2025-2026学年江苏省苏州市第十中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省苏州市第十中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“l∥α”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数f（x）=x2-4lnx的单调递减区间是（　　）
A. （-2，2） B. （0，2） C. （2，+∞） D. （0，+∞）
3.已知函数f（x）=ax2+b的图像开口向下，，则a=（　　）
A. B. C. 2 D. -2
4.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE=CF，M是正方形ABCD的中心，若，则AE=（　　）
A. 2
B.
C. 5
D.
5.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）-f（x）＜0，且f（2）=2，则不等式f（2x）-2x＞0的解集是（　　）
A. （-∞，3） B. （-∞，2） C. （-∞，1） D. （-∞，0）
6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　）
A. 函数y=f（x）+x的最大值为1
B. 函数的最小值为1
C. 函数y=f（x） ex的最大值为1
D. 函数的最小值为1
7.曲线y=lnx与曲线y=ln（x-1）+1的公切线方程是（　　）
A. x-ey=0 B. 2x-y+1-ln2=0 C. x-2y-2+2ln2=0 D. x-y-1=0
8.已知函数f（x）=（kx-1）ex+kx+1有3个零点，则k可以是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于空间向量的命题中不正确的是（　　）
A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角
B. 已知过点A（1，2，3）的平面α法向量为，则点P（2，-1，3）到平面α距离为
C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 已知，，则在上的投影向量坐标为
10.定义：设f（x）为三次函数，f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为三次函数y=f（x）图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数f（x）=ax3-x2+b（a≠0）的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的是（　　）
A.
B. 方程f（x）-1=0有三个根
C. 存在x1，x2∈[2，3]，x1≠x2，使得不等式成立，则实数t的取值范围为t＞3
D. 若函数f（x）在区间（m,1-2m）上有最大值，则m∈[-1，0）
11.已知函数f（x）=（ex+a）x,g（x）=（x+a）lnx,则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=1时，函数y=g（x）在（0，+∞）上单调递增
B. 当a=1时，若存在x≥1，使不等式f（mx）≥f（（x2+x）lnx）成立，则实数m的最小值为0
C. 若函数y=f（x）存在两个极值，则实数a的最大值为
D. 当a=1时，若f（x1）=g（x2）=t（t＞0），则x1（x2+1） lnt的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A（a，1，0），B（0，a，1），若a=2，则|AB|= ______，若∠AOB=，则a= ______.
13.某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______时，可使得所用材料最省．
14.若函数y=|ex-1|的图象在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点处的切线相互垂直，则ln（y2-y1）-ln（y2y1）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）.
（1）若x=3为y=f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，∠BAA′=∠DAA′=120°.
（1）求对角线BD′的长.
（2）求异面直线BD′与AC所成角的余弦值.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，，点E为CD中点，点M为线段PE上一点（与点P，E不重合）.
（1）当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角为.
（2）在（1）的条件下，求平面PBC与平面BDM夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1．
（1）若m=1，求f（x）的极值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）若，（其中a,b＞0）， x1∈R， x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），求ab的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】 1
13.【答案】
14.【答案】0
15.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2-2ax-3，f′（3）=0，
则27-6a-3=0，解得a=4，
故f′（x）=3x2-8x-3，令f′（x）=0，即3x2-8x-3=（3x+1）（x-3）=0，
解得或x=3，
当或x＞3时，f'（x）＞0，当时f'（x）＜0，
所以f（x）在和（3，+∞）上单调递增，在上单调递减，
所以x=3是f（x）的极小值点，故f（x）=x3-4x2-3x,
所以f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，
故f（x）在[1，4]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6；
（2）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，故，
设，当x≥1时，是增函数，其最小值为g（1）=0，
故a≤0，即实数a的取值范围为（-∞，0]．
16.【答案】
17.【答案】AM=2
18.【答案】解：（1）当m=1时，f（x）=lnx-x2-x+1，=．
当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调递增，
当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调递减；
所以f（x）在时取得极大值且极大值为，无极小值．
（2）因为对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，
所以lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
设，则．
设φ（x）=-（x+2lnx），
显然φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为φ（1）=-1＜0，，
所以，使得φ（x0）=0，即x0+2lnx0=0．
当x∈（0，x0）时，φ（x）＞0，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0．
所以F（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以=．
因为，所以，
故整数m的最小值为1．
19.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增 [1，+∞） [1，+∞）
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