9.1.1 简单随机抽样 教学设计

9.1.1 简单随机抽样
（一）课时教学内容
本节内容选自普通高中数学必修第二册第九章“统计”中的9.1.1简单随机抽样。在前面学习了简单随机抽样的概念、抽签法和随机数法的基础上，本节进一步通过练习和实际问题，巩固简单随机抽样的操作方法，提升学生运用简单随机抽样解决实际问题的能力。
本节主要内容包括：
简单随机抽样概念的进一步理解；
抽签法与随机数法的巩固练习；
简单随机抽样在实际问题中的综合应用；
简单随机抽样与后续抽样方法的联系。
通过本节学习，使学生在具体问题情境中巩固简单随机抽样的操作方法，进一步体会用样本估计总体的统计思想，为后续学习分层随机抽样奠定基础。
（二）课时教学目标
进一步理解简单随机抽样的概念，熟练掌握抽签法和随机数法的操作步骤，能够根据实际问题选择合适的简单随机抽样方法。
通过实例分析、小组合作和问题解决等活动，引导学生经历从方法学习到综合应用的过程，体会抽样调查的基本思路，发展学生的数据分析素养和实际问题解决能力。
通过对抽样问题的探究，使学生进一步体会数学知识在实际生活中的应用价值，增强学习数学的兴趣，培养严谨、规范的统计思维习惯。
（三）教学重点与难点
重点：简单随机抽样方法的综合应用；抽签法和随机数法的规范操作。
难点：根据实际问题背景，合理设计简单随机抽样方案；随机数表的熟练使用及常见错误的规避。
（四）教学过程设计
（一）回顾引入，明确目标
教师活动
回顾上节课内容：我们学习了简单随机抽样的概念以及抽签法、随机数法两种操作方法。
教师提问：学习了抽样方法之后，我们为什么要抽样？抽样得到的样本数据有什么用处？
学生活动
学生回答：抽样是为了推断总体的情况，可以用样本数据估计总体。
教师明确本课目标
今天我们就来学习如何利用简单随机抽样得到的样本数据，去估计总体的平均水平和比例。
（二）探究新知：用样本均值估计总体均值
教师活动
出示问题情境：树人中学高一年级共有712名学生，现通过简单随机抽样的方法抽取50名学生，测量他们的身高（单位：cm），得到如下样本数据（教师展示50个身高数据，此处可列出示意数据）。
教师提问：有了这50名学生的身高数据，我们如何估计高一年级全体712名学生的平均身高？
学生活动
学生讨论后回答：可以计算这50名学生的平均身高，用这个平均数去估计全年级的平均身高。
教师讲解：总体均值
我们把高一年级全体712名学生的平均身高称为总体均值（又称总体平均数），通常用符号表示。
总体均值的计算公式为：
其中 表示第i名学生的身高。
教师讲解：加权平均数形式
如果总体中有k个不同的数值，每个数值出现的频数为（其中 ），则总体均值也可以表示为加权平均数的形式：
教师讲解：样本均值
由于总体均值通常是未知的（我们不可能测量所有学生的身高），因此我们用样本的平均身高来估计它。样本中数据的平均数称为样本均值（又称样本平均数），通常用符号 表示。
样本均值的计算公式为：
教师示例计算
以出示的50个身高数据为例，计算样本均值。
教师讲解：总体均值与样本均值的关系
在简单随机抽样中，样本均值是总体均值的一个估计量。由于抽样具有随机性，不同的样本可能得到不同的样本均值，但当样本量足够大且抽样方法科学时，样本均值会接近于总体均值。这正是“用样本估计总体”的核心思想。
教师追问:除了估计平均身高，我们还可以用样本估计总体的其他特征吗？比如，想了解高一年级学生中身高超过170cm的比例，应该怎么做？
学生活动
学生讨论后回答：可以计算样本中身高超过170cm的学生所占比例，用这个比例去估计全年级的比例。
教师讲解：用样本比例估计总体比例
设总体中具有某种特征的个体所占比例为P（未知），从总体中抽取容量为n的样本，样本中具有该特征的个体所占比例为p。在简单随机抽样中，样本比例p是总体比例P的一个估计量。
例如，若样本50人中，身高超过170cm的有30人，则样本比例为，我们可以估计全年级身高超过170cm的学生比例约为60%。
教师归纳
无论是估计总体平均数，还是估计总体比例，其核心思想都是用样本的统计量去估计总体的参数。这就是统计推断的基本思想。
（三）问题深化：估计总体中的比例
教师活动
出示问题2：某市共有2174名高三学生参加体检，现要通过简单随机抽样的方法了解这些学生中视力不低于5.0的学生所占比例。请设计一个抽样方案，并说明如何用样本数据估计总体比例。
学生活动
学生分组讨论，设计抽样方案：确定总体：2174名高三学生；确定样本量：根据实际需要确定，如抽取200人；编号：将2174名学生编号为0001,0002,…,2174；选择抽样方法：可采用随机数法或抽签法；抽取样本：按规则抽取200个样本；测量视力：记录样本中视力不低于5.0的人数；计算样本比例：；估计总体比例：用p估计总体中视力不低于5.0的学生所占比例。
教师追问:如果抽取的样本中视力不低于5.0的比例是15%，我们能说总体中视力不低于5.0的比例就是15%吗？为什么？
学生活动
学生讨论后回答：不能肯定就是15%，因为抽样具有随机性，不同的样本可能会得到不同的比例。但我们可以说总体比例大约在15%左右，样本量越大，估计越准确。
教师归纳
由于抽样的随机性，样本估计值与总体真实值之间可能存在误差，这种误差称为抽样误差。抽样误差的大小与样本量、抽样方法等因素有关。在后续课程中，我们将进一步学习如何量化这种误差。
（四）环节小结
教师提问:通过本节课的学习，我们掌握了哪些内容？
学生活动
学生总结归纳：总体均值（总体平均数）和样本均值（样本平均数）的概念及计算公式；总体均值的加权平均数形式；用样本均值估计总体均值的思想；用样本比例估计总体比例的方法；统计推断的基本思想是用样本估计总体；抽样误差的概念及影响因素。
教师补充
在实际调查中，样本均值和样本比例是总体均值和总体比例的常用估计量。简单随机抽样是其他抽样方法的基础，掌握其原理和方法对于后续学习分层随机抽样等内容具有重要意义。
【设计意图】通过具体的身高数据情境，引导学生理解总体均值、样本均值的概念及关系，体会用样本估计总体的统计思想。通过问题2的视力调查，进一步巩固用样本比例估计总体比例的方法。在探究过程中，使学生认识到抽样误差的存在及其影响因素，为后续学习打下基础。整个环节注重概念理解与实际应用的结合，发展学生的数据分析素养。
目标检测设计
本目标检测共设计3道题目，分别考查学生对总体、个体、全面调查与抽样调查的辨析能力，对随机数产生原理的理解，以及对简单随机抽样概念的掌握情况。建议检测时间10-12分钟。
1. 基础巩固（总体、个体与调查方式辨析）
在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？
（1）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
（2）调查一个地区结核病的发病率；
（3）调查一批炮弹的杀伤半径；
（4）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例。
请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由。
【参考答案】
（1）全班学生；每个学生；全面调查或抽样调查均可；班级人数较少，无破坏性，全面调查结果更准确。
（2）该地区全体居民；每个居民；抽样调查；总体容量大，全面调查耗时耗力。
（3）该批炮弹；每枚炮弹；抽样调查；测试具有破坏性。
（4）水库中所有鱼；每条鱼；抽样调查；总体容量大，难以进行全面调查。
不宜用全面调查的例子：
检测一批电视机的使用寿命（测试具有破坏性）；
调查全国中学生近视率（总体容量大，耗时耗力）；
检测一批种子的发芽率（测试具有破坏性）；
检测矿泉水的合格率（总体容量大，检测成本高）。
设计意图：检测学生对总体、个体概念的理解，以及对全面调查和抽样调查选择依据的掌握，通过举例进一步强化学生的辨析能力。
2. 方法应用（随机数产生原理）
如图，由均匀材质制成的一个正二十面体（每个面都是正三角形），将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，…，第10组标上9。
（1）投掷正二十面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0，1，2，…，9是等可能的吗？
（2）三个正二十面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数（百位为0的也看作三位数），它是000～999范围内的随机数吗？
（第2题配图说明：正二十面体，面上标有0、1、2、3、4、5、6等数字）
【参考答案】
（1）是等可能的。
理由：正二十面体由均匀材质制成，每个面朝上的机会均等。每个数字（0~9）各占2个面，因此每个数字出现的概率均为，即出现0~9是等可能的。
（2）是000～999范围内的随机数。
理由：三个正二十面体分别独立投掷，每个正二十面体产生0~9的数字是等可能的。百位、十位、个位各自独立且等可能地产生0~9的数字，因此可以组成000~999范围内的所有三位数，每个三位数出现的概率均为 ，即每个三位数出现的可能性相等。
设计意图：通过正二十面体这一实物模型，检测学生对等可能性和随机数产生原理的理解，为理解随机数表的构成和随机数法的原理奠定基础。
3. 综合提升（简单随机抽样判断）
实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用。下列两种情况是否属于简单随机抽样？请说明理由。
（1）每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；
（2）将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠。
【参考答案】
（1）不一定属于，“不经任何挑选地抓一只”虽然有一定随机性，但如果抓取过程中存在无意识的偏向（如抓取容易抓到的小白鼠），则每个个体被抽到的机会可能不均等。严格来说，简单随机抽样要求每个个体被抽到的机会均等，且抽取过程不受人为干扰。若抓取过程确实做到完全随机、每个小白鼠被抽到的机会均等，则属于简单随机抽样；否则不属于。
（2）是，将小白鼠编号后，任意选出10个不重复的数字，每个数字被选中的机会均等，且抽取过程不受人为干扰，符合简单随机抽样的定义。这种方法相当于随机数法。
教师补充说明：对于第（1）题，需要向学生说明：在实际操作中，“不经任何挑选地抓”很难真正做到完全随机，因为抓取者的动作可能存在无意识的偏向（如更容易抓到靠近笼门的小白鼠）。因此，通常采用编号抽签或随机数法来保证抽样的随机性和公平性。
设计意图：检测学生对简单随机抽样核心特征（等可能性、随机性、不受人为干扰）的理解，通过对比两种不同的抽取方式，使学生能够准确判断一个抽样过程是否符合简单随机抽样的要求，并能够说明判断依据。
【目标检测评价建议】
题号 检测目标 完成标准
第一题 总体、个体概念及调查方式辨析 能正确写出总体和个体，判断调查方式并说明理由，能举出恰当的例子为“优秀”
第二题 等可能性与随机数产生原理 能正确判断并说明等可能的理由为“优秀”
第三题 简单随机抽样的判断 能正确判断并说明理由为“优秀”，能指出第（1）题中潜在的问题为“优秀”