山东烟台市2025-2026学年高二下学期期末自主练习数学试题（含答案）

2025~2026学年度第二学期期末自主练习
高二数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，若且，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
3．曲线在处的切线方程为
A． B． C． D．
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数．已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为
A． B． C． D．
5．若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
6．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数的最大值为，则的最小值为
A． B． C． D．e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的有
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．若，则
D．当时，
10．已知定义在上的函数满足，且，则A． B．
C．的图象关于直线对称 D．
11．已知函数，则下列结论正确的有
A．若是奇函数，则
B．当时，函数的图象关于点对称
C．若函数有两个极值点，则或
D．若对任意实数，以为边长总能构成三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知实数满足，且，则的值为___________．
13．已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为___________．
14．定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集．若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________．（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若对，，使得，求实数的取值范围．
16．已知函数．
（1）当时，求过点且与曲线相切的直线的方程；
（2）讨论的单调性．
17．一小微企业生产某种产品．经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且．已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件．
（1）求的值；
（2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润．
18．已知函数．
（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）已知函数存在极值点．
（i）证明：；
（ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且．
19．已知函数及其导函数的定义域均为，对，定义集合
（1）设，求；
（2）对，定义集合，证明：“对，有”是“为偶函数”的必要条件；
（3）设，若对且，都有，求实数的取值范围．
2025~2026学年度第二学期期末自主练习
高二数学参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B
二、选择题
9．AD 10．BCD 11．ABD
三、填空题
12.18 13． 14．，9
四、解答题
15．解：（1）因为，所以，
令，即，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，即．
（2）因为，使得，即．
由（1）知，，所以在上有解，
当时，函数在上单调递增，所以，不合题意．
当时，在上单减，在单增，所以，
令，解得．
16．解（1）当时，，所以．
设切点为，则，
即，解得，
所以，所以切线方程为．
（2）函数的定义域为，
当时，，得在上单调递增，
，得在上单调递减，
当时，，
当时，在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
17．解：（1）由题知，，即，解得．
，即，解得．
（2）设日利润为，则．
由（1）知，当时，，，
所以当和时，单调递增当时，单调递减，又，
所以，当时，的最大值为12.
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，故．
综上，当时，日利润的最大值为千元．
18．解：（1）由题知，，
若函数在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立．
令，则，所以在上单调递增，
所以．所以．
（2）（i）由（1）知，，
当时，在上单调递减，无极值点，不合题意．
当时，令，则．
由（1）知，在单调递增，且当，，
当，，所以当时，存在，使得．
即当时，，函数单调递增，当时，，
函数单调递减，所以为函数的极大值点．
又，
令，则，
令，得，故当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，即
（ii）由（i）知，当时，，故，且．
因为在上单调递增，，所以在上无零点．
又在上单调递减，且当时，，
故函数在上存在唯一零点．
因为在上单调递减，故要证，
只需证，只需证
因为，
令，则且，
故，
令，
则，
令，则，
因为，故在上单调递减，
故，即，
故在上单调递减，
所以．
又因为，所以，结论得证．
19．解：（1）由题知，函数的定义域为．
因为，故．
由，即，
解得或．所以．
（2）因为为偶函数，所以，两边求导得．
下证：对，有．
对，当时，有，即，
又，所以，所以，
即．
当时，有，即，
又，所以，所以，
即．
所以．命题得证．
（3）若且，都有，
所以，
所以，
即在上是非减函数，即在上恒成立．
因为，所以，
所以在上恒成立．
令．
当时，在上恒成立，满足题意．
当时，令，解得，
所以，当时，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，解得．
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，不合题意．
综上，．
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