9.1.1 简单随机抽样 教学设计

9.1.1 简单随机抽样
（一）课时教学内容
本节内容选自普通高中数学必修第二册第九章“统计”中的9.1.1简单随机抽样。在前面学习了概率初步中随机事件、等可能事件等知识的基础上，本节进一步学习如何通过随机抽样的方法从总体中获取有代表性的样本。
本节主要内容包括：
简单随机抽样的概念；
抽签法（含数字化模拟方式）；
随机数法；
简单随机抽样在实际问题中的应用。
通过本节学习，使学生在具体问题情境中理解简单随机抽样的原理，并逐步建立用样本估计总体的统计分析方法，为后续学习分层随机抽样及用样本估计总体奠定基础。
（二）课时教学目标
1.理理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法和随机数法的操作步骤，并能够运用简单随机抽样方法解决简单的实际问题。
2.通过口袋摸球实验、问题辨析和合作探究等活动，引导学生经历从具体操作到抽象概念的过程，体会用样本估计总体的统计思想，发展学生的数据分析素养和逻辑推理能力。
3.通过对抽样方法的探究，使学生体会数学知识形成的过程，增强学习数学的兴趣，培养严谨、规范的数学思维习惯。
（三）教学重点与难点
重点：简单随机抽样的概念及其操作方法（抽签法、随机数法）。
难点：理解简单随机抽样中“每个个体被抽到的机会均等”的含义；随机数表的正确使用。
（四）教学过程设计
教学环节一：创设情境，导入新课
【教师活动】
出示两个问题情境：
（1）新学期，班主任想知道班里每位同学的身高，以便安排座位。应该怎么做？
（2）某厂家生产了一批节能灯泡，想检测这批灯泡的使用寿命。能否把每一个灯泡都点亮测试？为什么？
【学生活动】
学生思考并回答：问题（1）可以测量全班每个同学的身高，得到准确结果；问题（2）不能逐个测试，因为测试会损坏灯泡，且数量大、耗时长。
【教师归纳】
在调查中，像问题（1）这样对所有调查对象进行全面调查的方法，称为全面调查（又称普查）。像问题（2）这样从调查对象中抽取一部分进行调查、根据结果推断整体的方法，称为抽样调查。
【教师讲解】
结合问题（2）讲解相关概念：
总体：所要调查对象的全体。如这批灯泡的全体。
个体：总体中的每一个调查对象。如每一个灯泡。
样本：从总体中抽取的部分个体。如抽取的100个灯泡。
样本量：样本中包含的个体数目。如上例中的100。
抽样调查：从总体中抽取样本，根据样本数据推断总体特征的方法。
教师追问：呈现多个实际问题，请学生分析每个问题适合采用全面调查还是抽样调查，并说明理由：
问题1：检测一批灯泡的寿命，应该用什么调查方式？为什么？
问题2：测试一批种子的发芽率，应该用什么调查方式？为什么？
问题3：调查一个班学生每周体育锻炼时间，应该用什么调查方式？为什么？
问题4：检测某品牌矿泉水的合格率，应该用什么调查方式？为什么？
问题5：人口普查，应该用什么调查方式？为什么？
追问：在需要进行抽样调查时，如何抽取样本才能使得样本较好地代表总体？是不是随便抽取一些个体就可以了？
学生讨论后认识到：抽取样本时要保证随机性，避免主观偏向。
教师揭示课题：抽样调查的核心思想是“用样本估计总体”。但要实现这一目标，关键在于抽样方法是否科学。如果抽样时存在主观偏向，样本就可能失真，推断出来的结论也就不可靠。因此，我们需要一种能够保证每个个体被抽到的机会均等、不受人为干扰的抽样方法。今天我们就来学习最基本的抽样方法——简单随机抽样。
【设计意图】通过生活化问题引入全面调查与抽样调查的区分，帮助学生理解总体、个体、样本、样本量等基本概念，并通过实例辨析使学生体会选择调查方式的依据。在此基础上自然引出抽样调查中“如何抽取有代表性的样本”这一核心问题，为学习简单随机抽样做好概念铺垫。
教学环节二：探究新知
【教师活动】
出示探究问题：一个口袋中有红色、白色共1000个小球，除颜色外，小球大小、质地完全相同。在不倒出所有球数一数的情况下，能否通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例？
【学生活动】
学生思考并讨论：可以从中摸出一些球，记录红球出现的次数，用红球出现的频率估计红球在袋中的比例。
教师追问1：具体应该怎样操作？需要注意什么才能保证估计结果是可靠的？
学生讨论后提出：应该随机摸球，不能专门挑红球或白球。
教师追问2：摸出一个球记录颜色后，要不要放回去？如果放回去和不放回去，有什么区别？
学生讨论后产生不同意见，部分认为放回去保证每次条件相同，部分认为不放回去操作更简单。
【教师引导】
先按放回的方式来做，观察结果。
活动探究：有放回摸球实验
【教师活动】
说明实验步骤：（1）从袋中随机摸出一个球，记录颜色；（2）将球放回袋中；（3）摇匀后再摸；（4）重复以上步骤n次。
教师提问：在实验过程中，为什么要将球放回？为什么要摇匀？
学生回答：放回是为了保证每次摸球时袋中球的总数不变，摇匀是为了保证每个球被摸到的机会均等。
教师讲解：当重复次数n足够大时，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，这个概率就是口袋中红球所占的比例。这就是用频率估计概率的原理。
对比分析：有放回与不放回
教师追问：刚才我们采用的是有放回摸球的方式。如果不放回，即每次摸出的球不再放回袋中，这样操作效率如何？
学生思考并讨论两种方式的差异。
教师引导分析
①有放回摸球：每次摸球条件相同，但同一个球可能被重复摸到，需要记录多次。
②不放回摸球：每个球最多被摸到一次，在相同摸球次数下，可以获得更多不同球的信息。
教师总结
不放回摸球可以避免同一个球被重复摸到，在相同摸球次数下能接触到更多不同的个体，因此效率更高。在实际抽样调查中，我们通常采用不放回的方式。
抽象概括：简单随机抽样的概念
【教师讲解】
根据刚才的探究，我们可以抽象出抽样的基本要求：
设一个总体含有N个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
教师进一步说明：根据抽取过程中个体是否放回，简单随机抽样分为两种：
①放回简单随机抽样：每次抽取后将个体放回，保证每次抽取条件相同。
②不放回简单随机抽样：每次抽取后将个体不放回，每个个体最多被抽到一次。在实际应用中，不放回简单随机抽样更常用，效率更高。
教师强调：简单随机抽样的核心特征是：每个个体被抽到的机会均等，且抽取过程不受人为干扰。
概念辨析：判断是否为简单随机抽样
【练习】
判断下列抽样方法是否属于简单随机抽样，并说明理由：
（1）从无数个个体中抽取20个作为样本。
（2）从50个个体中一次性抽取5个作为样本。
（3）某班有40名同学，指定个子最高的5名参加篮球比赛。
（4）从装有40个球的袋中无放回地依次抽取6个球。
学生独立思考后小组交流，逐题判断并说明理由。
师生共同分析
（1）不是，总体含有无数个个体，无法保证每个个体被抽到的机会均等，且“无数个”不符合简单随机抽样对总体个体数有限的要求。
（2）不是，“一次性抽取”不是逐个抽取，虽然每个个体被抽到的概率相等，但简单随机抽样强调逐个抽取的过程。
（3）不是，指定个子最高的是主观选择，不是随机抽取，每个个体被抽到的机会不均等。
（4）是，从有限总体中逐个无放回抽取，每个个体被抽到的机会均等，符合不放回简单随机抽样的定义。
教师补充说明
对于第（2）题，需要向学生说明：在实际操作中，一次性抽取和逐个无放回抽取的每个个体被抽到的概率是相同的，但简单随机抽样的定义强调“逐个抽取”的过程，目的是体现抽样的随机性和操作性。教学中应尊重定义，引导学生关注抽样过程的规范性。
教师追问：简单随机抽样的特征？
有限性，逐个抽取，等可能性。
【设计意图】通过口袋摸球的探究活动，引导学生在具体操作中理解用频率估计概率的思想，通过有放回与不放回的对比分析，使学生体会不放回简单随机抽样的效率优势，在此基础上抽象概括出简单随机抽样的概念。通过辨析练习，帮助学生巩固对概念的理解，区分简单随机抽样与主观选取、一次性抽取等方法的差异，为后续学习具体抽样方法做好铺垫。
教学环节三：新知应用
（一）提出问题，创设应用情境
【教师活动】
出示实际问题：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们想事先了解全体高一年级的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎样抽取样本？
【学生活动】
学生思考并讨论：需要从712名学生中随机抽取一部分学生测量身高，用样本平均身高估计全年级平均身高。
教师追问：具体用什么方法从712名学生中抽取样本？如何保证每个学生被抽到的机会均等？
学生提出：可以把每个学生编一个号，然后做号签，抽签决定。
教师引导：这种方法叫做抽签法，下面我们一起来学习抽签法的具体步骤。
（二）学习抽签法
【教师讲解】
抽签法（又称抓阄法）是实施简单随机抽样最常用的方法之一，具体步骤如下：
抽签法步骤：1.编号：将总体中的N个个体依次编号（如1,2,3,…,712）；2.制签：将号码写在形状、大小相同的号签上（如纸条、卡片）；3.搅匀：将号签放在不透明的容器中，充分搅拌；4.抽签：从容器中逐个抽取n个号签（n为样本量）；5.取样：取出与抽到的号签编号对应的个体，组成样本。
教师提问：在抽签法的操作过程中，有哪些关键点需要注意？为什么？
【学生活动】
学生讨论后回答：号签大小、形状要相同，保证每个号签被抽到的机会均等；容器要不透明，避免看到号签；要搅拌均匀，防止号签堆积；要逐个抽取，体现随机性。
教师补充：在抽取样本时，通常采用不放回抽取，这样每个个体最多被抽到一次，效率更高。
（三）探究问题，引出随机数法
教师提出问题：刚才我们学习了抽签法。现在思考一个问题：如果只有10个号签，分别写上0,1,2,…,9，放在不透明盒中，能否实现从001到712范围内抽取号码？
学生活动
学生思考讨论，部分学生认为10个号签只能产生0-9的数字，无法直接表示三位数。
教师追问1：能否利用这10个号签，通过多次抽取的方式，组合出001-712范围内的三位数？
学生讨论后提出：可以每次抽取一个号签记录数字，连续抽取三次，组成一个三位数。
教师追问2：如果组成的三位数是888或999，不在001-712范围内，应该怎么办？
学生讨论后提出：应该跳过，重新抽取，直到抽到范围内的号码为止。
教师归纳：这种利用数字组合生成随机数的方法，就是随机数法的基本思路。当总体容量较大时，制作号签比较麻烦，我们可以借助随机数表或信息技术工具来生成随机数，这种方法称为随机数法。
（四）学习随机数法
【教师讲解】
随机数法是利用随机数表、随机数骰子或计算机生成的随机数进行抽样的方法。具体操作步骤如下：
1.编号：将总体中的N个个体依次编号，编号的位数要一致。例如，712名学生可编号为001,002,…,712；2.选定随机数表：获取一张随机数表（表中每个位置上的数字是随机生成的0-9之间的数字）；3.确定读取规则：确定起始位置（如第1行第1列）、读取方向（如向右、向下）、每次读取的位数（如3位）；4.读取号码：按照规则依次读取随机数，若读取的号码在编号范围内且未被重复选取，则作为样本号码；若超出范围或重复，则跳过；5.取样：取出与抽取到的号码对应的个体，组成样本，直到达到所需的样本量。
教师示例演示
以712名学生为例，随机数表第1行第1列开始，每次取3位数字：读取到的数字依次为：612, 521, 893, 045, 712, 327, …，其中893超出712，跳过；045、612、521、712、327均在范围内，作为样本号码。
教师提问：在随机数法中，为什么要规定每次读取相同的位数？为什么遇到超出范围的号码要跳过？
学生讨论后提出：读取相同位数是为了与编号位数保持一致，便于对应；超出范围的号码没有对应的个体，所以跳过。
教师追问：如果读取到的号码在范围内但之前已经被抽到过，应该怎么办？
学生讨论后提出：应该跳过，继续读取下一个，因为简单随机抽样通常采用不放回方式，每个个体只能被抽一次。
（五）常用随机数生成方法介绍
【教师讲解】
在实际应用中，除了使用随机数表，还可以通过以下方法生成随机数：
1.用随机试验生成随机数
如掷骰子、抽数字卡片等。例如，需要生成一个三位数，可以准备10个分别标有0-9的卡片，依次抽取三次组成三位数。这种方法适合课堂演示或小规模抽样。
2.用信息技术生成随机数
用计算器生成：许多科学计算器都有随机数生成功能（如RAND键），可以生成0-1之间的随机小数，再经过变换得到所需范围的整数。
用电子表格软件生成：在Excel中，可以使用`RANDBETWEEN(a,b)`函数直接生成a到b之间的随机整数，也可以使用`RAND()`函数生成0-1之间的随机小数。
用R统计软件生成：R语言提供了`sample()`函数，可以从指定范围内随机抽取样本，功能强大且操作简便。
用在线随机数生成器：互联网上有许多免费的在线随机数生成工具，可以快速生成所需范围和数量的随机数。
【教师演示】
教师通过投影演示在Excel中使用`RANDBETWEEN(1,712)`生成随机数的方法，或使用在线随机数生成器现场生成5个1-712之间的随机整数。
【学生活动】
学生观察演示，了解信息技术工具的便捷性，并尝试在小组内使用手机或电脑模拟生成一组随机数。
【教师总结】
抽签法适用于总体容量较小的情形，操作简单直观；随机数法适用于总体容量较大或需要重复抽样的情形，效率更高。在实际调查中，我们还可以借助信息技术工具快速生成随机数，提高抽样效率。
【设计意图】通过解决“如何抽取样本估计平均身高”这一实际问题，引导学生学习抽签法和随机数法两种具体的抽样操作技能。通过“10个号签能否实现三位数抽取”的探究问题，激发学生思考，自然引出随机数法。在讲解随机数法时，结合具体示例演示操作步骤，降低学习难度。最后介绍多种随机数生成方法，特别是信息技术工具的应用，使学生体会现代技术在统计抽样中的便捷性，为后续学习奠定基础。
环节四：课堂小结
【教师活动】
引导学生回顾本节课的学习内容：
问题1：什么是简单随机抽样？它的核心特征是什么？
问题2：简单随机抽样有哪两种常见的方法？分别适用于什么情况？
问题3：抽签法和随机数法的具体操作步骤是什么？操作中需要注意哪些关键点？
问题4：用样本估计总体的核心思想是什么？样本均值和样本比例与总体参数有什么关系？
问题5：本节课我们运用了哪些数学思想和方法？
【学生活动】学生先独立回顾，然后小组内交流，最后全班分享。
【师生共同归纳】
知识方面：简单随机抽样的概念：从含有N个个体的总体中逐个抽取n个个体，每个个体被抽到的机会均等。简单随机抽样的核心特征：有限性、逐个抽取、等可能性。两种常见方法：抽签法（适用于总体容量较小）、随机数法（适用于总体容量较大）。抽签法步骤：编号→制签→搅匀→抽签→取样。随机数法步骤：编号→选定随机数表→确定读取规则→读取号码→取样。用样本估计总体：样本均值估计总体均值，样本比例估计总体比例。
方法方面：用频率估计概率的思想方法；从具体操作到抽象概念的归纳方法；根据实际问题选择合适的抽样方法的决策意识。
思想方面：随机思想：抽样的随机性是保证样本代表性的前提；估计思想：用样本推断总体是统计学的核心；数形结合：通过表格、图示辅助理解抽样过程。
【教师总结】
本节课我们学习了简单随机抽样的概念、核心特征以及两种常用操作方法。简单随机抽样是统计中最基本的抽样方法，它体现了“每个个体被抽到的机会均等”的公平性原则。无论是抽签法还是随机数法，其本质都是通过随机化手段消除主观偏差，使样本能够较好地代表总体。同时，我们初步体会了“用样本估计总体”的统计思想，这是后续学习分层随机抽样、用样本估计总体等内容的基础。希望大家在今后的学习和生活中，能够用统计的眼光观察问题，用统计的思维分析问题，用统计的方法解决问题。
【设计意图】通过问题串引导学生对本节课的学习内容进行系统回顾与梳理，使零散的知识点形成完整的知识结构。从知识、方法、思想三个层面进行总结，帮助学生深化对简单随机抽样的理解。同时，通过总结统计思想和学习方法，培养学生的数学抽象素养和数据分析素养，为后续学习奠定基础。