面，平面平面，
又正方形中，
平面，又平面，，，平面，平面.
(2)
17．(1)0.4
(2)52.5
(3)
18．(1)证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点，
，，
，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面.
(2)；
(3)存在，是线段上靠近点 的三等分点.
19．(1)，
(2)（i）2（ii）