2026-2027学年人教A版数学选择性必修第一册课时分组练习：1.4.1 第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系（含解析）

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系
基础巩固练习
1.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则实数λ的值是(　　)
A.- B.6
C.-6 D.
2.设a=(3,-2,-1)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的一个法向量,则(　　)
A.l⊥α B.l∥α
C.l∥α或l α D.l α或l⊥α
3.已知平面α内的两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面α的一个法向量为(　　)
A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)
4.(多选题)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是(　　)
A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为 b=(2,-2,4),则l∥m
B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α
C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
5.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n1=(2,-3,1), =(1,0,-2),=(1,1,1),则平面α与平面ABC的位置关系是　　　　　.
6.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=　　　　　.
7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF∥平面SAD.
能力提升练习
1.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,则y2等于(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,则直线MN与平面OCD的位置关系为(　　)
A.MN∥平面OCD
B.MN⊥平面OCD
C.MN 平面OCD
D.MN与平面OCD相交
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ(λ∈R),若B1F∥平面A1BE,则λ=(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点.若直线EF∥平面A1BC1,则点F可能是(　　)
A.线段CC1的中点 B.线段BC的中点
C.线段CD的中点 D.线段C1D1的中点
5.如图,在正方体AC1中,点P,Q分别在线段A1D,AC上,直线PQ与直线A1D,AC都垂直,则直线PQ与直线BD1的关系是　　　　.
6.如图,在直角梯形ABCQ中,AQ∥BC,AQ⊥AB,AB=BC=AQ=2,D为AQ的中点,E,F,G分别为QC,QD,BC的中点,将△QCD沿CD折起,使得点Q到点P的位置,PD⊥平面ABCD.求证:AP∥平面EFG.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系
基础巩固练习
1.B
2.C
因为a·n=3×1+(-2)×2+(-1)×(-1)=0,所以这两个向量垂直,得出l∥α或l α.
3.B
4.BCD
对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确.
对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l α,故B中说法错误.
对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得此方程组无解,∴α∥β不成立,故C中说法错误.
对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,
∴解得u=,t=,∴u+t=,故D中说法错误.故选BCD.
5.平行
因为n1·=0,n1·=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,
又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.
6.-4
由题意可知,=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),则n=(2,7,5)为平面ABC的一个法向量.
由n·=0,得2x-7+15=0,
解得x=-4.
7.
如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设AB=a,SD=b,则E(a,,0),F(0,),所以=(-a,0,).
由题意可知,CD⊥平面SAD,故=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量.
因为=0,EF 平面SAD,
所以EF∥平面SAD.
能力提升练习
1.B
由题意可知,=(1,1,0),=(-1,-1,-2).因为a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,所以a·=0,a·=0.
所以解得所以y2=1.
2.A
(方法一)∵=-)-,MN 平面OCD,
∴MN∥平面OCD.
(方法二)过点A作AP⊥CD,垂足为P,易知AB,AP,AO两两垂直,以A为原点,AB,AP,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),
则P(0,,0),D(-,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1-,0),
则=(1-,-1),=(0,,-2),=(-,-2).
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则
取z=,则x=0,y=4.于是n=(0,4,)是平面OCD的一个法向量.
∵·n=(1-,-1)·(0,4,)=0,MN 平面OCD,∴MN∥平面OCD.
3.C
如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E(0,1,),A1(0,0,1),D1(0,1,1),C1(1,1,1),
则=(-1,0,1),=(-1,1,).
设n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则由取z=2,则x=2,y=1,于是n=(2,1,2)为平面A1BE的一个法向量.
由=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1).
又因为B1(1,0,1),所以=(λ-1,1,0).
由B1F∥平面A1BE,得·n=0,即(λ-1,1,0)·(2,1,2)=0,即2(λ-1)+1=0,解得λ=.
4.ABD
如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设CC1,BC,CD,C1D1的中点分别为M,N,P,Q,不妨设棱长为2,
则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),
=(0,2,-2),=(-2,2,0),设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
则令y=1,则n=(1,1,1)为平面A1BC1的一个法向量.又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),则·n=-2×1+2×1=0, ·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ 平面A1BC1,则EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直线EF∥平面A1BC1,则点F可能是线段CC1的中点,线段BC的中点或线段C1D1的中点.故选ABD.
5.平行
设正方体的棱长为1,以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
易知=(1,0,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1).
设=(a,b,c),
则=(1,1,-1),
∴.由图知PQ与BD1不重合,∴PQ∥BD1.
6.如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,2),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),
所以=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
则所以
令z=1,则x=1.
所以n=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量.
因为n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,AP 平面EFG,所以AP∥平面EFG.
7.
如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.
设正方体的棱长为1,则点O(,0),P(0,0,),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设点Q(0,1,m)(0≤m≤1).
(方法一)因为=(-,-),
=(-1,-1,1),所以,所以,于是OP∥BD1.
=(-1,0,),=(-1,0,m),
当m=时,,即AP∥BQ,
有平面PAO∥平面D1BQ,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
(方法二)=(,-,0),=(-,-),设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1),则有n1⊥,n1⊥,因此取x1=1,则n1=(1,1,2)为平面PAO的一个法向量.
又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m),设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则有n2⊥,n2⊥,因此
取z2=1,则n2=(m,1-m,1)为平面D1BQ的一个法向量.
要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2,
因此,
解得m=,这时点Q(0,1,).
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.