2026-2027学年人教A版数学选择性必修第一册课时分组练习：1.3.2 空间向量运算的坐标表示（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026-2027学年人教A版数学选择性必修第一册课时分组练习：1.3.2 空间向量运算的坐标表示（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-07-04 00:00:00 | ||
文档简介
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础巩固练习
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=( )
A.3 B.2
C. D.5
2.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( )
A.a·b=-2 B.|a|=|b|
C.cos= D.(a+b)⊥(a-b)
3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( )
A.x=,y=1
B.x=,y=-4
C.x=2,y=-
D.x=1,y=-1
4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,λ∈R且λ>0,则λ= .
6.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围为 .
7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为 .
8.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值;
(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值.
9.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中边AB上的高.
能力提升练习
1.已知A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是( )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(1,5) D.(0,5)
2.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是( )
A.=-2
B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为
C.点O到直线BC的距离为
D.O,A,B,C四点共面
3.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ的夹角为120°,则λ的值为( )
A.± B.
C.- D.±
4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0,),B-,C(-1,0,),则角A的大小为 .
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为CC1的中点,点P,Q均在平面A1B1C1D1内,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.则PQ与BD的位置关系是 ;A1P的最小值为 .
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC和A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°
7.如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.
(1)求CE的长;
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;
(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础巩固练习
1.A
由已知得,a-b+2c=(9,3,0),
故|a-b+2c|=3.
2.ABD
因为a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,所以A中等式成立;因为|a|=,|b|=,所以|a|=|b|,故B中等式成立;因为cos==-,所以C中等式不成立;因为a+b=(-1,2,1),a-b=(3,2,-1),所以(a+b)·(a-b)=-3+4-1=0,即(a+b)⊥(a-b),故D中关系成立.故选ABD.
3.B
由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b),
∴解得
4.C
∵=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),∴||=,||=,||=,
∴||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.
5.3
∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1-λ,λ).
∵|λa+b|=,∴16+(1-λ)2+λ2=29.即λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.又λ>0,∴λ=3.
6.(-∞,-2)
由题意可知,a,b不可能反向共线,故要使a,b的夹角为钝角,只需a·b<0,即2x-6+10<0,解得x<-2.故x的取值范围为(-∞,-2).
7.
∵b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),
∴|b-a|=.
∴当t=时,|b-a|取得最小值,为.
8.
∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),
∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).
(1)∵(λa+b)∥(a-3b),
∴,解得λ=-.
(2)∵(a-3b)⊥(λa+b),
∴(a-3b)·(λa+b)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=.
9.
(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴||=,
||==2,
=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
∴cos<>=,
∴sin<>=.
∴S△ABC=|||sin<>=×2=3.
(2)设边AB上的高为CD,则||=||·sin<>=3,即△ABC中边AB上的高为3.
能力提升练习
1.B
由题意知,=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),
故||==.
因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以1≤||≤5.
2.AC
由题意得=(0,1,2),=(2,0,-1),于是=-2,故A正确;
又||=,||=,所以cos<>==-,则sin∠AOB=,
因此以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=||||sin∠AOB=,故B错误;
因为=(2,0,-1),=(1,2,2),所以=0,故,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;
由于=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),假设共面,则存在实数λ和μ使得=λ+μ,所以无解,故不共面,故D错误.故选AC.
3.C
∵=(1,0,0),=(0,-1,1),
∴+λ=(1,-λ,λ),
∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|=,||=.
∴cos 120°==-,∴λ2=.
又<0,∴λ=-.
4.30°
因为=-,0,=(-1,0,0),所以,||=1,||=1.
所以cos A=,所以角A的大小为30°.
5.平行
以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(0,1,),B(1,1,0),因为P,Q均在平面A1B1C1D1内,
所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),所以=(-1,1,-),=(a-1,b-1,1),=(m-1,n-1,1).
因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,
所以
解得
所以n-b=m-a,=(m-a,m-a,0).
因为=(1,1,0),所以=(m-a),
又PQ与BD不重合,所以PQ与BD的位置关系是平行.
因为=(a-1,b,0),所以||=
=.
因此,当a=时,||取得最小值,且最小值为.
6.
如图,以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.
假设存在点N,满足条件.
因为点N在棱CC1上,所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).
因为=(,1,2),,
所以||=2,||==2m-1.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,
那么向量的夹角等于45°或135°.
又cos<>=,
所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.
所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
7.
连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,
所以点A,S,C,B,E(,0,).
(1),所以||=,即CE=.
(2)因为=-,0,-,
所以cos<>==-.
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)证明:因为G在SC上,所以共线,
所以可设=λ,0<λ<1,
则+(-λ,0,-λ)=.
因为OG⊥SC,即,
所以=0.
所以λ-(1-λ)=0,解得λ=.
所以.
又,
所以=-+0+=0.
所以,即OG⊥BE.
基础巩固练习
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=( )
A.3 B.2
C. D.5
2.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( )
A.a·b=-2 B.|a|=|b|
C.cos
3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( )
A.x=,y=1
B.x=,y=-4
C.x=2,y=-
D.x=1,y=-1
4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,λ∈R且λ>0,则λ= .
6.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围为 .
7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为 .
8.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值;
(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值.
9.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中边AB上的高.
能力提升练习
1.已知A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是( )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(1,5) D.(0,5)
2.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是( )
A.=-2
B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为
C.点O到直线BC的距离为
D.O,A,B,C四点共面
3.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ的夹角为120°,则λ的值为( )
A.± B.
C.- D.±
4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0,),B-,C(-1,0,),则角A的大小为 .
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为CC1的中点,点P,Q均在平面A1B1C1D1内,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.则PQ与BD的位置关系是 ;A1P的最小值为 .
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC和A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°
7.如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.
(1)求CE的长;
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;
(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础巩固练习
1.A
由已知得,a-b+2c=(9,3,0),
故|a-b+2c|=3.
2.ABD
因为a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,所以A中等式成立;因为|a|=,|b|=,所以|a|=|b|,故B中等式成立;因为cos
3.B
由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b),
∴解得
4.C
∵=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),∴||=,||=,||=,
∴||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.
5.3
∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1-λ,λ).
∵|λa+b|=,∴16+(1-λ)2+λ2=29.即λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.又λ>0,∴λ=3.
6.(-∞,-2)
由题意可知,a,b不可能反向共线,故要使a,b的夹角为钝角,只需a·b<0,即2x-6+10<0,解得x<-2.故x的取值范围为(-∞,-2).
7.
∵b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),
∴|b-a|=.
∴当t=时,|b-a|取得最小值,为.
8.
∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),
∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).
(1)∵(λa+b)∥(a-3b),
∴,解得λ=-.
(2)∵(a-3b)⊥(λa+b),
∴(a-3b)·(λa+b)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=.
9.
(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴||=,
||==2,
=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
∴cos<>=,
∴sin<>=.
∴S△ABC=|||sin<>=×2=3.
(2)设边AB上的高为CD,则||=||·sin<>=3,即△ABC中边AB上的高为3.
能力提升练习
1.B
由题意知,=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),
故||==.
因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以1≤||≤5.
2.AC
由题意得=(0,1,2),=(2,0,-1),于是=-2,故A正确;
又||=,||=,所以cos<>==-,则sin∠AOB=,
因此以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=||||sin∠AOB=,故B错误;
因为=(2,0,-1),=(1,2,2),所以=0,故,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;
由于=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),假设共面,则存在实数λ和μ使得=λ+μ,所以无解,故不共面,故D错误.故选AC.
3.C
∵=(1,0,0),=(0,-1,1),
∴+λ=(1,-λ,λ),
∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|=,||=.
∴cos 120°==-,∴λ2=.
又<0,∴λ=-.
4.30°
因为=-,0,=(-1,0,0),所以,||=1,||=1.
所以cos A=,所以角A的大小为30°.
5.平行
以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(0,1,),B(1,1,0),因为P,Q均在平面A1B1C1D1内,
所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),所以=(-1,1,-),=(a-1,b-1,1),=(m-1,n-1,1).
因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,
所以
解得
所以n-b=m-a,=(m-a,m-a,0).
因为=(1,1,0),所以=(m-a),
又PQ与BD不重合,所以PQ与BD的位置关系是平行.
因为=(a-1,b,0),所以||=
=.
因此,当a=时,||取得最小值,且最小值为.
6.
如图,以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.
假设存在点N,满足条件.
因为点N在棱CC1上,所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).
因为=(,1,2),,
所以||=2,||==2m-1.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,
那么向量的夹角等于45°或135°.
又cos<>=,
所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.
所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
7.
连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,
所以点A,S,C,B,E(,0,).
(1),所以||=,即CE=.
(2)因为=-,0,-,
所以cos<>==-.
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)证明:因为G在SC上,所以共线,
所以可设=λ,0<λ<1,
则+(-λ,0,-λ)=.
因为OG⊥SC,即,
所以=0.
所以λ-(1-λ)=0,解得λ=.
所以.
又,
所以=-+0+=0.
所以,即OG⊥BE.
常见问题
这份试卷适用于什么教材版本？
本试卷适用于人教A版（2019）相关教学场景，可在21世纪教育网检索同版本配套资源。
适用学段和科目是什么？
适用学段与科目：高中、0、数学。
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1.3.2 空间向量运算的坐标表示基础巩固练习1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=( )A.3 B.2C. D.52.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则(…
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