2026-2027学年人教A版数学选择性必修第一册课时分组练习：1.1.2　空间向量的数量积运算（含解析）

1　空间向量及其运算
1.1.2　空间向量的数量积运算
A组 知识基础练习
1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则=(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(2025四川绵阳期中)已知空间单位向量a,b的夹角为,向量c=a-4b,则向量c在a方向上的投影向量为(　　)
A.4a B.3a C.-a D.a
3.(2025北京宣城期中)已知空间向量a=(-1,m,2),b=(2,-1,2),若a·b=3,则cos= (　　)
A. B. C. D.
4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结论中,一定成立的是(　　)
A.||=||
B.||2=||2+||2+||2
C.()·=0
D.
6.(多选题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是(　　)
A. B.
C. D.
7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足,则||=　　　　　.
8.(人教B版教材习题)已知a,b都是空间向量,且=,求<2a,-3b>.
9.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
B组 能力提升练习
10.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么(　　)
A.
B.
C.
D.的大小不能比较
11.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在向量上的投影向量为　　　　　(用向量来表示).
12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.
13.(2025广东惠州期中)如图,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示,并求||;
(2)求.
1.1.2　空间向量的数量积运算
1.D　由题可得=0.
∵)=)=-2),,∴-2)·()=.
∵DB=DC,∴,∴=0.故选D.
2.B　空间单位向量a,b的夹角为,向量c=a-4b,所以=(a-4b)·a=a2-4a·b=1-4×1×1×cos=3,所以向量c在a方向上的投影向量为3a.故选B.
3.A　∵空间向量a=(-1,m,2),b=(2,-1,2),a·b=3,
∴a·b=-2-m+4=3,解得m=-1,
故cos=.故选A.
4.A　在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=.因为M,N分别为棱BC,AD的中点,所以),,所以)·==×-1=-.由题可得,AM=CN=,所以|cos<>|=,即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A.
5. ABD　作如图所示的长方体,则四面体ABCD为长方体的一部分,设||=a,||=b,||=c.
由题可得,,||=,||=,故A正确;||2=||2=a2+b2+c2=||2+||2+||2,故B正确;∵AD⊥平面ACEB,BC 平面ACEB,∴AD⊥BC,即=0,∴()·=()·,但无法判断直线AE和BC是否垂直,故C不一定正确;由图易知,,故=0,故D正确.故选ABD.
6. ABC　如图,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;若AB=AD,则AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B,BB1,BD 平面B1BDD1,∴AC⊥平面B1BDD1.又BD1 平面B1BDD1,∴BD1⊥AC,故B正确;∵AB⊥平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,故C正确;∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,∴直线BD1和BC不可能垂直,故D错误.故选ABC.
7.　由题可得=2.
∵=-)=,
∴=2==2,故||=.
8.解∵2a·(-3b)=-6a·b
=-6|a||b|cos
=-6|a||b|cos
=-3|a||b|,
∴cos<2a,-3b>==-,∴<2a,-3b>=.
9.解因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.
10.C　由题可得,)·()
=(||2-||2)=0,
=()·
=·()+
=||||cos 120°-||||cos 120°+|||cos 120°<0.
故.故选C.
11.　在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,.
∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC,=0.
在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,
∴=36,=||||cos(180°-∠ABC)=6×6cos(180°-120°)=18,
∴向量在向量上的投影向量为
=
=.
12.解∵+()+)=-,
∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°=a2,
故||=a,
即MN=a.
13.解(1)∵=a,=b,=c,
∴=a+b+c.
∵底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,
∴||=
=
=.
(2)由题可得,·()==c·b-c·a=2×1×-2×1×=0.