2026-2027学年人教A版数学选择性必修第一册课时分组练习：1.1.1　空间向量及其线性运算（含解析）

1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
A组 知识基础练习
1.下列说法错误的是(　　)
A.任意向量与它的相反向量不相等
B.和平面向量类似,任意两个空间向量都不能比较大小
C.如果|a|=0,则a=0
D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
2.给出下列命题:
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;
②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;
④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,在四面体ABCD中,点M,N分别是棱AD,CD的中点,则)-)化简的结果是 (　　)
A. B.
C. D.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点.若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b+c
D.a-b+c
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.向量的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.向量方向相同且模相等,则这两个向量是相等向量
6.《九章算术》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”A-OBCD中,E为△ACD的重心,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.-a+b+c B.-a+b+c
C.a+b+c D.-a+b-c
7.(2025广东佛山月考)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量+λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ=　　　　　.
8.(2025安徽亳州月考)
如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,点E是棱SD上靠近S的三等分点.记=a,=b,=c,用a,b,c表示.
B组 能力提升练习
9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则=　　　　　.(用a,b,c表示)
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD的中点.
(1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示;
(2)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示.
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=2=3.
(1)求证:A,F,E三点共线.
(2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心,求证:D,F,G三点共线.
第一章　空间向量与立体几何
1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
1.A　对于A,零向量的相反向量是它本身,故A错误;对于B,空间向量是有向线段,不能比较大小,故B正确;对于C,如果|a|=0,则a=0,故C正确;对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,故D正确.故选A.
2.C　①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.根据正方体的定义,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,所以.④真命题.向量的相等具有传递性.⑤假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.故选C.
3.C　如图,连接BM,BN.因为M,N分别是棱AD,CD的中点,所以)-)=.故选C.
4.A　因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,所以=a+b+c.故选A.
5.AD　向量是相反向量,长度相等,故选项A正确;在空间四边形ABCD中,的模不一定相等,方向也不一定相反,故选项B错误;空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故选项C错误;由相等向量的概念易知选项D正确.故选AD.
6.B　∵E为△ACD的重心,∴)=(b+c),则(b+c)-a=-a+b+c.
7.　∵向量+λ,且点P与A,B,C共面,∴λ+=1,则λ=.
8.解由题意得
=)+)
=)+)
=)+)
=-=-a-b-c.
9.c+a-b　由题可得D为棱A1B1中点,)=,
则)==c+a-b.
10.解(1)如图,=-=b+a-c.
(2)由(1)得=-.
因为所以a+b-c,a+c-b,b+c-a,
所以=-=-a-b+c+b+c-a+a+c-b=c-a+a+c-b=-a-b+c.
11.证明(1)由题意,=2=3,
故)=,,故.
由于有公共点A,故A,F,E三点共线.
(2)由题意,点G是平行四边形B1BCC1的中心,
故)=,,故.
因为有公共点D,故D,F,G三点共线.